(Ma1-21) Wurzeln

In dieser Lerneinheit betrachten wir Wurzeln. Das Ziehen von Wurzeln ist ein Thema, welches dir in sehr vielen Bereichen der Mathematik und Physik über den Weg laufen wird.

Für ein optimales Verständnis helfen dir ein Videoclip und mehrere ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Wurzeln – Grundlagen

In der Potenzrechnung haben wir positive und negative ganze Exponenten betrachtet. In der Wurzelrechnung betrachten wir rationale Exponenten ( $n \in \mathbb{Q}$ ), d.h. Exponenten die als Bruch dargestellt werden.

Eine Wurzel besteht im allgemeinen aus einem Wurzelgrad (links oberhalb der Wurzel), dem Radikanden (Wert unter der Wurzel) sowie dem Exponenten des Radikanden. Im nachfolgenden zeigen wir dir ausführlich, wie du eine Potenz mit rationalen Exponenten als Wurzel schreibst und umgekehrt.

Wurzeln mit rationalen Exponenten (Zähler = 1)

Betrachten wir zunächst rationale Exponenten bei denen der Zähler gleich 1 ist:

$16^{\frac{1}{2}}$ Potenz mit rationalem Exponenten

Eine Potenz mit einem rationalen Exponenten wird als Wurzel bezeichnet. Anstelle des rationalen Exponenten wird das Wurzelzeichen verwendet:

$16^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{16}$ Wurzel

Die 2 im Nenner steht für die zweite Wurzel aus 16. Ist die zweite Wurzel aus einer Zahl gegeben, so wird einfach nur die Wurzel ohne Wurzelgrad angegeben:

$16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4$ zweite Wurzel (ohne Wurzelgrad)

Ist also die Wurzel einer Zahl ohne Wurzelgrad gegeben, so ist immer die zweite Wurzel aus dieser Zahl gemeint.

Die Umkehraufgabe hierzu lautet:

$4 \cdot 4 = 16$

Erst bei höheren Wurzeln, muss der Wurzelgrad mit angegeben werden:

$64^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4$

Hierbei handelt es sich um die dritte Wurzel aus 64.

Die Umkehraufgabe dazu lautet:

$4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$

Wurzeln mit rationalen Exponenten (Zähler > 1)

Betrachten wir als nächstes rationale Exponenten die einen Zähler größer als 1 aufweisen. Hier gilt folgendes:

$\boxed{a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n}}$ m-te Wurzel aus aⁿ

Betrachten dazu ein Beispiel:

$25^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{25^2} = \sqrt[3]{625} \approx 8,55$

Betrachten wir die Potenz, so gibt der Nenner den Grad der Wurzel an, der Zähler den Exponenten des Radikanden. In diesem Fall also die dritte Wurzel aus 25 zum Quadrat.

Die Umkehraufgabe lautet:

$8,55 \cdot 8,55 \cdot 8,55\approx 625$

Betrachten wir dazu ein Beispiel:

undefiniert

Beispiel: Wurzeln

$16^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{16^3} = \sqrt[4]{4096} = 8$

Umkehraufgabe:

$8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 = 4096$

Wurzeln in Potenzen umformen

Eine Wurzel in eine Potenz umzuformen wird später zum Beispiel bei der Bildung von Ableitungen benötigt. Schauen wir uns das allgemeine Vorgehen mal an:

$\boxed{\sqrt[m]{a^n} = a^{\frac{n}{m}}}$

Der Grad der Wurzel wird zum Nenner, der Exponent des Radikanden wird zum Zähler.

Betrachten wir dazu ein Beispiel.

undefiniert

Beispiel: Wurzel in Potenz

Gegeben seien die folgenden Wurzeln:

a) $\sqrt[6]{x^5}$

b) $\sqrt[5]{y}$

a) Wollen wir nun die obige Wurzel als Potenz angeben, so wird der Grad der Wurzel (6) zum Nenner, der Exponent unter der Wurzel zum Zähler:

$x^{\frac{5}{6}}$

b) Selbes gilt auch für die zweite Wurzel. Hier ist der Exponent unter der Wurzel n = 1. Damit ergibt sich:

$x^{\frac{1}{5}}$

Videoclip: Wurzel als Potenz schreiben

In diesem Video wollen wir dir aufzeigen, wie du eine Wurzel als Potenz schreiben kannst.

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

Nachdem du nun weißt was Wurzeln sind und wie du eine Wurzel als Potenz darstellst, wollen wir uns in der folgenden Lerneinheit mal die einzelnen Wurzelgesetze anschauen.

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