(Ma1-20) Potenzgesetze

In dieser Lerneinheit behandeln wir die Potenzgesetze.

Für ein optimales Verständnis helfen dir ein Video & mehrere ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Potenzgesetze – Überblick

Mit der Kenntnis der Potenzgesetze wird dir der Umgang mit Potenzen wesentlich einfach fallen und Rechnungen sind plötzlich gar nicht mehr so kompliziert.

Wir wollen uns in dieser Lerneinheit mal anschauen, wie die Potenzgesetze aussehen. Dabei unterscheiden wir Potenzen mit gleicher Basis und Potenzen mit unterschiedlicher Basis.

Wir betrachten zunächst Potenzgesetze für Potenzen mit gleicher Basis.

Potenzgesetze: Potenzen mit gleicher Basis

Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis

Multiplizierst du zwei Potenzen mit gleicher Basis a miteinander, so erhältst du das Ergebnis, indem du beide Exponenten miteinander addierst:

$a^n \cdot a^m = a^{n+m}$

<em>Darum geht es</em>

++ Videoclip ++

Im folgenden Video zeigen wir dir, wie du Potenzen mit gleicher Basis multiplizierst!

Beispiel

Betrachten wir dazu ein Beispiel.

undefiniert

Beispiel: Potenzen mutliplizieren

Gegeben sei die Aufgabe:

$x^5 \cdot x^3$

Wie lautet das Ergebnis?

Wir haben hier dieselbe Basis x gegeben. Demnach können wir die beiden Exponenten miteinander addieren:

$x^5 \cdot x^3 = x^{5 + 3} = x^8$

Division von Potenzen mit gleicher Basis

Dividierst du zwei Potenzen mit gleicher Basis, so erhältst du das Ergebnis, indem du die Exponenten der Potenzen voneinander subtrahierst:

$a^n : a^m = a^{n-m}$

bzw

$\dfrac{a^n}{ a^m} = a^{n-m}$

Beispiel

Betrachten wir dazu ein Beispiel.

undefiniert

Beispiel: Potenzen dividieren

Gegeben sei:

$\dfrac{x^6}{x^2}$

Wie lautet das Ergebnis?

Wir haben hier dieselbe Basis x gegeben. Demnach können wir die beiden Exponenten voneinander subtrahieren:

$\dfrac{x^6}{x^2} = x^{6 - 2} = x^4$

Potenzen potenzieren

Eine Potenz wird potenziert, indem du die beteiligten Exponenten miteinander multiplizierst.

$(a^n)^m = a^{n \cdot m}$

Beispiel

Betrachten wir dazu ein Beispiel.

undefiniert

Beispiel: Potenzen dividieren

Gegeben sei:

$(x^4)^3$

Wie lautet das Ergebnis?

Wir haben hier eine Potenz x⁴ gegeben, welche mit 3 potenziert werden soll. Dazu kannst du einfach beide Exponenten miteinander multiplizieren:

$(x^4)^3 = x^{4 \cdot 3} = x^{12}$

Betrachten wir als nächstes Potenzen bei denen die Basis verschieden ist, aber die Exponenten gleich sind.

Potenzgesetze: Potenzen mit gleichen Exponenten

Multiplikation mit unterschiedlicher Basis

Werden zwei Potenzen mit unterschiedlicher Basis aber gleichem Exponenten miteinander multipliziert, kannst du folgendes Potenzgesetz anwenden:

$a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$

Du kannst also erst die beiden Basen miteinander multiplizieren und das Ergebnis dann Potenzieren. Schauen wir uns dazu mal ein Beispiel an:

Beispiel

undefiniert

Beispiel: Potenz mit gleichen Exponenten

Gegeben sei:

a) $5^4 \cdot 2^4$

b) $x^3 \cdot y^3$

Wie lautet die Vereinfachung?

Wir haben hier Potenzen mit unterschiedlicher Basis und gleichen Exponenten gegeben. Wir können nun zunächst die Basen miteinander multiplizieren und das Ergebnis dann potenzieren:

a) $5^4 \cdot 2^4 = (5 \cdot 2)^4 = 10^4 = 10.000$

b) $x^3 \cdot y^3 = (x \cdot y)^3$

Division mit unterschiedlicher Basis

Werden zwei Potenzen mit unterschiedlicher Basis aber gleichem Exponenten dividiert, kannst du folgendes Potenzgesetz anwenden:

$a^n : b^n = \dfrac{a^n}{n^n} = (\dfrac{a}{b})^n$

Auch hier bildest du also zunächst das Ergebnis (den Quotienten) und kannst diesen dann potenzieren. Schauen wir uns dazu ein Beispiel an.

Beispiel

undefiniert

Beispiel: Potenz mit gleichen Exponenten

Gegeben sei:

a) $\dfrac{12^5}{4^5}$

b) $\dfrac{x^7}{y^7}$

Wie lautet die Vereinfachung?

Wir haben hier Potenzen mit unterschiedlicher Basis und gleichen Exponenten gegeben. Wir können nun zunächst die Basen dividieren und das Ergebnis dann potenzieren:

a) $\dfrac{12^5}{4^5} = (\dfrac{12}{4} )^5$

b) $\dfrac{x^7}{y^7} = (\dfrac{x}{y} )^7$

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

Nachdem du jetzt alle Potenzgesetze für deine Prüfung kennst, betrachten wir in der nachfolgenden Lerneinheit Wurzeln.

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