MA1 – Gemischte Brüche [Grundlagen, Erklärung, Beispiele, Lernclips]

Wir betrachten in dieser Lerneinheit gemischte Brüche. Dieses Thema solltest du definitiv als angehender Ingenieur / Techniker beherrschen.

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei Videoclips und drei ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Mathematik findest du im Kurs: Ma1-Grundlagen der Mathematik

Auch interessant! Alles zu Linearen Gleichungen findest du im Kurs: Ma2-Lineare Gleichungssysteme

Gemischte Brüche – Überblick

Du lernst, wie du einen unechten Bruch in einen gemischten Bruch umformst und umgekehrt.

Gemischte Brüche - Schema — Gemischte Brüche – Schema

Nachdem wir den gemeinen Bruch und die Regeln der Bruchrechnung kennengelernt haben, können wir uns den gemischten Brüchen widmen.

Was sind gemischte Brüche?

Ein gemischter Bruch kombiniert eine ganze Zahl und einen Bruch. Zum Beispiel ist $2 \frac{1}{3}$ ein gemischter Bruch, der aus der ganzen Zahl 2 und dem Bruch $\frac{1}{3}$ besteht.

Merk’s dir!

Bei einem gemischten Bruch wird ein unechter Bruch aufgeteilt in einen ganzzahligen Anteil und einen echten Bruchanteil.

Jeder unechte Bruch, der kein Scheinbruch ist – also nicht in eine ganze Zahl umgeformt werden kann – lässt sich als gemischter Bruch darstellen.

Formeln | Unechter Bruch, Echter Bruch, Gemischter Bruch

Betrachten wir also einen unechten Bruch, welcher keinen Scheinbruch darstellt:

Unechter Bruch

$\dfrac{3}{2}$

Zunächst wird der ganzzahlige Anteil betrachtet. Hier orientieren wir uns am Nenner. Wir setzen den Zähler gleich den Nenner und erhalten den ganzzahligen Anteil:

Ganzzahliger Anteil

$\dfrac{2}{2} = 1$

Wir benötigen als nächstes den Rest als echten Bruch. Dazu ziehen wir den ganzzahligen Anteil vom Ausgangsbruch ab und erhalten den Rest als Bruchanteil:

Bruchanteil

$\dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{2} = \dfrac{3-2}{2} = \dfrac{1}{2}$

Der Rest als echter Bruch ist also:

Echter Bruchanteil

$\dfrac{1}{2}$

Insgesamt ergibt sich also der gemischte Bruch wie folgt:

Gemischter Bruch

$1 + \dfrac{1}{2} = 1 \dfrac{1}{2}$

Merk’s dir!

Wichtig: Bei der letzten Bruchdarstellung gilt

$1 \dfrac{1}{2} = 1 + \dfrac{1}{2}$

und nicht

$1 \cdot \dfrac{1}{2}$

Unechte Brüche in gemischte Brüche umformen

Anleitung | Schritte zum Umwandeln eines unechten Bruchs in einen gemischten Bruch

1 | Teile den Zähler durch den Nenner:

Beispiel: $\frac{7}{3} = 7 : 3 = 2 Rest 1$

2 | Schreibe das Ergebnis als ganze Zahl mit dem Rest als Zähler:

Beispiel: $2 Ganze \frac{1}{3} = 2 \frac{1}{3}$

Gemischte Brüche in unechte Brüche umformen

Anleitung | Schritte zum Umwandeln eines gemischten Bruchs in einen unechten Bruch

1 | Multipliziere die ganze Zahl mit dem Nenner des Bruchs:

Beispiel: $2 \frac{1}{3} = 2 \cdot 3 = 6$

2 | Addiere das Ergebnis zum Zähler des Bruchs:

Beispiel: $6 + 1 = 7$

3 | Schreibe das Ergebnis über den ursprünglichen Nenner:

Beispiel: $2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Es ist natürlich ebenfalls möglich einen gemischten Bruch in einen unechten Bruch umzuformen. Wir betrachten dazu den folgenden gemischten Bruch:

$2 \dfrac{3}{4}$

Zunächst haben wir den Bruchanteil als echten Bruch gegeben mit:

$\dfrac{3}{4}$ echter Bruchanteil

Um nun den ganzzahligen Anteil als Bruch darzustellen, betrachten wir wieder den Nenner. Wir setzen zunächst wieder Zähler und Nenner gleich:

$\dfrac{4}{4}$

Da unser ganzzahliger Anteil nun aber nicht 1 ist, sondern 2, müssen wir den ganzzahligen Bruchanteil mit 2 multiplizieren:

$2 \cdot \dfrac{4}{4} = \dfrac{8}{4}$ ganzzahliger Bruchanteil

Wir addieren nun beide Brüche miteinander:

$\dfrac{8}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{8+3}{4} = \dfrac{11}{4}$

Und erhalten somit den gemischten Bruch als unechten Bruch:

$2 \dfrac{3}{4} = \dfrac{11}{4}$

Schauen wir uns einige Aufgaben für gemischte Brüche an.

Gemischte Brüche: Aufgaben zur Prüfungsvorbereitung

Aufgabe 1 | Gemischte Brüche

Aufgabenstellung

Gegeben sei der folgende unechte Bruch:

$\dfrac{22}{5}$

Gib ihn als gemischten Bruch an!

Lösung

Zunächst bilden wir den ganzzahligen Anteil, indem wir den Nenner betrachten. Dieser weist die Zahl 5 auf. Jetzt schauen wir uns den Zähler an.

Wie oft passt nun die 5 in den Zähler?

Der Zähler weist die Zahl 27 auf. Da $5 \cdot 4 = 20$ passt die 5 ganze 4 mal in den Zähler. Wir haben also insgesamt 4 Ganze gegeben:

Ganzzahliger Anteil: $\dfrac{20}{5} = 4$

Danach ziehen wir den ganzzahligen Anteil vom Ausgangsbruch ab:

$\dfrac{22}{5} - \dfrac{20}{5} = \dfrac{22 - 20}{5} = \dfrac{2}{5}$

Der echte Bruchanteil beträgt demnach:

$\dfrac{2}{5}$

Wir haben also den folgenden gemischten Bruch gegeben:

Gemischter Bruch: $4 \dfrac{2}{5}$

Aufgabe 2 | Gemischte Brüche

Aufgabenstellung

Gegeben sei der folgende gemischte Bruch:

$4 \dfrac{5}{12}$

Gib ihn als unechten Bruch an!

Lösung

Zunächst bilden wir den ganzzahligen Anteil, indem wir den Nenner betrachten und den Zähler gleich den Nenner setzen:

$\dfrac{12}{12}$

Da nun aber der ganzzahlige Anteil 4 beträgt, müssen wir diesen mit 4 multiplizieren:

$\dfrac{12}{12} \cdot 4 = \dfrac{12 \cdot 4}{12} = \dfrac{48}{12}$ Ganzzahliger Anteil als Bruch

Danach addieren wir den echten Bruchanteil des Ausgangsbruchs mit dem ganzzahligen Bruchanteil:

$\dfrac{5}{12} + \dfrac{48}{12} = \dfrac{5 + 48}{12} = \dfrac{53}{12}$

Der unechte Bruch beträgt demnach:

$\dfrac{53}{12}$ Unechter Bruch

Anleitung | Rechnen mit gemischten Brüchen

Nun wenden wir die 4 Grundrechenarten auf gemischte Brüche an.

Addition und Subtraktion von gemischten Brüchen

Addition von gemischten Brüchen

1 | Addiere die ganzen Zahlen:
Beispiel (1/3): $1 \frac{1}{2} + 2 \frac{1}{3} \rightarrow 1 + 2 = 3$

2 | Addiere die Brüche:

Beispiel (2/3): $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$

3 | Kombiniere die Ergebnisse:
Beispiel (3/3): $3 + \frac{5}{6} = 3 \frac{5}{6}$

Subtraktion von gemischten Brüchen

1 | Subtrahiere die ganzen Zahlen:
Beispiel (1/3): $3 \frac{1}{2} - 1 \frac{1}{3} \rightarrow 3 - 1 = 2$

2 | Subtrahiere die Brüche:

Beispiel (2/3): $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$

3 | Kombiniere die Ergebnisse:
Beispiel (3/3): $2 + \frac{1}{6} = 2 \frac{1}{6}$

Multiplikation und Division von gemischten Brüchen

Multiplikation von gemischten Brüchen

1 | Wandle die gemischten Brüche in unechte Brüche um:
Beispiel (1/3): $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ und $2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

2 | Multipliziere die unechten Brüche:

Beispiel (2/3): $\frac{3}{2} \cdot \frac{7}{3} = \frac{21}{6}$

3 | Kürze das Ergebnis und wandle es ggf. in einen gemischten Bruch um:
Beispiel (3/3): $\frac{21}{6} = 3 \frac{1}{2}$

Division von gemischten Brüchen

1 | Wandle die gemischten Brüche in unechte Brüche um:
Beispiel (1/2): $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ und $2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

2 | Multipliziere mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs:

Beispiel (2/2): $\frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{3}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{7} = \frac{9}{14}$

Mögliche Fragestellungen | Häufig gestellte Fragen (FAQs)

1. Warum muss man gemischte Brüche in unechte Brüche umwandeln?

Es ist einfacher, mit unechten Brüchen zu rechnen, da die Regeln für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division direkt angewendet werden können.

2. Was ist ein unechter Bruch?

Ein unechter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler größer als der Nenner ist, wie $\frac{7}{3}$

Zusammenfassung

Gemischte Brüche kombinieren ganze Zahlen und Brüche. Um mit ihnen zu rechnen, wandelt man sie in unechte Brüche um, führt die notwendigen Berechnungen durch und wandelt das Ergebnis bei Bedarf zurück. Mit diesen Schritten kannst du sicher und korrekt mit gemischten Brüchen arbeiten.

Was kommt als Nächstes?

Wir haben mit dieser Lektion die Bruchrechnung abgeschlossen. Weitere Aufgaben dazu erwarten dich in der Probeklausur.

Wir starten in der folgenden Lerneinheit mit den Potenzen.

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