(Ma1-18) Gemischte Brüche

Wir betrachten in dieser Lerneinheit gemischte Brüche. Dieses Thema solltest du definitiv als angehender Ingenieur / Techniker beherrschen.

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Mathematik findest du im Kurs: MA1-Vorkurs zur Mathematik

Gemischte Brüche – Überblick

Du lernst, wie du einen unechten Bruch in einen gemischten Bruch umformst und umgekehrt.

Nachdem wir den gemeinen Bruch und die Regeln der Bruchrechnung kennengelernt haben, können wir uns den gemischten Brüchen widmen.

Merk’s dir!

Bei einem gemischten Bruch wird ein unechter Bruch aufgeteilt in einen ganzzahligen Anteil und einen echten Bruchanteil.

Jeder unechte Bruch, der kein Scheinbruch ist – also nicht in eine ganze Zahl umgeformt werden kann – lässt sich als gemischter Bruch darstellen.

Unechte Brüche in gemischte Brüche umformen

Betrachten wir also einen unechten Bruch, welcher keinen Scheinbruch darstellt:

$\dfrac{3}{2}$ Unechter Bruch

Zunächst wird der ganzzahlige Anteil betrachtet. Hier orientieren wir uns am Nenner. Wir setzen den Zähler gleich den Nenner und erhalten den ganzzahligen Anteil:

$\dfrac{2}{2} = 1$ Ganzzahliger Anteil

Wir benötigen als nächstes den Rest als echten Bruch. Dazu ziehen wir den ganzzahligen Anteil vom Ausgangsbruch ab und erhalten den Rest als Bruchanteil:

$\dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{2} = \dfrac{3-2}{2} = \dfrac{1}{2}$

Der Rest als echter Bruch ist also:

$\dfrac{1}{2}$ echter Bruchanteil

Insgesamt ergibt sich also der gemischte Bruch wie folgt:

$1 + \dfrac{1}{2} = 1 \dfrac{1}{2}$ Gemischter Bruch

Merk’s dir!

Wichtig: Bei der letzten Bruchdarstellung gilt

$1 \dfrac{1}{2} = 1 + \dfrac{1}{2}$

und nicht

$1 \cdot \dfrac{1}{2}$

Gemischte Brüche in unechte Brüche umformen

Es ist natürlich ebenfalls möglich einen gemischten Bruch in einen unechten Bruch umzuformen. Wir betrachten dazu den folgenden gemischten Bruch:

$2 \dfrac{3}{4}$

Zunächst haben wir den Bruchanteil als echten Bruch gegeben mit:

$\dfrac{3}{4}$ echter Bruchanteil

Um nun den ganzzahligen Anteil als Bruch darzustellen, betrachten wir wieder den Nenner. Wir setzen zunächst wieder Zähler und Nenner gleich:

$\dfrac{4}{4}$

Da unser ganzzahliger Anteil nun aber nicht 1 ist, sondern 2, müssen wir den ganzzahligen Bruchanteil mit 2 multiplizieren:

$2 \cdot \dfrac{4}{4} = \dfrac{8}{4}$ ganzzahliger Bruchanteil

Wir addieren nun beide Brüche miteinander:

$\dfrac{8}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{8+3}{4} = \dfrac{11}{4}$

Und erhalten somit den gemischten Bruch als unechten Bruch:

$2 \dfrac{3}{4} = \dfrac{11}{4}$

Schauen wir uns einige Beispiele für gemischte Brüche an.

Gemischte Brüche

Beispiel 1: Gemischte Brüche

Aufgabenstellung

Gegeben sei der folgende unechte Bruch:

$\dfrac{22}{5}$

Gib ihn als gemischten Bruch an!

Lösung

Zunächst bilden wir den ganzzahligen Anteil, indem wir den Nenner betrachten. Dieser weist die Zahl 5 auf. Jetzt schauen wir uns den Zähler an.

Wie oft passt nun die 5 in den Zähler?

Der Zähler weist die Zahl 27 auf. Da $5 \cdot 4 = 20$ passt die 5 ganze 4 mal in den Zähler. Wir haben also insgesamt 4 Ganze gegeben:

Ganzzahliger Anteil: $\dfrac{20}{5} = 4$

Danach ziehen wir den ganzzahligen Anteil vom Ausgangsbruch ab:

$\dfrac{22}{5} - \dfrac{20}{5} = \dfrac{22 - 20}{5} = \dfrac{2}{5}$

Der echte Bruchanteil beträgt demnach:

$\dfrac{2}{5}$

Wir haben also den folgenden gemischten Bruch gegeben:

Gemischter Bruch: $4 \dfrac{2}{5}$

Beispiel 2: Gemischte Brüche

Aufgabenstellung

Gegeben sei der folgende gemischte Bruch:

$4 \dfrac{5}{12}$

Gib ihn als unechten Bruch an!

Lösung

Zunächst bilden wir den ganzzahligen Anteil, indem wir den Nenner betrachten und den Zähler gleich den Nenner setzen:

$\dfrac{12}{12}$

Da nun aber der ganzzahlige Anteil 4 beträgt, müssen wir diesen mit 4 multiplizieren:

$\dfrac{12}{12} \cdot 4 = \dfrac{12 \cdot 4}{12} = \dfrac{48}{12}$ Ganzzahliger Anteil als Bruch

Danach addieren wir den echten Bruchanteil des Ausgangsbruchs mit dem ganzzahligen Bruchanteil:

$\dfrac{5}{12} + \dfrac{48}{12} = \dfrac{5 + 48}{12} = \dfrac{53}{12}$

Der unechte Bruch beträgt demnach:

$\dfrac{53}{12}$ Unechter Bruch

Was kommt als Nächstes?

Wir haben mit dieser Lektion die Bruchrechnung abgeschlossen. Weitere Aufgaben dazu erwarten dich in der Probeklausur.

Wir starten in der folgenden Lerneinheit mit den Potenzen.

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