(Ma1-17) Multiplikation und Division von Brüchen

In dieser Lerneinheit wollen wir uns anschauen, wie du Brüche multiplizieren und Brüche dividieren kannst.

Brüche multiplizieren

Bei der Multiplikation von zwei Brüchen, also dem Brüche multiplizieren werden die Zähler der beiden Brüchen und die Nenner der beiden Brüche miteinander multipliziert. Es resultiert als Ergebnis ein Bruch.

$\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}$ Multiplikation von Brüchen

Schauen wir uns dazu mal ein einfaches Beispiel an:

$\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{4}{7}$ Zwei Brüche multiplizieren

$\dfrac{5 \cdot 4}{8 \cdot 7} = \dfrac{20}{56}$

Wir können das Ergebnis noch kürzen, indem wir einen gemeinsamen Faktor (hier: 4) ausklammern:

$\dfrac{4 \cdot (5)}{4 \cdot (14)} = \dfrac{5}{14}$

Beispiel: Brüche multiplizieren

Schauen wir uns dazu mal ein weiteres Beispiel an.

undefiniert

Beispiel: Brüche multiplizieren

$\dfrac{4x}{5y} \cdot \dfrac{7y^2}{3x}$

Führe die Multiplikation durch und kürze soweit wie möglich!

Wir multiplizieren zunächst beide Brüche miteinander, indem wir Zähler und Nenner miteinander multiplizieren:

$\dfrac{4x \cdot 7y^2}{5y \cdot 3x} = \dfrac{28xy^2}{15yx}$

Danach können wir gemeinsamen Faktoren kürzen. Betrachten wir zunächst die Zahl im Zähler und Nenner (28 und 15). Hier kann nicht gekürzt werden, da kein gemeinsamer Teiler gegeben ist. Betrachten wir dann die Variablen im Zähler und im Nenner. Wir haben im Zähler die Variable x und im Nenner die Variable x gegeben. Diese können wir also ausklammern. Außerdem haben wir im Zähler die Variable y² = y ·y und im Nenner y, wir können also y ausklammern. Wir Klammer also xy aus und kürzen:

$\dfrac{xy \cdot (28y}{xy \cdot (15)} = \dfrac{28y}{15}$

Brüche dividieren

Du kannst zwei Brüche dividieren, indem du den Dividend mit dem Kehrwert des Divisors multiplizierst:

$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}$

mit

$\dfrac{a}{b}$ Dividend

$\dfrac{c}{d}$ Divisor

Schauen wir uns dazu mal ein einfaches Beispiel an:

$\dfrac{7}{8} : \dfrac{6}{5}$

$\dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{5}{6}$ Multiplikation mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs

$\dfrac{7 \cdot 5}{8 \cdot 6} = \dfrac{35}{48}$

Hier ist kein weiteres Kürzen mehr möglich!

Beispiel: Brüche dividieren

Schauen wir uns dazu mal ein weiteres Beispiel an.

undefiniert

Beispiel: Brüche dividieren

$\dfrac{14a}{5b^2} : \dfrac{2a^2}{3b^2}$

Führe die Division durch und kürze soweit wie möglich!

Zunächst multiplizieren wir den 1. Bruch mit dem Kehrwert des 2. Bruchs:

$\dfrac{14a}{5b^2} \cdot \dfrac{3b^2}{2a^2}$

$\dfrac{14a \cdot 3b^2}{5b^2 \cdot 2a^2} = \dfrac{42ab^2}{10b^2a^2}$

Danach können wir gemeinsamen Faktoren kürzen. Betrachten wir zunächst die Zahl im Zähler und Nenner (42 und 10). Hier ist der gemeinsame größte Teiler die 2. Ausklammern und kürzen:

$\dfrac{2 \cdot (21ab^2)}{2 \cdot (5b^2a^2)} = \dfrac{21ab^2}{5b^2a^2}$

Betrachten wir als nächstes die Variablen im Zähler und im Nenner. Wir haben im Zähler die Variable a und im Nenner die Variable a² = a · a gegeben. Hier können wir also ein a ausklammern. Außerdem haben wir im Zähler die Variable b² = b · b und im Nenner b² gegeben, wir können also b² ausklammern. Wir Klammer also ab² aus und kürzen:

$\dfrac{ab^2 \cdot (21)}{ab² \cdot (5a)} = \dfrac{21}{5a}$

Brüche dividieren: Doppelbruch

Der Doppelpunkt als Divisionszeichen kann auch mittels Bruchstrich ausgedrückt werden. Es entsteht dann ein Doppelbruch. Auch hier gelten die Regeln für die Division von Brüchen:

$\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}} = \dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}$

Beispiel: Brüche dividieren – Doppelbruch

Betrachten wir dazu mal ein Beispiel:

undefiniert

Beispiel: Brüche dividieren

$\dfrac{\dfrac{1}{x-y} - \dfrac{1}{x+y}}{\dfrac{y}{x+y}}$

Zunächst können wir die Division auch mit einem Doppelpunkt darstellen:

$(\dfrac{1}{x-y} - \dfrac{1}{x+y}) : \dfrac{y}{x+y}$

Danach multiplizieren wir mit dem Kehrwert des Bruchs:

$(\dfrac{1}{x-y} - \dfrac{1}{x+y}) \cdot \dfrac{x+y}{y}$

Die Zählerbrüche wollen wir Subtrahieren, dazu benötigen wir den Hauptnenner:

$\dfrac{1}{x-y} - \dfrac{1}{x+y}$

Hauptnenner bilden: $(x-y)(x+y)$

Den 1. Bruchs müssen wir mit (x+y) erweitern, den 2. Bruch mit (x-y):

$\dfrac{1 \cdot (x+y)}{(x-y) \cdot (x+y)} - \dfrac{1 \cdot (x-y)}{(x+y) \cdot (x-y)}$

$= \dfrac{(x+y) - (x-y)}{(x+y)(x-y)}$

$=\dfrac{x+y - x+y}{(x+y)(x-y)}$

$= \dfrac{2y}{(x+y)(x-y)}$

Danach wird der zusammengefasste Zähler mit dem Kehrwert des Nenners multipliziert:

$\dfrac{2y}{(x+y)(x-y)} \cdot \dfrac{x+y}{y}$

$= \dfrac{2y (x+y)}{(x+y)(x-y)y}$

$= \dfrac{2}{ (x-y)}$

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

Nachdem du weißt, wie wir Brüche dividieren und Brüche multiplizieren, betrachten wir in der folgenden Lerneinheit die Darstellung eines Bruchs als gemischten Bruch.

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