(Ma1-16) Brüche addieren (Hauptnenner)

In dieser Lerneinheit zeigen wir dir wie wir Brüche addieren und subtrahieren und wie der gemeinsame Nenner (Hauptnenner) bestimmt wird.

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei Videoclips und drei ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Brüche addieren und Brüche subtrahieren – Überblick

Wir wollen uns in diesem Lerntext mal ausführlich anschauen, wie wir Brüche addieren und subtrahieren. Dabei wollen wir zwischen gleichnamigen und ungleichnamigen Brüchen unterscheiden. Im ersten Fall ist die Addition bzw. Subtraktion sehr einfach durchzuführen. Im letztern Fall muss der gemeinsame Nenner der gegebenen Brüche gebildet werden.

Schauen wir uns die beiden Möglichkeiten mal im Detail an.

Gleichnamige Brüche addieren und subtrahieren

Von gleichnamigen Brüchen ist die Rede, wenn diese denselben Nennerwert aufweisen, z.B.:

$\dfrac{a}{b}$ und $\dfrac{c}{b}$ Gleichnamiger Bruch

Beide Brüche haben als Nenner b gegeben. Demnach handelt es sich hier um einen gleichnamigen Bruch. Gleichnamige Brüche werden miteinander addiert, indem die Zähler miteinander addiert werden. Der Nenner verändert sich nicht:

$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a+c}{b}$ Addition gleichnamiger Brüche

Gleichnamige Brüche werden miteinander subtrahiert, indem die Zähler subtrahiert werden. Der Nenner verändert sich nicht:

$\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{b} = \dfrac{a-c}{b}$ Subtraktion gleichnamiger Brüche

Schauen wir uns dazu mal ein Beispiel an:

undefiniert

Beispiel: Gleichnamige Brüche

$\dfrac{1}{5} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{1 + 3}{5} = \dfrac{4}{5}$

Ungleichnamige Brüche addieren und subtrahieren

Ungleichnamige Brüche sind Brüche, die nicht denselben Nennerwert aufweisen:

$\dfrac{a}{b}$ und $\dfrac{c}{d}$ Ungleichnamiger Bruch

Ungleichnamige Brüche werden addiert bzw. subtrahiert, indem man die Einzelbrüche auf einen gemeinsamen Nenner, den Hauptnenner, erweitert und dann die Zähler addiert bzw. subtrahiert. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Einzelnenner:

$\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot d \pm c \cdot b}{b \cdot d}$ Ungleichnamig Brüche addieren/subtrahieren

Schauen wir uns dazu ein Beispiel an:

undefiniert

Beispiel: Ungleichnamige Brüche addieren

$\dfrac{1}{7} + \dfrac{2}{3}$

Führe die Addition durch!

Wir suchen für den gemeinsamen Nenner (Hauptnenner) das kleinste gemeinsame Vielfache. Also diejenige Zahl, durch welche sowohl 7 als auch 3 teilbar sind.

Das kleinste Vielfache ist hierbei $3 \cdot 7 = 21$ . Denn 21 ist sowohl durch 7 also auch durch 3 teilbar. Unser Ziel ist also, den Hauptnenner 21 zu erreichen. Dazu müssen wir den 1. Bruch mit 3 erweitern und den 2. Bruch mit 7 erweitern. Erweitern bedeutet, dass wir sowohl Zähler als auch Nenner mit derselben Zahl multiplizieren:

$\dfrac{1}{7} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} + \dfrac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \dfrac{3}{21} + \dfrac{14}{21} = \dfrac{17}{21}$

Videosclips: Brüche addieren und subtrahieren

In den folgenden Videos behandeln wir die Addition und Subtraktion von gleichnamigen und ungleichnamigen Brüchen.

Lernclip

Brüche addieren und subtrahieren

Videoclip 1: Addition gleichnamiger und ungleichnamiger Brüche

Videoclip 2: Addition ungleichnamiger Brüche

Brüche addieren und subtrahieren

Wir wollen uns in den folgenden Beispielen lernen, wie wir Brüche addieren und subtrahieren. Du solltest diese Berechnungen in jedem Fall üben, denn sie werden dir später bei der Zusammenfassung von Bruchgleichungen wieder begegnen.

Beispiel 1 : Brüche subtrahieren

Aufgabenstellung

$\dfrac{3x}{x + y} - 2$

Führe die Subtraktion durch!

Lösung

Wir können auch schreiben:

$\dfrac{3x}{x + y} - \dfrac{2}{1}$

-Hauptnenner bilden:

$(x + y) \cdot 1$

Wir müssen also den 1. Bruch mit 1 erweitern und den 2. Bruch mit $(x + y)$ :

$\dfrac{3x \cdot 1}{(x + y) \cdot 1} - \dfrac{2 \cdot \(x + y)}{1 \cdot \(x + y)}$

$\dfrac{3x }{x + y} - \dfrac{2 (x + y)}{x + y} =\dfrac{3x}{x + y} - \dfrac{2 x + 2y}{x + y}$

$\dfrac{3x - (2x + 2y)}{x + y} = \dfrac{3x - 2x - 2y}{x + y} = \dfrac{x - 2y}{x + y}$

Beispiel 2: Brüche subtrahieren

Aufgabenstellung

$\dfrac{r + 1}{r-1} - 1$

Führe die Subtraktion durch!

Lösung

Wir können auch schreiben:

$\dfrac{r + 1}{r-1} - \dfrac{1}{1}$

Hauptnenner bilden:

$(r-1) \cdot 1$

Wir erweitern den 1. Bruch mit $1$ und den zweiten Bruch mit $(r-1)$ :

$\dfrac{(r + 1) \cdot 1}{(r-1) \cdot 1} - \dfrac{1 \cdot (r-1)}{1 \cdot (r-1)}$

$\dfrac{r + 1}{r-1 } - \dfrac{r-1}{r-1} = \dfrac{r + 1 - (r-1) }{r-1 } = \dfrac{r + 1 - r + 1 }{r-1 } = \dfrac{2}{r-1}$

Beispiel 3: Brüche addieren

Aufgabenstellung

$\dfrac{6x }{7x + 14} + \dfrac{12}{7x + 14}$

Führe die Addition durch!

Lösung

Wir haben hier bereits beide Nenner gleichnamig:

$\dfrac{6x + 12}{7x + 14}$

Wir können nun noch 6 im Zähler und 7 im Nenner ausklammern und erhalten:

$\dfrac{6(x + 2)}{7(x + 2)} = \dfrac{6}{7}$

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

In der folgenden Lerneinheit behandeln wir die Multiplikation und Division von Brüchen.

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