(Ma1-15) Kürzen und Erweitern von Brüchen

In dieser Lerneinheit betrachten wir das Kürzen und Erweitern von Brüchen.

Für ein optimales Verständnis helfen dir ein Videoclip und drei ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Kürzen und Erweitern von Brüchen – Überblick

Das Kürzen und Erweitern von Brüchen ist bei mathematischen Berechnungen gerade dann notwendig, wenn Gleichungen zusammengefasst oder nach einer Variable aufgelöst werden sollen. Wir schauen uns deswegen an, wie du Brüche erweiterst und kürzt.

Kürzen von Brüchen

Beim Kürzen eines Bruchs werden Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Faktor dividiert. Der Wert des Bruchs wird dabei nicht verändert.

Kürzen von Faktoren

$\dfrac{a \cdot b}{a \cdot c} = \dfrac{b}{c}$ Kürzen eines Faktors a

mit $a,c \neq 0$

Kürzen von Summen und Differenzen

Bei dem Kürzen von Summen bzw. Differenzen muss immer erst jedes Produkt betrachtet werden und dann der gemeinsame Faktor ausgeklammert werden.

$\dfrac{a \cdot b + a \cdot c}{a \cdot d} = \dfrac{a ( b + c) }{a \cdot d} = \dfrac{ b + c}{d}$

$\dfrac{a \cdot b - a \cdot c}{a \cdot d} = \dfrac{a ( b - c) }{a \cdot d} = \dfrac{ b - c}{d}$

$\dfrac{a \cdot d }{a \cdot b + a \cdot c} = \dfrac{a \cdot d }{a (b + c)} = \dfrac{d}{b + c}$

$\dfrac{a \cdot d }{a \cdot b - a \cdot c} = \dfrac{a \cdot d }{a (b - c)} = \dfrac{d}{b - c}$

Beim Kürzen müssen Zähler und Nenner als Produkt vorliegen.

Beispiele: Kürzen von Brüchen

Beispiel 1: Kürzen von Brüchen

Schauen wir uns dazu mal ein Beispiel an.

undefiniert

Beispiel: Kürzen von Brüchen

Gegeben seien die beiden Brüche:

a) $\dfrac{4x}{4y} = \dfrac{x}{y}$

b) $\dfrac{4x + 8y}{4xy}$

Kürze diese so weit wie möglich!

a) Hier können wir direkt sehen, dass Zähler und Nenner den gemeinsamen Faktor 4 aufweisen und diesen kürzen:

$\dfrac{4x}{4y} = \dfrac{x}{y}$

b) Bei diesem Bruch haben wir im Zähler zwei Produkte gegeben (4x und 6y). Wir können hier nicht einfach die 4 vom linken Produkt des Zählers (4x) mit der 4 im Nenner kürzen. Wir müssen immer alle Produkte betrachten. Wie können wir also das Produkt 8y mitberücksichtigen? Hier können wir ganz einfach 4 ausklammern, denn 4 · 2 = 8. Wir können also die 4 oben ausklammern und dann kürzen:

$\dfrac{4(x + 2y))}{4xy} = \dfrac{x + 2y}{xy}$

Beispiel 2: Kürzen von Brüchen

Betrachten wir ein weiteres Beispiel.

undefiniert

Beispiel: Kürzen von Brüchen

$\dfrac{6x + 8xy}{2xy}$

Kürze den Bruch so weit wie mögliche!

Der obige Bruch weist im Zähler zwei Produkte und im Nenner ein Produkt auf. Wir müssen hier zunächst für alle Produkte den gemeinsamen Faktor finden, den wir kürzen können. 2 ist die kleinste zu berücksichtigende Zahl (im Nenner), demnach orientieren wir uns an dieser. Die 2 ist durch 2 teilbar. Wir schauen also, ob wir die 2 im Zähler ausklammern können. Dies ist möglich, da 6/2 = 3 und 8/2 = 4:

$\dfrac{2(3x + 4xy)}{2xy}$

Wir können also die 2 kürzen:

$\dfrac{3x + 4xy}{2xy}$

Schauen wir uns den Bruch genauer an, können wir zusätzlich noch die Variable x kürzen, da diese in jedem Produkt vorkommt:

$\dfrac{x(3 + 4y)}{x(2y)} = \dfrac{3 + 4y}{2y}$

Videoclip: Kürzen von Brüchen

Schauen wir uns das Kürzen von Brüchen mal an einem Beispiel im folgenden Video an:

Lernclip

Kürzen von Brüchen

Erweitern von Brüchen

Beim Erweitern von Brüchen werden Zähler und Nenner mit demselben Faktor multipliziert. Der Wert des Bruchs wird dabei nicht verändert.

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot c}$

mit $c,b \neq 0$

Bei Erweitern von Brüchen muss jedes Produkt mit demselben Faktor multipliziert werden.

Schauen wir uns dazu ein Beispiel an:

undefiniert

Beispiel: Erweitern von Brüchen

Gegeben seien die folgenden Brüche:

a) $\dfrac{5x}{8}$

b) $\dfrac{4xy - 6x}{2xy}$

c) $\dfrac{4ax - 7xy}{2xy - 5a}$

Erweitere beide Brüche mit 5!

a) Gegeben ist ein Bruch mit jeweils einem Produkt im Zähler und einem Produkt im Nenner. Wir können also den Bruch erweitern, indem wir beide Produkte erweitern:

$\dfrac{5x \cdot 5}{8 \cdot 5} = \dfrac{25x}{40}$

b) Bei diesem Bruch sind im Zähler zwei Produkte gegeben und im Nenner ein Produkt. Wir müssen nun alle Produkte mit 5 multiplizieren, um den Bruch zu erweitern:

$\dfrac{4xy \cdot 5 - 6x \cdot 5}{2xy \cdot 5} = \dfrac{20xy - 30x}{10xy}$

c) Bei diesem Bruch haben wir jeweils zwei Produkte in Nenner und Zähler. Wir müssen nun alle 4 Produkte mit 5 multiplizieren:

$\dfrac{4ax \cdot 5 - 7xy \cdot 5}{2xy \cdot 5 - 5a \cdot 5} = \dfrac{20ax- 35xy}{10xy - 25a}$

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

Das Kürzen und Erweitern von Brüchen wird dir in den nachfolgenden Lerneinheiten noch beim Rechnen mit Brüchen begegnen. Schauen wir uns zunächst mal an, wie Brüche addiert und subtrahiert werden. Anschließend betrachten wir deren Multiplikation und Division.

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