(Ma1-14) Brucharten – Überblick

In dieser Lerneinheit schauen wir uns mal an, welche verschiedenen Brucharten es gibt.

Für ein optimales Verständnis helfen dir vier ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Brucharten – Grundlagen

In der obigen Grafik siehst du eine Pizza, die in 8 Stücke geschnitten wurde. Du hast also aus einem Ganzen 8 Teile gemacht. Nimmst du dir ein Stück dieser Pizza, so fehlt 1/8 dieser Pizza. Bei 2 Stücken fehlen dann 2/8, bei 3 Stücken 3/8 usw.

Brüche begegnen dir also nicht nur in der Mathematik, sondern auch im alltäglichen Leben. Überall dort, wo du ein Ganzes in Teile zerlegst, arbeitest du mit Brüchen.

undefiniert

Beispiel: Teilen

Wenn du also an einem Geburtstag deinen Kuchen in Stücke schneiden sollst, dann überlegst du vorher wie viele Gäste überhaupt kommen. Sind so zum Beispiel insgesamt 12 Personen am Kuchenessen beteiligt, solltest du deinen Kuchen in mindestens 12 Stücke schneiden.

Die Bruchrechnung gehört zu Arithmetik – einem Teilgebiet der Mathematik – und bezeichnet das Rechnen mit Brüchen. Wir wollen uns in dieser Lerneinheit erstmal die unterschiedlichen Arten für Brüchen anschauen. In den folgenden Lerneinheiten zeigen wir dir dann, wie du Brüche erweiterst und kürzt sowie die grundlegenden Rechenoperationen ausführst (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division).

Brucharten – Überblick

Die folgenden Arten von Brüchen werden voneinander unterschieden:

Brucharten: Gemeiner Bruch

Ist die Rede von einem gemeinen Bruch, so ist die folgende Zähler-Bruchstrich-Nenner Schreibweise gemeint:

Der Zähler $Z$ und Nenner $N$ eines gemeinen Bruchs gehören zu den ganzen Zahlen:

$N,Z \in \mathbb{Z}$

Der Nenner darf nicht den Wert Null annehmen $Z \neq 0$ , da eine Division durch Null nicht definiert ist. Ein negatives Vorzeichen wird vor den Bruch gesetzt:

$\dfrac{5}{-8} = - \dfrac{5}{8}$

$\dfrac{-1}{6} = - \dfrac{1}{6}$

$\dfrac{-2}{-7} = \dfrac{2}{7}$

Sind Zähler und Nenner beide negativ, so ergibt sich nach den Regeln der Division von Zahlen ein positiver Bruch.

Jeder Bruch kann als Divisionsaufgabe angesehen werden. Hierbei ist der Zähler $Z$ der Dividend und der Nenner $N$ der Divisor:

Häufig wird in Texten anstellen des waagerechten Bruchstrichs ein schräger Bruchstrich gewählt, um einen gemeinen Bruch darzustellen: 3/4, 4/5,… . Dies ist vor allem bei einstelligen Brüchen in Fließtexten der Fall.

Brucharten: Echter und unechter Bruch

Bei einem echten (auch: eigentlichen) Bruch ist der Betrag des Zählers kleiner, als der Betrag des Nenners. Bei einem unechten (auch: uneigentlichen) Bruch ist der Betrag des Zählers größer, als der Betrag des Nenners:

Brucharten: Stammbruch und Zweigbruch

Bei einem Stammbruch besitzt der Zähler den Wert 1, bei einem Zweigbruch weist der Zähler einen Wert ungleich 1 auf:

Brucharten: Scheinbruch

Wir sprechen von einem Scheinbruch, wenn der Zähler ein ganzzahliges Vielfaches vom Nenner darstellt und sich durch das Kürzen zu einer ganzen Zahl umformen lässt.

So ist zum Beispiel der Bruch $\dfrac{8}{4}$ ein Scheinbruch, da sich dieser Bruch zu der Zahl 2 kürzen lässt.

Jede ganze Zahl $n$ kann als Scheinbruch dargestellt werden:

Ganze Zahl als Bruch: $\dfrac{n}{1}$

Beispiel: Scheinbruch

Betrachten wir hierzu ein Beispiel:

undefiniert

Beispiel: Scheinbruch

Die Zahl 5 kann als Bruch wie folgt dargestellt werden: $\dfrac{5}{1}$

Brucharten – Kehrwert eines Bruchs

Der Kehrwert eines Bruchs ergibt sich durch Vertauschen von Zähler und Nenner:

$\dfrac{b}{a}$ ist der Kehrwert zum Bruch $\dfrac{a}{b}$

Der Kehrwert einer Zahl $a$ ist $\dfrac{1}{a}$ .

Beispiel: Kehrwert eines Bruchs

Betrachten wir hierzu ein Beispiel:

undefiniert

Beispiel: Kehrwert eines Bruchs

Gegeben sei der folgende Bruch:

$\dfrac{2a^2b}{4cd^2}$

Der Kehrwert dieses Bruchs wird gebildet, indem Nenner und Zähler miteinander vertauscht werden:

$\dfrac{4cd^2}{2a^2b}$

Der Kehrwert wird zum Beispiel bei der Division von Brüchen benötigt (siehe spätere Lerneinheit).

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

Nachdem du nun weißt, welche Arten von Brüchen es gibt, betrachten wir in der folgenden Lerneinheit, wie Brüche gekürzt und erweitert werden.

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