(Ma1-13) Binomische Formeln

In dieser Lerneinheit behandeln wir Binomische Formeln.

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei Videoclips und vier ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Binomische Formeln – Grundlagen

Binomische Formeln werden als Merkformel verwendet, um das Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken zu erleichtern sowie zur Faktorisierung von Termen, also zur Umformung von bestimmten Summen/Differenzen in Produkte.

Innerhalb der Mathematik werden dir die binomischen Formeln häufig begegnen, wenn du zum Beispiel Gleichungen umformen oder zusammenfassen sollst, bei der Überführung einer quadratischen Gleichung in die Scheitelform und umgekehrt sowie beim Vereinfachen von Bruchtermen. Dies sind nur einige Beispiele, für welche du die binomischen Formeln benötigst.

Betrachten wir nun die drei binomischen Formeln.

Erste Binomische Formel

Die erste Binomische Formel lautet:

$(a + b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2$

Ist eine quadratische Klammer gegeben, so kannst du diese auch in der folgenden Form schreiben:

$(a + b)^2 ) = (a + b) (a + b)$

Anstelle nun aber jeden Wert der ersten Klammern mit jedem Wert der zweiten Klammer zu multiplizieren, kannst du hier die 1. Binomische Formel anwenden.

Betrachten wir hierzu mal ein Beispiel:

undefiniert

Beispiel: Erste binomische Formel

Gegeben sei die Klammer:

$(5x + 20)^2$

Löse die Klammer auf!

Du kannst hier die erste Binomische Formel anwenden:

$(5x + 20)^2 = (5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 20 + 20^2$

Du quadrierst hierzu das erste Glied $(5x)^2$ , danach multipliziert du 2 mal das erste und das zweite Glied miteinander $2 \cdot 5x \cdot 20$ und im letzten Schritt quadrierst du das zweite Glied $20^2$ .

Es ergibt sich:

$(5x + 20)^2 = (5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 20 + 20^2 = 25x^2 + 200x + 400$

Betrachten wir als nächstes die zweite Binomische Formel.

Zweite Binomische Formel

Die zweite Binomische Formel lautet:

$(a - b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2$

Der Unterschied zur ersten Binomischen Formel ist das Minuszeichen. Beim Auflösen der Klammer musst du dieses dann beim mittleren Glied berücksichtigen.

Betrachten wir hierzu mal ein Beispiel:

undefiniert

Beispiel: Zweite Binomische Formel

Gegeben sei die Klammer:

$(6 + 4y)^2$

Löse die Klammer auf!

Du kannst hier die zweite Binomische Formel anwenden:

$(6 + 4y)^2 = (6)^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4y + (4y)^2$

Es ergibt sich:

$(6 + 4y)^2 = (6)^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4y + (4y)^2 = 36 - 48y + 16y^2$

Betrachten wir als nächstes die dritte Binomische Formel.

Dritte Binomische Formel

Die dritte Binomische Formel lautet:

$(a + b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2$

Bei der dritten binomischen Formel sind zwei Klammern gegeben, die miteinander multipliziert werden. Um die dritte binomische Formel anwenden zu können müssen das erste und zweite Glied innerhalb beider Klammern den selben Wert aufweisen, jedoch mit dem Unterschied, dass in der ersten Klammer eine Addition und in der zweiten Klammer eine Subtraktion erfolgt.

Betrachten wir dazu ein Beispiel:

undefiniert

Beispiel: Dritte Binomische Formel

Gegeben seien die beiden Klammern:

$(4x + 5y) (4x - 5y)$

Löse die Klammern auf!

Wir können hier die dritte Binomische Formel anwenden, da beide Glieder in den Klammer gleich sind. In der ersten Klammer ist eine Addition der beiden Glieder gegeben, in der 2. Klammer eine Subtraktion:

$(4x + 5y) (4x - 5y) = (4x)^2 - (5y)^2$

Du gehst nun wie folgt vor: Du quadrierst das erste Glied und ziehst das zweite quadrierte Glied davon ab.

Es resultiert:

$(4x + 5y) (4x - 5y) = (4x)^2 - (5y)^2 = 16x^2 - 25y^2$

Videoclips: Binomische Formeln

Die folgenden beiden Videos zeigen dir, wie du binomische Formeln anwendest, um die Klammern aufzulösen:

Lernclip

Binomische Formeln

Videoclip 1: Binomische Formeln

Videoclip 2: Binomische Formeln

Wir wollen uns mal einige Beispiele anschauen, in denen wir binomische Formeln anwenden.

Beispiele: Binomische Formeln

Versuche zunächst die nachfolgenden Aufgaben selbstständig zu lösen, bevor du dir die Lösungen anschaust. Binomische Formeln sind auch für weitere Berechnungen relevant. Du solltest diese also Üben, damit du die Anwendung dieser erlernst. Nur regelmäßiges Üben führt zu einem sicheren Umgang und hilft dir auch innerhalb einer Prüfung, schnell das Ergebnis zu erhalten und auch sofort zu erkennen, wann du die binomischen Formeln anwenden kannst.

Beispiel 1: Binomische Formeln

Aufgabenstellung

Gegeben sei die folgende Summe:

$(a-3)^2 + (a +3)^2$

Führe die Addition durch!

Lösung

Wir haben hier zwei Klammer gegeben, die miteinander addiert werden sollen. Zunächst müssen wir dazu die Klammern auflösen. Dazu wenden wir für die 1. Klammer die 2. Binomische Formel und für die 2. Klammer die 1. Binomische Formel an:

2. Binomische Formel

$(a-3)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 - 6a + 9$

1.Binomische Formel

$(a+3)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 + 6a + 9$

Danach können wir die Addition vornehmen:

$a^2 - 6a + 9 + a^2 + 6a + 9 = 2a^2 + 18$

Beispiel 2: Binomische Formeln

Aufgabenstellung

Gegeben sei die folgende Summe:

$3(2a+7b)^2 + (2a-7b)^2 - (4a+5b)(4a-5b)$

Gib das Ergebnis an!

Lösung

Wir haben hier vier Klammern gegeben. Wir wenden für die erste Klammer die 1. Binomische Formel, für die zweite Klammer die 2. binomische Formel und für die letzten beiden Klammern die 3. binomische Formel an:

1. Binomische Formel

$(2a+7b)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 7b + (7b)^2 = 4a^2 + 28ab + 49b^2$

2. Binomische Formel

$(2a-7b)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 7b + (7b)^2 = 4a^2 - 28ab + 49b^2$

3. Binomische Formel

$(4a+5b)(4a-5b) = (4a)^2 - (5b)^2 = 16a^2 - 25b^2$

Wir setzen jetzt die Klammer:

$3(4a^2 + 28ab + 49b^2) + (4a^2 - 28ab + 49b^2) - (16a^2 - 25b^2)$

Den Faktor 3 dürfen wir hier nicht vergessen, welcher vor der ersten Klammer gegeben ist. Wir müssen nun jeden Wert in der Klammer mit dem Faktor 3 multiplizieren:

$12a^2 + 84ab + 147b^2 + (4a^2 - 28ab + 49b^2) - (16a^2 - 25b^2)$

Wir können nun die restlichen Klammern auflösen. Die Klammer in der Mitte hat weder einen Faktor noch ein Minuszeichen vor der Klammer und kann demnach einfach aufgelöst werden:

$12a^2 + 84ab + 147b^2 + 4a^2 - 28ab + 49b^2 - (16a^2 - 25b^2)$

Die letzte Klammer hat ein Minuszeichen vor der Klammer. Das bedeutet, dass sich alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umdrehen:

$12a^2 + 84ab + 147b^2 + 4a^2 - 28ab + 49b^2 - 16a^2 + 25b^2$

Wir können nun gleiche Terme zusammenfassen. Dabei orientieren wir uns an den gegebenen Variablen:

$12a^2 + 84ab + 147b^2 + 4a^2 - 28ab + 49b^2 - 16a^2 + 25b^2$

$\rightarrow 12a^2 + 4a^2 - 16a^2 = 0$

$\rightarrow 84ab - 28ab = 56ab$

$\rightarrow 147b^2 + 49b^2 + 25b^2 = 221b^2$

Daraus folgt:

$221b^2 + 56ab$

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Beispiel 3: In Klammer umformen mittels binomischer Formel

Aufgabenstellung

Gegeben sei die folgende Summe:

$x^2 + 6x + 9$

Forme in ein Produkt um!

Lösung

In dieser Aufgabe ist eine Summe gegeben, die in ein Produkt umgeformt werden soll. Mit geschulten Auge erkennst du sofort, dass du hier binomische Formeln anwenden kannst. Du benötigst hierfür die 1. Binomische Formel, da beim mittleren Term ein Pluszeichen gegeben ist:

1. Binomische Formel:

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$

$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$

Zur Anwendung der binomischen Formel gehst du wie folgt vor: Du betrachtest zunächst den ersten Term a² bzw. x². Hier ziehst du die Wurzel. Dann hast du a bzw. x gegeben.

Danach betrachtest du den dritten Term b² bzw. 9. Auch hier ziehst du die Wurzel. Dann hast du b bzw. 3 gegeben.

Beispiel 4: In Klammer umformen mittels binomischer Formel

Aufgabenstellung

Gegeben sei die folgende Summe:

$49x^2 - 42xy + 9y^2$

Forme in ein Produkt um!

Lösung

Auch in dieser Aufgabe sollst du die gegebene Summe/Differenz in ein Produkt umformen. Hierzu kannst du die 2. binomische Formel verwenden, da der mittlere Term ein Minuszeichen enthält.

2. Binomische Formel:

$a^2 - 2ab + b^2 = (a + b)^2$

$49x^2 - 42xy + 9y^2 = (7x - 3y)^2$

Zur Anwendung der binomischen Formel gehst du wie folgt vor: Du betrachtest zunächst den ersten Term 49x². Hier ziehst du die Wurzel:

$\sqrt{49x^2} = 7a$

Danach betrachtest du den dritten Term 9y² und ziehst auch hier die Wurzel:

$\sqrt{9y^2} = 3y$

Damit hast du mittels der binomischen Formel die Summe/Differenz in ein Produkt überführt. Du solltest immer noch die Gegenrechnung zur Überprüfung durchführen:

$(7x - 3y)^2 = (7x)^2 - 2 \cdot 7x \cdot 9y + (3y)^2 = 49x^2 - 42xy + 9y^2$

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

Nachdem wir uns binomische Formeln ausführlich angeschaut haben, wollen wir in der folgenden Lerneinheit mit der Bruchrechnung starten.

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