(Ma1-12) Klammern auflösen und zusammenfassen

Inhaltsverzeichnis

In dieser Lerneinheit zeigen wir dir wie du Klammern auflösen und danach die Glieder eines Terms zusammenfassen kannst. Das Thema Klammern auflösen solltest du definitiv für deine Prüfung beherrschen. 

 


Für ein optimales Verständnis helfen dir drei Videoclips und neun ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.


 


Klammern auflösen – Grundlagen


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Klammern auflösen

 

In vielen Fälle ist es notwendig Klammern aufzulösen, um beispielsweise Terme zusammenzufassen oder Gleichungen aufzulösen. Wir wollen uns deshalb mal schauen, wie du vorgehen musst, wenn du Klammern auflösen und danach die Glieder eines Terms zusammenfassen sollst.

 


Klammern auflösen: Vorzeichen vor einer Klammer


Schauen wir uns zunächst mal an, wie ein Vorzeichen vor einer Klammer berücksichtigt werden muss, wenn die Klammer aufgelöst werden soll:

 

4 + (6 - 2) = 4 + 6 - 2 = 8

Bei einem Pluszeichen vor der Klammer, fällt die Klammer einfach weg.

 

4 - (6 - 2) = 4 - 6 + 2 = -4

Bei einem Minuszeichen vor der Klammer, ändern sich die Vorzeichen aller Glieder innerhalb der Klammer.

 

Schauen wir uns dazu mal Beispiele an:

undefiniert
Beispiel: Vorzeichen vor einer Klammer

Gegeben seien die folgenden Rechenoperationen:

5 - (6 - 4) + 5

Löse die Klammern auf und fasse zusammen.

a) Wir haben ein Pluszeichen vor der Klammer gegeben, damit fällt die Klammer einfach weg:

 

5 - (6 - 4) + 5

 

= 5 - 6 + 4 + 5

 

= 8

 

Schauen wir uns nun an, wie Klammern aufgelöst werden, vor denen ein Faktor steht.


Klammern auflösen: Faktor vor einer Klammer


Ein Faktor vor einer Klammer bedeutet, dass jedes Glied innerhalb der Klammer mit diesem Faktor multipliziert werden muss:

 

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

Ist ein Faktor a vor einer Klammer gegeben, so muss jedes Glied innerhalb der Klammer mit diesem Faktor multipliziert werden.

 


Beispiel: Klammer auflösen


Betrachten wir dazu ein Zahlenbeispiel:

undefiniert
Service-Titel

Gegeben seien die folgenden beiden Terme:

a) 4 \cdot (5 + 8)

b) -3 \cdot (6 - 2)

Löse die Klammern auf!

 

Lösung zu a)

4 \cdot (5 + 8)

 

= 4 \cdot 5 + 4 \cdot 8

 

= 20 + 32 = 52

 

Lösung zu b)

 

-3 \cdot (6 - 2)

 

= (-3) \cdot 6 + (-3) \cdot (-2)

 

= -18 + 6 = -12

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Bei der Multiplikation musst du auf die Vorzeichen achten:

Aus + · + wird +

Aus + · – wird

Aus – · – wird +

Das Multiplikationszeichen vor der Klammer wird in der Regel nicht mit angegeben, so dass gilt:

 

5(6 + 7) = 5 \cdot (6 + 7)

 


Klammern auflösen: Zusammenfassen von Gliedern


Wir haben oben zunächst nur Zahlen in den einzelnen Gliedern eines Terms berücksichtigt. Nach dem Auflösen der Klammern haben wir dann die Zahlenwerte miteinander verrechnet, so dass am Ende als Ergebnis eine Zahl resultierte. Sind nun aber nicht nur Zahlenwerte sondern auch Variablen innerhalb des Terms gegeben, dann musst du wissen, welche Glieder des Terms du nach dem Ausmultiplizieren zusammenfassen kannst.

 


Beispiel 1: Zusammenfassen


Starte wir dazu mit einem Beispiel:

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Beispiel: Zusammenfassen

5x -(16y - 2x) + 4y

Zunächst lösen wir die Klammer auf. Da ein Minuszeichen vor der Klammer gegeben ist, müssen wir alle Vorzeichen in der Klammer umdrehen:

 

5x - 16y + 2x + 4y

 

In der obigen Gleichung kannst du nun diejenigen Glieder zusammenfassen, welche genau die gleichen Variablen enthalten. Du kannst demnach 5x und 2x sowie -16y und 4y miteinander verrechnen. Dazu verrechnest du einfach die Zahlenwerte vor den Variablen miteinander:

 

Es ergibt sich also zusammenfassend:

 

7x - 12y

 

 


Beispiel 2: Zusammenfassen


Betrachten wir ein weiteres Beispiel:

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Beispiel: Zusammenfassen

-22x^2 + 10x^3 - (-5x^2 + 4x^3)

Zunächst lösen wir wieder die Klammer auf:

 

-22x^2 + 10x^3 + 5x^2 - 4x^3

 

In der obigen Gleichung kannst du diejenigen Glieder zusammenfassen, welche genau die gleichen Variablen enthalten. Hier musst du aber darauf achten, dass du nur gleiche Variablen mit gleichen Exponenten miteinander verrechnen darfst:

 

-22x^2 + 5x^2 = -17x^2

 

10x^3- 4x^3 = 6x^3

 

Es ergibt sich also zusammenfassend:

 

-17x^2 + 6x^3

 

Wir können hier noch gemeinsame Faktoren (hier: x²) ausklammern:

 

x^2(-17 + 6x)

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Wird von Zusammenfassen gesprochen, dann ist nicht nur das Zusammenfassen der Glieder gemeint, sondern ebenfalls das anschließende Faktorisieren.

 

 


Beispiel 3: Zusammenfassen


Betrachten wir ein weiteres Beispiel mit mehreren Variablen in einem Glied:

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Beispiel: Zusammenfassen

4ab + 10a^2b - 12ab - 4ab^2 + 2a^2b

Auch hier gilt, dass nur Glieder zusammengefasst werden dürfen, die genau dieselben Variablen inklusive Exponent aufweisen. Es gilt also:

 

4ab - 12ab = -8ab

 

10a^2b + 2a^2b = + 12a^2b

 

Das Glied -4ab^2 kann mit keinem anderen Glied verrechnet werden, es verbleibt also:

 

-8ab + 12a^2b - 4ab^2

 

Wenn wir von zusammenfassen sprechen, dann meinen wir auch das Faktorisieren. Demnach schauen wir, ob wir die obige Gleichung noch faktorisieren können, indem wir die Zahlenwerte und Variablen betrachten. Alle drei Terme haben als gemeinsamen Teiler die 4:

 

4(-ab + 3a^2b - ab^2)

 

In jedem Glied ist ein a und ein b enthalten:

 

4ab(-1 + 3a - b)

 

Wird also von Zusammenfassen gesprochen, dann ist nicht nur das Zusammenfassen der Glieder gemeint, sondern ebenfalls das Faktorisieren.

 

 


Beispiel 4: Vorzeichen vor einer Klammer


Schauen wir uns mal ein Beispiel zum Auflösen von Klammern und zusammenfassen an:

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Beispiel: Vorzeichen vor einer Klammer

Gegeben seien die folgenden Terme:

a) 4x (5x + 8 - 2y)

b) -3a (4a - 3b + 5)

Löse die Klammern auf und fasse zusammen.

a) Wir müssen nun 4x mit jedem Term innerhalb der Klammer multiplizieren:

 

4x \cdot 5x + 4x \cdot 8 + 4x \cdot (-2y)

 

= 20x^2 + 32x - 8xy

 

Als nächstes klammern wir gemeinsame Faktoren aus:

 

4x(5x + 8 -2y)

 

b) Wir müssen nun -3a mit jedem Term innerhalb der Klammer multiplizieren:

 

(-3a)  \cdot 4a - (-3a) \cdot 3b + (-3a) \cdot 5

 

= -12a^2 + 9ab - 15a

 

Als nächstes klammern wir gemeinsame Faktoren aus:

 

3a( -4a + 3b - 5)

 

Betrachten wir als nächstes wie zwei Klammer miteinander multipliziert werden.


Klammern auflösen: Klammern miteinander multiplizieren


Wir wollen nun betrachten, wie man zwei Klammern miteinander multipliziert:

 

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Jedes Glied der ersten Klammer wird mit jedem Glied der zweiten Klammer multipliziert.

 


Beispiel 1: Klammern miteinander multiplizieren


Betrachten wir hierzu ein Zahlenbeispiel:

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Beispiel: Klammern miteinander multiplizieren

(5 + 2)(6 + 1)

 

Wir müssen nun jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer multiplizieren:

 

5 \cdot 6 + 5 \cdot 1 + 2 \cdot 6 + 2 \cdot 1

 

= 30 + 5 + 12 + 2 = 49

 

 


Beispiel 2: Vorzeichen vor einer Klammer


Schauen wir uns dazu mal weitere Beispiele an:

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Beispiel: Vorzeichen vor einer Klammer

Gegeben seien die folgenden Klammern:

a) (-4x + 5)(6 - 6x)

b) 4a(5a - 4b)(5 + 3b)

Löse die Klammern auf und fasse zusammen.

a) Wir lösen die beiden Klammern auf, indem wir jedes Glied der ersten Klammern mit jedem Glied der zweiten Klammer multiplizieren:

 

(-4x) \cdot 6 + (-4x) \cdot (-6x) + 5 \cdot 6 + 5 \cdot (-6x)

 

= -24x + 24x^2 + 30 - 30x

 

= 24x^2 - 54x + 30

 

Als nächstes klammern wir gemeinsame Faktoren aus:

 

6(4x^2 - 9x + 5)

 

b) Wir lösen die beiden Klammern auf, indem wir jedes Glied der ersten Klammern mit jedem Glied der zweiten Klammer multiplizieren. Den Faktor vor der Klammer berücksichtigen wir erst danach:

 

5a \cdot 5 + 5a \cdot 3b + (-4b) \cdot 5 + (-4b) \cdot 3b

 

= 25a + 15ab - 20b - 12b^2

 

Als nächstes müssen wir noch den Faktor berücksichtigen:

 

4a(25a + 15ab - 20b - 12b^2)

 

= 4a \cdot 25a + 4a \cdot 15 ab - 4a \cdot 12b^2

 

= 100a^2 + 60a^2b - 60b^2a

 

Als nächstes klammern wir gemeinsame Faktoren aus:

 

20a(5a + 3ab - 3b^2)

 


Mehrere Klammern miteinander multiplizieren


Hast du nicht nur zwei Klammern, sondern mehrere Klammern gegeben, so multiplizierst du erst zwei Klammern miteinander und das Ergebnis dann mit der nächsten Klammer. Betrachten wir hierzu mal ein Beispiel:

 

(2y + 5) (4y + 3) (5y + 5)

 

Hier multiplizierst du zunächst zwei Klammern miteinander:

 

(2y + 5) (4y + 3)

 

= 6y^2 + 6y + 20y + 15

 

6y^2 + 26y + 15

 

Dieses Ergebnis multiplizierst du nun mit der dritten Klammer:

 

(6y^2 + 26y + 15) (5y + 5)

 

= 30y^3 + 30y^2 + 130y^2 + 130y + 75y + 75

 

= 30y^3 + 160y^2 + 205y + 75

 

undefiniert
Hinweis: Quadratische Klammern

Für quadratische Klammern kannst du die binomischen Formeln anwenden, die im nächsten Lerntext behandelt werden.

 

Betrachten wir als nächstes wie verschachtelte Klammern aufgelöst werden.


Klammern auflösen: Verschachtelte Klammern


Sind mehrere Klammern gegeben, die ineinander verschachtelt sind, dann beginnst du mit der Auflösung der Klammern immer von innen nach außen:

 

4 \{5 - [6 + 8(3 - 2) + 10] - 14\}

 

Bei der Auflösung starten wir mit der inneren Klammer ( ):

 

4\{5 - [6 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 2 + 10] - 14\}

 

= 4\{5 - [6 + 24 - 16 + 10] - 14\}

 

= 4\{5 - [24] - 14\}

 

Danach lösen wir die eckige Klammer auf [ ]:

 

4\{5 - [24] - 14\}

 

= 4\{5 - 24 - 14\}

 

= 4\{-33\}

 

Als letztes Lösen wir die geschweifte Klammer auf { }:

 

4\{-33\} = 4 \cdot (-33)

 

= -132

 


Beispiel 1: Vorzeichen vor einer Klammer


Schauen wir uns dazu mal ein Beispiel an:

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Beispiel: Vorzeichen vor einer Klammer

Gegeben seien die folgende Rechenopration:

2\{5x - [6y + 3x - 5(2y - 3) + 6y] + 20\}

Löse die Klammern auf und fasse zusammen.

 

a) Wir lösen die beiden Klammern auf, indem wir zunächst die runden innere Klammer auflösen:

 

2\{5x - [6y + 3x - 10y + 15 + 6y] + 20\}

 

Danach können wir die Terme in der eckigen Klammern zusammenfassen:

 

2\{5x - [2y + 3x + 15] + 20\}

 

Danach lösen wir die eckige Klammer auf und fassen zusammen:

 

2\{5x - 2y - 3x - 15 + 20\}

 

2\{2x - 2y +5\}

 

Als letztes lösen wir die geschweifte Klammer auf und fassen ggf. zusammen:

 

4x - 4y +10

 

Nach dem Auflösen der Klammer, erhalten wir den obige Ausdruck.

 


Videoclips: Klammern auflösen


In den folgenden beiden Videos zeigen wir dir nochmal, wie du Klammern auflöst und Gleichungen zusammenfassen kannst.


Lernclip
Klammern auflösen

 


Videoclip 1: Klammern auflösen


 


Videoclip 2: Klammern auflösen und zusammenfassen


 


Videoclip 3: Klammern auflösen und dividieren


 

 


Klammern auflösen


Schauen wir uns im folgenden mal einige Beispiele an, in denen Klammern aufgelöst werden sollen. 

 


Beispiel 1 : Klammern auflösen


Aufgabenstellung

Gegeben sei der folgende Ausdruck:

24a - [(13a - 8b + 2c) - (9a + 12b - 3c)]

Löse die Klammer auf und fasse zusammen!

 

Lösung

Wir starten hier mit den inneren runden Klammern. Vor der ersten runden Klammer steht ein Pluszeichen, diese fällt also einfach weg. Vor der zweiten runden Klammer steht ein Minuszeichen, hier müssen die Vorzeichen innerhalb der Klammer umgedreht werden:

 

24a - [13a - 8b + 2c - 9a - 12b + 3c]

 

Wir fassen nun noch gleiche Terme zusammen:

 

24a - [13a - 8b + 2c - 9a - 12b + 3c]

 

= 24a - [4a - 20b + 5c]

 

\rightarrow 13a - 9a = 4a

 

\rightarrow -8b - 12b = -20b

 

\rightarrow 2c + 3c = 5c

 

Danach betrachten wir die eckige Klammer und lösen diese auf. Da vor dieser Klammer ein Minuszeichen gegeben ist, ändern sich die Vorzeichen in der Klammer:

 

24a - 4a + 20b - 5c

 

Wir fassen gleiche Terme zusammen und erhalten:

 

20a + 20b - 5c

 

Wir können hier noch faktorisieren, indem wir einen gemeinsamen Faktor ausklammern:

 

5( 4a + 4b - c)

 

Das Ergebnis ist wieder ein Produkt, welches aber wesentlich kürzer ausfällt. Das Ergebnis ändert sich dadurch nicht. Wähle zum Beispiel für a = 2, b = 3 und c = 4 und setze es in die Ausgangsgleichung ein sowie in die verkürzte Form:

 

24 \cdot 2 - [(13 \cdot 2 - 8 \cdot 3 + 2 \cdot 4) - (9 \cdot 2 + 12 \cdot 3 - 3 \cdot 4)] = 80

 

5( 4 \cdot 2 + 4 \cdot 3 - 4) = 80

 

Es resultiert in beiden Fällen dasselbe Ergebnis. 

 


Beispiel 2: Klammern auflösen


Aufgabenstellung

Gegeben sei der folgende Ausdruck:

3[40x - 2(5x+8)+10(2-x)]

Löse die Klammer auf und fasse zusammen!

 

Lösung

Wir starten hier mit den inneren runden Klammern. Vor beiden Klammern steht ein Faktor, der mit jedem Wert innerhalb der Klammer multipliziert werden muss. Vor der ersten Klammer ist dies der Faktor (-2), vor der zweiten Klammer der Faktor (+10). Bei der Auflösung der Klammern musst du auf die Vorzeichen achten:

 

3[40x - 10x - 16+ 20 - 10x]

 

Als nächstes fassen wir gleiche Terme zusammen:

 

3[20x + 4]

 

Danach lösen wir die eckige Klammer auf, indem der Faktor 3 mit jedem Term innerhalb der Klammer multipliziert werden muss:

 

60x + 12

 

Wenn du auch hier noch einen gemeinsamen Faktor ausklammerst, dann erhältst du:

 

12(5x + 1)

 

 


Beispiel 3: Klammern auflösen


Aufgabenstellung

Gegeben sei der folgende Ausdruck:

(5a^2b + 4a)(6a - 7b)

Löse die Klammer auf und fasse zusammen!

 

Lösung

Hier müssen wir zwei Klammern miteinander multiplizieren. Das machen wir, indem wir jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer multiplizieren:

 

(5a^2b + 4a)(6a - 7b)

 

=5a^2b \cdot 6a + 5a^2b \cdot (-7b) + 4a \cdot 6a + 4a \cdot (-7b)

 

=30a^3b - 35a^2b^2 + 24a^2 - 28ab

 

Das Ergebnis ist bereits gegeben. Es können keine Terme zusammengefasst werden. Wir können noch schauen, ob hier faktorisiert werden kann. Betrachten wir dazu die Zahlenwerte. Die 30 und 24 gehören zur 6er Reihe, die 35 und 28 zur 7er Reihe. Wir bilden also die erste Gruppe aus dem 1. und 3. Glied und die zweite Gruppe aus dem 2. und 4. Glied:

 

6(5a^3b + 4a^2) + 7(-5a^2b^2 - 4ab)

 

Danach können wir noch gemeinsame Variablen ausklammern:

 

6a^2(5ab + 4) + 7ab(-5ab - 4)

 

Wir sehen, dass die Klammern – bis auf die Vorzeichen- identisch sind. Wir können eine Klammer mit (-1) multiplizieren, damit sich die Vorzeichen umdrehen (wir wählen die 2. Klammer):

 

6a^2(5ab + 4) - 7ab(5ab + 4)

 

Als nächstes Klammern wir die Klammer aus und erhalten:

 

(5ab + 4) (6a^2- 7ab)

 

Wir haben nun zwar immer noch 2 Klammern gegeben, aber konnten eine Klammer von 3 auf 2 Glieder reduzieren.

 

 


wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

Nachdem wir jetzt das Thema Klammern auflösen ausreichend behandelt haben folgt in der folgenden Lerneinheit das Thema binomischen Formeln. Wir erklären dir wie diese angewendet werden, wenn Klammern einer bestimmten Form gegeben sind. 

 

Trainingsbereich

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