MA3 – Extremwerte bei gebrochenrationalen Funktionen

Die Extremwerte einer Funktion sind nichts anderes, als der höchste und tiefste Punkt der Funktion. Häufig wird auch vom Maximum und Minimum der Funktion gesprochen.

In dieser Lerneinheit schauen wir uns an, wie die Extremwerte bei gebrochenrationalen Funktionen bestimmt werden und betrachten dann ein ausführliches Beispiel.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs MA3 – Kurvendiskussion.

Für ein optimales Verständnis hilft dir ein ausführliches Beispiel zu dem Thema.

Extremwerte ermitteln

Zur Bestimmung der Extremwerte bei gebrochenrationalen Funktionen benötigen wir die 1. Ableitung und die 2. Ableitung. Schauen wir uns mal an, wie die Extremwerte allgemein bestimmt werden.

Extremwerte bestimmen

Bilde die 1. Ableitung der Funktion und setze diese gleich Null: f'(x) = 0
Löse die 1. Ableitung nach x auf. An dieser Stelle ist ein Minimum oder Maximum gegeben.
Bilde die 2. Ableitung der Funktion. Setze den in 2. ermittelten x-Wert in die 2. Ableitung ein.
Ist der Wert größer Null, so liegt ein Minimum vor: f”(x) > 0 (Minimum)
Ist der Wert kleiner Null, so liegt ein Maximum vor: f”(x) < 0 (Maximum)
Setze den ermittelten x-Wert aus 2. in die Ausgangsfunktion f(x) ein, um den dazugehörigen y-Wert zu bestimmen.

Beispiel: Extremwerte bei gebrochenrationalen Funktionen

Schauen wir uns die Bestimmung von Extremwerte bei gebrochenrationalen Funktionen im Folgenden an einem ausführlichen Beispiel an.

In der obigen Grafik siehst du die beiden Extremwerte der gebrochen rationalen Funktion eingezeichnet. Bei x = -4,449 ist ein Tiefpunkt gegeben und bei x = 0,449 ein Hochpunkt der Funktion.

Wir wollen uns nun anhand eines ausführlichen Beispiels anschauen, wie du die obigen Extremwerte rechnerisch ermittelst.

Gegeben sei die folgende gebrochenrationale Funktion:

$f(x) = \frac{x^2-3x-4}{x+2}$

Bestimme die Extremwerte der Funktion!

1.Ableitung bilden und nach x auflösen

Wir starten mit der 1. Ableitung der Funktion:

$f(x) = \frac{x^2-3x-4}{x+2}$

Dazu müssen wir die Quotientenregel anwenden:

$f'(x) =\frac{p'(x) \cdot q(x) - q'(x) \cdot p(x)}{q(x)^2}$

Hierbei ist p(x) die Zählerfunktion und q(x) die Nennerfunktion:

$p(x) = x^2-3x-4$

$q(x) = x+2$

Beide werden als nächstes abgeleitet:

$p'(x) = 2x - 3$

$q'(x) = 1$

Einsetzen in die Quotientenregel:

$f'(x) =\frac{(2x-3) \cdot (x+2) - 1 \cdot (x^2-3x-4)}{(x+2)^2}$

Zusammenfassen:

$f'(x) =\frac{(2x-3) \cdot (x+2) - 1 \cdot (x^2-3x-4)}{(x+2)^2}$

$f'(x) =\frac{2x^2+4x-3x-6 - x^2+3x+4}{(x+2)^2}$

$f'(x) =\frac{x^2+4x-2}{(x+2)^2}$ 1.Ableitung

Um einen Extremwert zu finden, muss die erste Ableitung gleich Null gesetzt werden. Die 1. Ableitung ist nichts anderes als die Steigung der Funktion. Ist ein Extremwert gegeben, so ist in diesem Punkt die Ableitung gleich Null.

Wir setzen die 1.Ableitung gleich Null und lösen nach x auf:

$f'(x) =\frac{x^2+4x-2}{(x+2)^2} = 0$

Ein Bruch wird dann bereits zu Null, wenn der Zähler zu Null wird, deswegen können wir aus der ersten Ableitung die Zählerfunktion gleich Null setzen:

$x^2 + 4x -2 = 0$

Es handelt sich um eine quadratische Gleichung, die wir nach x auflösen sollen. Wir können hier entweder die p/q-Formel oder die Mitternachtsformal anwenden. Wir wählen die p/q-Formel:

p/q-Formel

$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

mit

$x^2 + px + q$

Für unsere Gleichung gilt:

$x^2 + 4x -2 = 0$

$p = 4$ und $q = -2$

Einsetzen in die p/q-Formel:

$x_{1,2} = -\frac{4}{2} \pm \sqrt{(\frac{4}{2})^2 - (-2)}$

$x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{6}$

$x_{1} = -2 + \sqrt{6} = 0,449$

$x_{2} = -2 - \sqrt{6} = -4,449$

An diesem Stellen liegen möglicherweise Extremwerte vor. Um herauszufinden, ob ein Maximum oder Minimum gegeben ist, müssen wir die beiden ermittelten x-Werte in die zweite Ableitung einsetzen.

2.Ableitung bilden

Wir bilden die 2. Ableitung der Funktion. Dazu leitest du einfach die 1. Ableitung ab:

$f'(x) =\frac{x^2+4x-2}{(x+2)^2}$ 1.Ableitung

Wir wenden hier wieder die Quotientenregel an:

$p(x) = x^2+4x-2$

$q(x) = (x+2)^2$

Ableiten der Zähler- und Nennerfunktion der 1.Ableitung:

$p'(x) = 2x+4$

$q'(x) = 2 \cdot (x+2)$

Die Nennerfunktion haben wir mit der Kettenregel abgeleitet. Äußere Ableitung mal innere Ableitung:

$v(x) = x+2$ Innere Funktion

$u(v) = v^2$ Äußere Funktion (Klammer)

$v'(x) = 1$

$u'(v) = 2v$

$q'(x) = v'(x) \cdot u'(v) = 1 \cdot 2v$

Ersetzen von v = x+2:

$q'(x) = 1 \cdot 2(x+2) = 2(x+2)$

Wir können jetzt die Quotientenregel anwenden:

$f'(x) =\frac{p'(x) \cdot q(x) - q'(x) \cdot p(x)}{q(x)^2}$

$f'(x) =\frac{(2x+4) \cdot (x+2)^2 - 2 \cdot (x+2) \cdot (x^2+4x-2)}{[(x+2)^2]^2}$

Nenner potenzieren:

$f'(x) =\frac{(2x+4) \cdot (x+2)^2 - 2 \cdot (x+2) \cdot (x^2+4x-2)}{(x+2)^4}$

Klammer (x+2) kürzen:

$f'(x) =\frac{(2x+4) \cdot (x+2) - 2 \cdot (x^2+4x-2)}{(x+2)^3}$

Zusammenfassen:

$f'(x) =\frac{2x^2 + 4x + 4x + 8 - 2x^2 - 8x + 4}{(x+2)^3}$

$f'(x) =\frac{12}{(x+2)^3}$

Um herauszufinden, ob ein Maximum oder Minimum gegeben ist, müssen wir als nächstes die ermittelten x-Werte einsetzen.

$f''(x = 0,449) = \frac{12}{(0,449+2)^3} = 0,817$ > 0 ⇒ Minimum

$f''(x = -4,449) =\frac{12}{(-4,449+2)^3} = -0,817$ < 0 ⇒ Maximum

Bei x = 0,449 ist ein Minimum gegeben, da die 2.Ableitung größer Null ist. Bei x = -4,449 ist ein Maximum gegeben, da die 2.Ableitung kleiner Null ist.

Extrempunkte bestimmen

Wir müssen nun noch herausfinden, wie der dazugehörige y-Wert für das Minimum und Maximum aussieht. Dazu setzen wir den ermittelten x-Werte in die Ausgangsfunktion ein:

$f(x = 0,449) = \frac{0,449^2-3 \cdot 0,449-4}{0,449+2} = -2,1$

$f(x = -4,449) = \frac{(-4,449)^2-3 \cdot (-4,449)-4}{-4,449+2} = -11,9$

Wir können jetzt den Punkt des Minimums (=Tiefpunkt) und des Maximums (=Hochpunkt) angeben:

T(0,449 | -2,1)

H(-4,449 | -11,9)

Wir haben die Extremwerte der gebrochen rationalen Funktion ermittelt.

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