Die Extremwerte einer Funktion sind nichts anderes, als der höchste und tiefste Punkt der Funktion. Häufig wird auch vom Maximum und Minimum der Funktion gesprochen.
In dieser Lerneinheit schauen wir uns an, wie die Extremwerte bei gebrochenrationalen Funktionen bestimmt werden und betrachten dann ein ausführliches Beispiel.
Für ein optimales Verständnis helfen dir drei ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema. Mehr zu diesem Thema und der Mathematik findest du im Kurs: Onlinekurs MA3 – Kurvendiskussion. Oder lieber mit den Grundlagen starten? Alles dazu findest du im Kurs: Ma1-Grundlagen der Mathematik
Extremwerte | Grundlagen
Was sind Extremwerte?
Extremwerte einer Funktion sind Punkte, an denen die Funktion lokale Maxima oder Minima erreicht. Diese Punkte sind entscheidend in der Mathematik, Physik, Wirtschaft und vielen anderen Disziplinen, um das Verhalten von Funktionen zu analysieren und zu optimieren.
Grundprinzipien
-
Extremwerte:
- Lokales Maximum: Ein Punkt ist ein lokales Maximum, wenn für alle in einer Umgebung von .
- Lokales Minimum: Ein Punkt ist ein lokales Minimum, wenn für alle in einer Umgebung von .
-
Kritische Punkte: Stellen, an denen die erste Ableitung der Funktion ist oder nicht existiert.
-
Notwendige und hinreichende Bedingungen:
- Notwendige Bedingung: oder existiert nicht.
- Hinreichende Bedingung: für ein lokales Minimum, für ein lokales Maximum.
Extremwerte ermitteln
Zur Bestimmung der Extremwerte bei gebrochenrationalen Funktionen benötigen wir die 1. Ableitung und die 2. Ableitung. Schauen wir uns mal an, wie die Extremwerte allgemein bestimmt werden.
- Bilde die 1. Ableitung der Funktion und setze diese gleich Null: f'(x) = 0
- Löse die 1. Ableitung nach x auf. An dieser Stelle ist ein Minimum oder Maximum gegeben.
- Bilde die 2. Ableitung der Funktion. Setze den in 2. ermittelten x-Wert in die 2. Ableitung ein.
Ist der Wert größer Null, so liegt ein Minimum vor: f”(x) > 0 (Minimum)
Ist der Wert kleiner Null, so liegt ein Maximum vor: f”(x) < 0 (Maximum) - Setze den ermittelten x-Wert aus 2. in die Ausgangsfunktion f(x) ein, um den dazugehörigen y-Wert zu bestimmen.
Beispiel: Extremwerte bei gebrochenrationalen Funktionen
Schauen wir uns die Bestimmung von Extremwerte bei gebrochenrationalen Funktionen im Folgenden an einem ausführlichen Beispiel an.
In der obigen Grafik siehst du die beiden Extremwerte der gebrochen rationalen Funktion eingezeichnet. Bei x = -4,449 ist ein Tiefpunkt gegeben und bei x = 0,449 ein Hochpunkt der Funktion.
Wir wollen uns nun anhand eines ausführlichen Beispiels anschauen, wie du die obigen Extremwerte rechnerisch ermittelst.
Gegeben sei die folgende gebrochenrationale Funktion:
Bestimme die Extremwerte der Funktion!
1.Ableitung bilden und nach x auflösen
Wir starten mit der 1. Ableitung der Funktion:
Dazu müssen wir die Quotientenregel anwenden:
Hierbei ist p(x) die Zählerfunktion und q(x) die Nennerfunktion:
Beide werden als nächstes abgeleitet:
Einsetzen in die Quotientenregel:
Zusammenfassen:
1.Ableitung
Um einen Extremwert zu finden, muss die erste Ableitung gleich Null gesetzt werden. Die 1. Ableitung ist nichts anderes als die Steigung der Funktion. Ist ein Extremwert gegeben, so ist in diesem Punkt die Ableitung gleich Null.
Wir setzen die 1.Ableitung gleich Null und lösen nach x auf:
Ein Bruch wird dann bereits zu Null, wenn der Zähler zu Null wird, deswegen können wir aus der ersten Ableitung die Zählerfunktion gleich Null setzen:
Es handelt sich um eine quadratische Gleichung, die wir nach x auflösen sollen. Wir können hier entweder die p/q-Formel oder die Mitternachtsformal anwenden. Wir wählen die p/q-Formel:
p/q-Formel
mit
Für unsere Gleichung gilt:
und
Einsetzen in die p/q-Formel:
An diesem Stellen liegen möglicherweise Extremwerte vor. Um herauszufinden, ob ein Maximum oder Minimum gegeben ist, müssen wir die beiden ermittelten x-Werte in die zweite Ableitung einsetzen.
2.Ableitung bilden
Wir bilden die 2. Ableitung der Funktion. Dazu leitest du einfach die 1. Ableitung ab:
1.Ableitung
Wir wenden hier wieder die Quotientenregel an:
Ableiten der Zähler- und Nennerfunktion der 1.Ableitung:
Die Nennerfunktion haben wir mit der Kettenregel abgeleitet. Äußere Ableitung mal innere Ableitung:
Innere Funktion
Äußere Funktion (Klammer)
Ersetzen von v = x+2:
Wir können jetzt die Quotientenregel anwenden:
Nenner potenzieren:
Klammer (x+2) kürzen:
Zusammenfassen:
Um herauszufinden, ob ein Maximum oder Minimum gegeben ist, müssen wir als nächstes die ermittelten x-Werte einsetzen.
> 0 ⇒ Minimum
< 0 ⇒ Maximum
Bei x = 0,449 ist ein Minimum gegeben, da die 2.Ableitung größer Null ist. Bei x = -4,449 ist ein Maximum gegeben, da die 2.Ableitung kleiner Null ist.
Extrempunkte bestimmen
Wir müssen nun noch herausfinden, wie der dazugehörige y-Wert für das Minimum und Maximum aussieht. Dazu setzen wir den ermittelten x-Werte in die Ausgangsfunktion ein:
Wir können jetzt den Punkt des Minimums (=Tiefpunkt) und des Maximums (=Hochpunkt) angeben:
T(0,449 | -2,1)
H(-4,449 | -11,9)
Wir haben die Extremwerte der gebrochen rationalen Funktion ermittelt.
Anwendung der Analyse von Extremwerten
- Mathematik: Optimierungsprobleme und Kurvendiskussionen.
- Physik: Analyse von Bewegungsgesetzen und Energieminima.
- Wirtschaft: Gewinnmaximierung und Kostenminimierung.
- Ingenieurwissenschaften: Optimierung von Konstruktionen und Prozessen
Mögliche Fragestellungen | Häufig gestellte Fragen (FAQs)
1. Was ist ein Extremwert?
Ein Extremwert ist ein Punkt, an dem eine Funktion ein lokales Maximum oder Minimum erreicht.
2. Wie finde ich kritische Punkte?
Kritische Punkte sind Stellen, an denen die erste Ableitung ist oder nicht existiert.
3. Was sagt die zweite Ableitung aus?
Die zweite Ableitung gibt an, ob ein kritischer Punkt ein lokales Maximum () oder Minimum () ist.
4. Warum sind Randwerte wichtig?
In geschlossenen Intervallen müssen auch die Randwerte geprüft werden, um absolute Extremwerte zu finden.
5. Welche Anwendungen gibt es für Extremwerte?
Anwendungen finden sich in vielen Disziplinen wie Mathematik, Physik, Wirtschaft und Ingenieurwissenschaften zur Optimierung und Analyse von Funktionen.
Zusammenfassung
Die Bestimmung von Extremwerten einer Funktion ist ein wesentlicher Aspekt der mathematischen Analyse.
Durch das Berechnen der ersten und zweiten Ableitung, das Finden und Analysieren kritischer Punkte sowie das Prüfen von Randwerten können lokale und absolute Maxima und Minima identifiziert werden.
Diese Methoden sind in vielen wissenschaftlichen und technischen Disziplinen von großer Bedeutung und helfen bei der Lösung komplexer Optimierungsprobleme.
In der folgenden Lerneinheit zeigen wir dir, wie Ableiten mit der Produktregel abläuft.
Was gibt es noch bei uns?
Optimaler Lernerfolg durch tausende Übungsaufgaben
Quizfrage 1
Quizfrage 2
“Wusstest du, dass unter jedem Kursabschnitt eine Vielzahl von verschiedenen interaktiven Übungsaufgaben bereitsteht, mit denen du deinen aktuellen Wissensstand überprüfen kannst?”
Was ist Technikermathe?
Unser Dozent Jan erklärt es dir in nur 2 Minuten!
Oder direkt den > kostenlosen Probekurs < durchstöbern? – Hier findest du Auszüge aus jedem unserer Kurse!
Geballtes Wissen in derzeit 26 Kursen
Hat dir dieses Thema gefallen? – Ja? – Dann schaue dir auch gleich die anderen Themen zu den Kursen
WT3 (Werkstoffprüfung) und
TM1 (Technische Mechanik – Statik) an.
Perfekte Prüfungsvorbereitung für nur 14,90 EUR/Jahr pro Kurs
++ Günstiger geht’s nicht!! ++
Oder direkt Mitglied werden und Zugriff auf alle 26 Kurse (inkl. Webinare + Unterlagen) sichern ab 7,40 EUR/Monat ++ Besser geht’s nicht!! ++
Social Media? - Sind wir dabei!
Dein Technikermathe.de-Team