(WT3-18) – Smith-Diagramm

Inhaltsverzeichnis

<em>Merk's dir!</em>

“Das Smith-Diagramm ergibt sich aus mehreren Wöhlerkurven und gibt somit den gesamten Bereich einer Dauerschwingbeanspruchung wieder. ”

 


Smith-Diagramm – Grundlagen


Wie bereits eingangs erwähnt ergibt sich das Smith-Diagramm als Dauerfestigkeitsdiagramm aus mehreren Wöhlerkurven mit unterschiedlichen \sigma_D

Schwingbereiche
Schwingbereiche

 

Formal ergibt sich für die Dauerschwingfestigkeit 

 \boxed{ \sigma_D = \sigma_m \pm \sigma_A } 

 

Kennzahlen

 \boxed{ \sigma_D = }  Dauerschwingfestigkeit

 \boxed{ \sigma_m = } Mittelspannung

 \boxed{ \sigma_A = } Spannungsausschlag

 

Anforderung & Zweck

Aus dem Smith-Diagramm lässt sich die Dauerschwingfestigkeit in Abhängigkeit von jeder angegebenen Mittelspannung ablesen. 

Ein Konstrukteur kann mit den Smith-Diagrammen die Bemessung von Bauteilen vornehmen, die schwingend beansprucht werden. 

 

Erstellen des Diagramms

In der nächsten Abbildung siehst du typisches Dauerfestigkeitsdiagramm nach Smith. 

Smith-Diagramm, Dauerfestigkeitsdiagramm
Smith-Diagramm, Dauerfestigkeitsdiagramm

Auf der Abszisse ist die Mittelspannung \sigma_m und auf der Ordinate jeweils die Oberspannung \sigma_o und die Unterspannung \sigma_u aufgetragen. 

Die Hilfslinie wird mit Winkel von 45 ° eingezeichnet. Dadurch erscheinen die Mittelspannungswerte auch als Ordinatenwerte.

Es ist dadurch möglich direkt 

  •  \boxed{ \sigma_o } Oberspannung,
  •  \boxed{ \sigma_u } Unterspannung,
  •  \boxed{ \sigma_A } Spannungsausschlag sowie
  •  \boxed{ \sigma_m } Mittelspannung

aus dem Smith-Diagramm abzulesen. 

Die Werte \sigma_o, \sigma_u und \sigma_m, die zusammengehören, liegen vertikal übereinander. 

Die Wechselfestigkeitswerte hingegen können auf der Abszissenachse abgelesen werden. Hier liegt die Schwellfestigkeit am Schnittpunkt der \sigma_u – Kurve mit der Abzisse. 

“In der Theorie verläuft das Smith-Diagramm bis zur Zugfestigkeit R_m. Jedoch sei an dieser Stelle erwähnt, dass ab diesem Bereich die Betrachtung entfällt, da hier bereits plastische Verformungen auftreten, die vermieden werden sollen.” 

Aus diesem Grund wird das Diagramm mit einer waagerechten Linie begrenzt. Diese Linie entspricht der statischen Streckgrenze R_e

Das gesamte Diagramm lässt sich in drei Bereiche unterteilen. 

  1. Schwellbereich – Druck
  2. Wechselbereich
  3. Schwellbereich – Zug
Bereiche im Dauerfestigkeitsdiagramm
Bereiche im Dauerfestigkeitsdiagramm

 

Vereinfachung

Aus Gründen der Vereinfachung ersetzt man die Kurvenverläufe für die Oberspannung und Unterspannung durch Geraden (Goodman-Geraden [rot]). Dadurch erhält man ein vereinfachtes Smith-Diagramm für den Zugbereich wie in der nächsten Abbildung dargestellt. Beim Smith-Diagramm für den Druckbereich verfährt man ebenso.

 

Goodman-Geraden, Smith-Diagramm
Goodman-Geraden, Smith-Diagramm

 

Für die Anfertigung eines Smith-Diagramm für den Zugbereich geht man nach einem festgelegten Schema vor. Hierzu benötigt man im Vorfeld die Angabe der Zugfestigkeit R_m als obere Begrenzung. Sowie die Angabe der Streckgrenzen R_{p0,2} und die Wechselsfestigkeit \sigma_w des entsprechenden Werkstoffes. 

undefiniert
So wird es gemacht!

Nachfolgend ist das Schema aufgeführt:

  1. Nachdem wir bereits die 45°-Linie als Hilfslinie eintragen haben und diese durch die Linie der Zugfestigkeit R_m begrenzt wurde, tragen wir mit R_{p0,2} die Streckgrenze ein. Danach wird am Schnittpunkt von Hilfslinie und Zugfestigkeit der halbe Betrag aus der Wechselfestigkeit \sigma_w \cdot 0,5 nach links abgetragen. 

  2. Ausgehend von diesem Punkt ziehen wir eine Gerade zu \sigma_w. Diese Linie ist die Begrenzung für die Oberspannung. Eine weitere Gerade ist dann die horizontale Linie von R_{p02,}

  3. Die Gerade welche die Unterspannung \sigma_u begrenzt, ergibt sich aus - \sigma_w  

  4. Jetzt trägt man unterhalb der Hilfslinie den Betrag der Ausschlagsspannung zwischen der Hilfslinie und dem Schnittpunkt von der R_{p0,2}-Geraden mit der begrenzenden Linie der Oberspannung ab. Dadurch erhält man den 2. Punkt.

  5. Im letzten Schritt schließt man den Geradenzug dadurch, dass man eine Verbindung zum Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der R_{p0,2}-Geraden zieht. 

 


Darstellung des Zugbereichs – Vorgehensweise


Jetzt nehmen wir nochmal basierend auf den obigen Schritten eine besonders detaillierte Anfertigung vor. 

Wie es sich für einen Techniker gehört, werden bevor man überhaupt Werte einträgt, die Achsen richtig beschriftet:

  • Y-Achse: Unterspannung und Oberspannung
  • X-Achse: Mittelspannung.
  • Hilfslinie: Winkelhalbierende ist die Mittelspannung und geht um Ursprung aus. 
Merk's dir!
Merk's dir!

Ist eine Mittelspannung mit dem Wert \sigma_m = 0 gegeben, so hat man den Wert für die Wechselfestigkeit \sigma_w des Werkstoffs.

Die Oberspannung ist dann \sigma_o =  + \sigma_w und die Unterspannung ist \sigma_u = - \sigma_w.

Die beiden Werte für die Ober- und Unterspannung trägt man auf dem positiven und negativen Abschnitt der X-Achse auf. 

Die Zugfestigkeit R_m tragen wir sowohl auf der X-Achse, als auch Y-Achse, ab. 

In dem Punkt wo sich die Gerade der Zugfestigkeit R_m und der Mittelspannung \sigma_m treffen, dort ist ein erster Fixpunkt. 

“Über diesen Punkt hinweg werden keine Spannungswerte mehr ermittelt, da hier eine plastische Verformung eintritt.” 

Dennoch gilt es zu beachten, dass sowohl die Kurve für die Oberspannung, als auch die Kurve für die Unterspannung dem Wert der Zugfestigkeit entsprechen und folglich auf diesen Punkt zulaufen.

 

Goodman-Gerade

Wie bereits oben erwähnt, dienen die Goodman-Geraden der Vereinfachung und Glättung der Oberspannungs- sowie Unterspannungskurven. 

 

Begrenzung der Oberspannung

Ab jetzt benötigen wir eine zusätzliche Begrenzung. Diese Begrenzung ist der Streckgrenze R_e, welche sicherstellt, dass keine unzulässigen Verformungen, wie sie oberhalb der Streckgrenze möglich sind, auftreten. 

Begrenzung der Oberspannung
Begrenzung der Oberspannung

Diese horizontale Linie (Oberspannungslinie [gelb]) schneidet die Gerade der Oberspannung (I) und der Mittelspannung  (II), wobei letztere nicht oberhalb der Streckgrenze verlaufen darf. 

 

Begrenzung der Unterspannung

Wie du bereits weißt, besteht eine Symmetrie zwischen der Oberspannung und Unterspannung in Hinblick auf die Mittelspannung. Daher müssen auch die Unterspannungswerte begrenzt werden.

Hierzu tragen wir den vertikalen Abstand m zwischen dem Punkt (I) und der Mittelspannung nochmals nach unten ab und erhalten somit im Punkt (III) die Begrenzung für die Unterspannung. 

Schnittpunkt für die Unterspannung
Schnittpunkt für die Unterspannung

 

Dauerfestigkeitsbereich

Wenn wir jetzt den Bereich von der Goodman-Geraden der Oberspannung, Punkt I, II, III und der Goodman-Geraden der Unterspannung umranden, so ergibt sich daraus eine Fläche welche den wichtigen Dauerfestigkeitsbereich darstellt:

Bereich der Dauerfestigkeit
Bereich der Dauerfestigkeit

 

Fazit:

Mit dem letzten Schritt haben wir den Dauerfestigkeitsbereich festgelegt und können in diesem Bereich für jede Mittelspannung sowohl die zulässige Oberspannung als auch zulässige Unterspannung für den Werkstoff ablesen. Bis zu diesen Grenzwerten ist ein dauerhafter Einsatz möglich. 

 


Darstellung des Druckbereichs – Vorgehensweise


Wer A sagt muss auch B sagen, so ungefähr verhält es sich auch zwischen dynamischen Zug- und Druckbeanspruchungen. Hier sieht das Smith-Diagramm für den dynamischen Druckbeanspruchungsfall anders aus. Ausgehend von unserem bisherigen Smith-Diagramm tragen wir nun die negativen Mittelspannungswerte ab. Diese sind negativ, da es sich jetzt um eine Druckbeanspruchung handelt. 

 

Begrenzung der Oberspannung

Bisher haben wir immer die Streckgrenze als Begrenzung der Oberspannung genutzt, dies macht jetzt wenig Sinn, weshalb wir anstelle dessen die Quetschgrenze \sigma_dF heranziehen. 

 

Begrenzung der Oberspannung im Druckbereich
Begrenzung der Oberspannung im Druckbereich

 

Im Punkt (IV) ist diese Begrenzung verdeutlicht. Diese horizontale Linie betrifft ebenfalls die Gerade der negativen Mittelspannung (V). 

 

Begrenzung der Unterspannung

Anders als bisher tragen wir nun den Abstand zwischen Oberspannung und Mittelspannung nach oben ab. Dieser Punkt (VI) begrenzt die Unterspannung im Druckbereich. 

 

Begrenzung der Unterspannung im Druckbereich
Begrenzung der Unterspannung im Druckbereich

 

Dauerfestigkeitsbereich

Verbinden wir jetzt die Goodman-Gerade der Oberspannung, die Punkte VI, V, IV, sowie die Goodman-Gerade der Unterspannung mit einander, so erhalten wir als Flächeninhalt den Dauerfestigkeitsbereich für eine dynamische Druckbeanspruchung. 

Dauerfestigkeitsbereich - Druckbereich
Dauerfestigkeitsbereich – Druckbereich

 

Fazit

Mit dem letzten Schritt haben wir den Dauerfestigkeitsbereich festgelegt und können in diesem Bereich für jede Mittelspannung sowohl die zulässige Oberspannung als auch zulässige Unterspannung für den Werkstoff ablesen. Bis zu diesen Grenzwerten ist ein dauerhafter Einsatz möglich. 

 

wie gehts weiter?
Nachdem du jetzt den Dauerschwingversuch als eine weitere Variante der Prüfverfahren kennengelernt hast und jetzt weißt wofür das Smith-Diagramm dient, stellen wir dir im kommenden Kursabschnitt den Zugversuch vor, welcher nach einem anderen Prinzip durchgeführt wird.  

Trainingsbereich

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