In dieser Prüfungsaufgabe schauen wir uns an, wie die und die Verschiebung im Stab bestimmt wird, welcher an beiden Enden fest eingespannt ist und eine lineare Temperaturdifferenz erfährt.
Beispiel: Verschiebung im Stab – Lineare Temperaturdifferenz
Gegeben sei der obige an beiden Ende fest eingespannte Stab, welcher eine lineare Temperaturdifferenz erfährt. Wir wollen für diesen Stab den Verlauf der Verschiebung sowie den Verlauf der Spannung bestimmen.
Gegeben sind die folgenden Werte:
Längenausdehnungskoeffizient | |
Elastizitätsmodul | |
Temperaturdifferenz ΔT0 | |
Temperaturdifferenz ΔT1 |
Bestimmung der Verschiebung im Stab
Zunächst schauen wir uns an, was wir hier gegeben haben. Wir haben hier einen fest eingespannten Stab gegeben, welcher eine lineare Temperaturdifferenz erfährt. Zur Berechnung können wir die Differentialgleichung der Verschiebung heranziehen:
Wir haben hier keine Linienlast gegeben, weshalb n = 0 ist und damit:
Starten wir nun erstmal damit die Verschiebung u zu bestimmen. Dafür benötigen wir aber die lineare Temperaturdifferenz . Am Stabanfang ergibt sich eine Temperaturdifferenz ΔT0 und diese steigt linear bis zur Temperaturdifferenz am Stabende ΔT1. Betrachten wir das ganze in einem Koordinatensystem, so erhalten wir die folgende lineare Temperaturdifferenzfunktion:
Die Temperaturfunktion ergibt sich, indem die Funktionsgleichung einer linearen Funktion herangezogen wird:
mit
Steigung
Schnittpunkt mit der y-Achse
Auf unseren Fall übertragen ist y = ΔT(x). Die Steigung beträgt:
Der Schnittpunkt mit der y-Achse bzw. T(x)-Achse ist gegeben bei
Wir erhalten somit:
Wir können die lineare Temperaturdifferenz nun in die Differentialgleichung der Verschiebung einfügen:
Wir können EA rauskürzen und erhalten dann:
Zunächst bilden wir nun die 1. Ableitung der rechten Seite:
Danach können wir durch zweimaliges Integrieren die Verschiebung u bestimmen.
Wichtig: Wir führen eine unbestimmte Integration durch, d.h. wir müssen Integrationskonstanten berücksichtigen.
Wir starten mit der 1. Integration:
I.
Danach betrachten wir die 2. Integration der Gleichung I:
II.
Wir haben nun mittels zweifacher Integration die Verschiebung u bestimmt. Allerdings müssen wir noch die Integrationskonstanten bestimmen. Diese können wir aus den Randbedingungen (Stabenden) ermitteln.
Die Verschiebung an den Stabenden ist gleich Null, weil der Stab fest eingespannt ist und an den Stabenden damit keine Verschiebung stattfinden kann:
und
Wir betrachten zunächst das rechte Stabende und setzen in die Gleichung II u = 0 für x = 0 ein:
Danach betrachten wir das linke Stabende und setzen in die Gleichung II u = 0 für x = L sowie C2 = 0 ein:
Wir haben nun beide Integrationskonstanten bestimmt und können diese als nächstes in die Gleichung II einsetzen:
Wir haben die Gleichung der Verschiebung bestimmt, können diese aber noch ein wenig zusammenfassen:
Wir können nun für eine bestimmte Stelle die Verschiebung im Stab berechnen. Berechnen wir mal die Verschiebung für die beiden Stellen x = 200mm und x = 600mm:
x = 200mm:
x = 600mm:
Das negative Vorzeichen gibt an, dass hier eine Stauchung stattfindet. Infolge der Temperaturerhöhung im Stab dehnt dieser sich überall aus. Die Ausdehnung wird aber durch die festen Einspannungen an den Stabenden verhindert. Dadurch drücken die Stabquerschnitte gegeneinander und es erfolgt eine Stauchung. Die Stauchung ist in der Mitte bei x = 500mm am Größten (u = -0,119).
Bestimmung der Spannung im Stab
Wir können die Spannung aus der Gesamtspannung bestimmen, da wir in unserem Fall ein eine Gesamtdehnung gegeben haben. Einmal die Wärmedehnung infolge der linearen Temperaturdifferenz und einmal eine Dehnung infolge von Druckkräfte, die durch die feste Einspannung hervorgerufen werden (siehe: Gesamtdehnung und Gesamtspannung):
Die Dehnung haben wir nicht gegeben, wir wissen aber, dass die Dehnung nichts anderes als die Ableitung der Verschiebung ist:
Damit ergibt sich die Spannung bei Gesamtdehnung zu:
Die Temperaturdifferenz hatten wir bestimmt zu:
Einsetzen in die Spannung bei Gesamtdehnung:
(1)
Die erste Ableitung der Verschiebung u’ haben wir mit der Gleichung I weiter oben bestimmt:
I.
Einsetzen der Integrationskonstante:
Und wir erhalten:
Einsetzen in die Spannungsgleichung (1):
Die Terme mit x verrechnen sich miteinander zu Null und fallen damit raus:
Auflösen der inneren Klammer:
Zusammenfassen der Gleichung:
Wir haben den Verlauf der Spannung ermittelt. Hierbei handelt es sich um einen konstanten Spannungsverlauf, d.h. die Spannung ist in jedem Punkt im Stab gleich und beträgt:
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