MA4 – Vektoraddition | Addition von Vektoren

In dieser Lerneinheit behandeln wir die Vektoraddition.

Vektoren können miteinander addiert werden. Um zwei Vektoren miteinander zu addieren, werden die jeweiligen x-Werte und y-Werte der Vektoren miteinander addiert.

In dieser Lerneinheit behandeln wir die Vektoraddition. Wir zeigen dir außerdem die grafische Vektoraddition sowie das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz der Vektoraddition auf.

Für ein optimales Verständnis helfen dir ausführliche Beispiele zu dem Thema.

Vektoraddition

Wir betrachten die folgenden zwei Vektoren:

$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right)$

$\vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right)$

Die Addition der beiden Vektoren wird wie folgt durchgeführt:

$\vec{a} + \vec{b} := \left( \begin{array}{c} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{array} \right)$

Betrachten wir hierzu ein Beispiel:

Gegeben seien die folgenden beiden Vektoren:

$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$

$\vec{b} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 3 \end{array} \right)$

Führe die Vektoraddition durch!

Wir wollen die beiden oben angegebenen Vektoren miteinander addieren. Dazu addieren wir die zugehörigen x-Werte und y-Werte der beiden Vektoren miteinander:

$\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 + (-2) \\ 2 + 3 \end{array} \right)$

$\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 -2 \\ 2 + 3 \end{array} \right)$

$\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 5 \end{array} \right)$

Die grafische Vektoraddition ergibt sich wie folgt:

Wir haben die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gegeben. Wir können nun eine grafische Vektoraddition durchführen, indem wir den Anfangspunkt des Vektors $\vec{b}$ an die Spitze des Vektors $\vec{a}$ legen. Der Summenvektor $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ergibt sich dann, indem wir den Anfangspunkt an den Anfangspunk des 1.Vektors (hier: $\vec{a}$ ) an die Spitze des letzten Vektors (hier: $\vec{b}$ ) legen.

Kommutativgesetz und Vektoraddition

$\vec{a}$ + $\vec{b}$ = $\vec{b}$ + $\vec{a}$

Das Kommutativgesetz gilt bei der Addition von Vektoren und besagt, dass die Reihenfolge der Addition zum selben Ergebnis führt.

Beispiel

Gegeben seien die beiden Vektoren

$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right)$

$\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$

Wir erhalten den folgenden Summenvektor:

$\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 2 + 2 \\ 1 + 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \end{array} \right)$

$\vec{b}+ \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 2 + 2 \\ 3 + 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \end{array} \right)$

Betrachten wir die grafische Vektoraddition und das Kommutativgesetz:

Merk’s dir!

Die grafische Vektoraddition ist die Aneinanderreihung von Vektoren in einer beliebigen Reihenfolge. Du beginnst mit einem beliebigen Vektor und zeichnest diesen ein. Danach wählst du den nächsten Vektor (beliebig) und legst diesen mit seinem Anfangspunkt an die Spitze des vorangegangenen Vektors. Diese Schritte führst du solange aus, bis du alle Vektoren einmal berücksichtigt hast. Die Reihenfolge der Kräfte ist dabei beliebig wählbar.

Der Summenvektor ergibt sich dann, indem du den Anfangspunkt des Summenvektors an den Anfangspunkt des zuerst gewählten Vektors legst und die Spitze des Summenvektors an die Spitze des zuletzt gewählten Vektors.

Assoziativgesetz und Vektoraddition

Das Assoziativgesetz besagt, dass du Klammern bei einer Addition beliebig setzen kannst. Das Ergebnis ändert sich dabei nicht.

$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a}+ \vec{b} + \vec{c}$

mit

$(\vec{a} + \vec{b}) = \vec{s_1}$

$(\vec{b} + \vec{c}) = \vec{s_2}$

Beispiel

Gegeben seien die folgenden drei Vektoren:

$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right)$

$\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$

$\vec{c} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array} \right)$

Zunächst berechnen wir:

$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$

Wir addieren also zunächst die beiden Vektoren a und b miteinander:

$\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 2 + 2 \\ 1 + 3 \end{array} \right)$

$\vec{s_1} = \vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \end{array} \right)$

Als nächstes addieren wir dieses Ergebnis zu Vektor c:

$\vec{s_1} + \vec{c} = \left( \begin{array}{c} 4 + (-2) \\ 4 + 1 \end{array} \right)$

$\vec{s_1} + \vec{c} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$

Nun betrachten wir:

$\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$

Wir addieren Vektor b und c miteinander:

$\vec{s_2} = \vec{b} + \vec{c} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \end{array} \right)$

Jetzt addieren den Vektor a mit diesem Ergebnis:

$\vec{a} + \vec{s_2} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$

Und zum Schluss addieren wir alle drei Vektoren zusammen:

$\vec{a}+ \vec{b} + \vec{c} = \left( \begin{array}{c} 2 + 2 + (-2) \\ 1 + 3 + 1 \end{array} \right)$

$\vec{a}+ \vec{b} + \vec{c} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$

Für die Vektoraddition gilt das Assoziativgesetz. In der nachfolgenden Grafik siehst du das Beispiel grafisch veranschaulicht:

Wir haben die drei Vektoren a, b und c gegeben. Das Ergebnis ist in allen drei Berechnungsfällen identisch und ergibt am Ende den Vektor (2,5).

Nullvektor

Von einem Nullvektor ist dann die Rede, wenn bei der Vektoraddition der Vektor zu Null wird:

$\vec{0} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + ... + \vec{n}$

Beispiel

Gegeben seien die drei Vektoren:

$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right)$

$\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \end{array} \right)$

$\vec{c} = \left( \begin{array}{c} -4 \\ 1 \end{array} \right)$

Wir bilden die Summe aus den drei Vektoren:

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \left( \begin{array}{c} 2 + 2 + (-4) \\ 1 + (-2) + 1 \end{array} \right)$

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)$

Für die grafische Vektoraddition ist dann der Nullvektor gegeben, wenn der Anfangspunkt des ersten Vektors mit dem Endpunkt des letzten Vektors zusammenfällt:

In der obigen linken Grafik sind die drei Vektoren eingezeichnet. Mittels Vektoraddition werden diese nacheinander (in beliebiger Reihenfolge) aneinandergereiht (rechte Grafik). Dabei berührt die Spitze des letzten Vektors (hier: $\vec{c}$ ) den Anfangspunkt des ersten Vektors (hier: $\vec{a}$ ). Damit ist es nicht möglich den Summenvektor $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ zu bilden. Dieser liegt normalerweise mit dem Anfangspunkt am Anfangspunkt des ersten Vektors und mit der Spitze an der Spitze des letzten Vektors.

Wir haben somit den Summenvektor mit Null gegeben (Nullvektor):

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)$

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