TM2 – Prüfungsaufgabe 1: Torsion bei Kreisquerschnitt

In diesem Beispiel wollen wir uns die Berechnung eines Torsionsmoments aus der Verdrehung am Stabende sowie die Berechnung der Schubspannung ansehen, wenn eine Welle durch zwei Torsionsmomente belastet wird.

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei ausführliche Videoclips und zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Elastostatik /Festigkeitslehre findest du im Kurs: TM2-Festigkeitslehre

Merk's dir!

Du benötigst dazu die Gleichungen für einen Kreisquerschnitt aus der Lerneinheit TM2-14-2: Zusammenfassung der Gleichungen.

Darum geht es

Beispiel: Torsion – Verdrehung, Schubspannung

Aufgabenstellung

Aufgabe, Torsion, Lösung, Torsionsmoment, Beispiel — Aufgabe Torsion von Wellen

Wir betrachten den obigen Stab mit einem kreisförmigen Querschnitt. Der Stab ist an der Stelle A fest eingespannt. An der Stelle B und C wird er jeweils durch ein Torsionsmoment beansprucht. Gegeben sei das Torsionsmoment an der Stelle C mit M_C = 180 Nm. Der Durchmesser des Querschnitts betrage d = 50mm.

a) Bestimme das Torsionsmoment M_B, wenn der Verdrehwinkel am Stabende (x = 2,2m) null ist!

b) Bestimme dann die betragsmäßig maximale Schubspannung im Bereich A-B!

Lösung

Lösung a) Torsionsmoment

Wir wollen nun zunächst das Torsionsmoment M_B an der Stelle B berechnen. Dabei wird festgelegt, dass der Verdrehwinkel φ am Stabende bei x = 2,2m gleich Null sein soll. Den Verdrehwinkel φ können wir über die folgende Gleichung berechnen:

$\varphi = \dfrac{M_T \cdot l}{G \cdot I_T}$

Infolge der beiden angreifenden Momente M_B und M_C müssen wir nun aber zwei Bereiche betrachten.

Zunächst betrachten wir den Bereich AB und die Gleichung für die Endverdrehung bzw. den Verdrehwinkel am Ende des Bereichs:

$\varphi_{AB} = \dfrac{2 \cdot M^{AB}_T \cdot l_{AB}}{G \cdot r_{AB}^4 \cdot \pi}$

Als nächstes betrachten wir den Bereich BC und die Gleichung für die Endverdrehung:

$\varphi_{BC} = \dfrac{2 \cdot M^{BC}_T \cdot l_{BC}}{G \cdot r_{BC}^4 \cdot \pi}$

Wir können die Gesamtverdrehung am Stabende berechnen, indem wir beide Verdrehungen miteinander addieren:

$\varphi_C = \varphi_{AB} + \varphi_{BC}$

$\varphi_C = \dfrac{2 \cdot M^{AB}_T \cdot l_{AB}}{G \cdot r_{AB}^4 \cdot \pi} + \dfrac{2 \cdot M^{BC}_T \cdot l_{BC}}{G \cdot r_{BC}^4 \cdot \pi}$

Die Verdrehung am Stabende soll laut Aufgabenstellung Null sein:

$0 = \dfrac{2 \cdot M^{AB}_T \cdot l_{AB}}{G \cdot r_{AB}^4 \cdot \pi} + \dfrac{2 \cdot M^{BC}_T \cdot l_{BC}}{G \cdot r_{BC}^4 \cdot \pi}$

Wir suchen nun noch die Torsionsmomente M_T in den jeweiligen Bereichen. Dieser erhalten wir, indem wir Schnitte durch die Bereiche durchführen und die Torsionsschnittmomente abtragen:

Torsion, Schnitt, Verlauf, Aufgabe, Beispiel, Welle, Kreisquerschnitt — Verlauf – Torsionsmoment

In der obigen Grafik siehst du die beiden Schnitte durch die Welle. Wir haben in beiden Fällen das rechte Schnittufer betrachtet, weil wir nicht extra noch das Einspannmoment M_A berücksichtigen wollen. Am rechten Schnittufer ist das Moment ein rechtsdrehendes um die x-Achse (Doppelpfeil in Richtung der negativen x-Achse). Mittels der Momentengleichgewichtsbedingung um die x-Achse können wir nun den Verlauf des Torsionsmoments in beiden Bereichen bestimmen.

Schnitt 1: Bereich AB

$\sum M_x = 0:$

$-M^{AB}_T + M_B + M_C = 0$

$M^{AB}_T = M_B + M_C$

Schnitt 2: Bereich BC

$\sum M_x = 0:$

$-M^{BC}_T + M_C = 0$

$M^{BC}_T = M_C$

Wir setzen die berechneten Torsionsmomente in die obige Gleichung für die Endverdrehung ein:

$0 = \dfrac{2 \cdot (M_B + M_C) \cdot l_{AB}}{G \cdot r_{AB}^4 \cdot \pi} + \dfrac{2 \cdot M_C \cdot l_{BC}}{G \cdot r_{BC}^4 \cdot \pi}$

Wir können nun nach dem gesuchten Moment M_B auflösen:

$0 = \dfrac{(M_B + M_C) \cdot 1m}{G \cdot I_T} + \dfrac{M_C \cdot 1,2m}{G \cdot I_T}$

$\dfrac{(M_B + M_C) \cdot 1m}{G \cdot I_T} = -\dfrac{M_C \cdot 1,2m}{G \cdot I_T}$

$(M_B + M_C) \cdot 1m = -M_C \cdot 1,2m$

$M_B \cdot 1m + M_C \cdot 1m = -M_C \cdot 1,2m$

$M_B \cdot 1m = -M_C \cdot 1,2m - M_C \cdot 1m$

$M_B \cdot 1m = -M_C \cdot (1,2m + 1m)$

$M_B \cdot 1m = -M_C \cdot 2,2m$

$M_B = -\dfrac{M_C \cdot 2,2m}{1m}$

Einsetzen von M_C = 180Nm:

$M_B = -\dfrac{180Nm \cdot 2,2m}{1m}$

$M_B = -396Nm$

Das Torsionsmoment M_B muss -396Nm betragen und genau entgegengesetzt wirken, damit am Ende des Stabes die Verdrehung Null ist. Das negative Vorzeichen zeigt an, dass das Drehmoment genau entgegen der eingezeichneten Richtung drehen muss.

Lösung b) Schubspannung

Wir suchen jetzt die maximale Schubspannung im Bereich AB. Die maximale Schubspannung tritt an der Randfaser auf. Diese kannst du bei kreisförmigen Querschnitten wie folgt berechnen:

$\tau_{t,max} = \dfrac{2 \cdot M^{AB}_T }{r_{AB}^3 \cdot \pi}$

Das Torsionsmoment M^AB_T ist hier:

$M^{AB}_T = M_B + M_C = -396Nm + 180Nm = -216 Nm$

Der Durchmesser des Querschnitts beträgt laut Aufgabenstellung d = 50mm. Damit beträgt der Radius:

$r_{AB} = 25mm = 0,025m$

Einsetzen der Werte:

$\tau^{AB}_{t,max} = \dfrac{-216Nm \cdot 0,025m}{\dfrac{(0,025m)^4 \cdot \pi}{2}}$

$\tau^{AB}_{t,max} = -8.800.631,73 \frac{N}{m^2}$

$\tau^{AB}_{t,max} = -8.800.631,73 \frac{N}{m^2} = -8.800.631,73 Pa = -8,8 MPa$

Die Schubspannung im Bereich AB beträgt 8,8 MPa.

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