TM2 – Prüfungsaufgabe: Torsion im Stab [Formel, Beispiel, Berechnung]

Wir betrachten hier eine etwas ausführlichere Aufgabe zum Thema Torsion. In dieser Aufgabe betrachten wir einen Stab mit Kreisquerschnitt.

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei ausführliche Videoclips und zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs TM2 – Festigkeitslehre.

Die Gleichungen für die Torsionsberechnungen bei einem Kreisquerschnitt findest du in der Lerneinheit TM2-14-2: Zusammenfassung der Gleichungen.

Beispiel Torsion: Einspannmomente, Verdrehung, Schubspannung

Aufgabenstellung

Torsion, Aufgabe, Lösung, Welle, Kreisquerschnitt, Stab, Kreisquerschnitt, feste Einspannung — Beispiel: Torsion am Stab

Gegeben seien zwei Wellen AB und BC, die eine Scheibe B festhalten. An der Scheibe B greift das Moment M_B an. Die beiden Wellen sind jeweils an ihren Enden A bzw. C fest eingespannt.

Gegebene Zahlenwerte:

$M_B = 150 Nm$ ,

$l_{AB} = 1m$ ,

$l_{BC} = 1,5m$ ,

$d_{AB} = 14mm$ ,

$d_{BC} = 25mm$ ,

$G = 80.000 MPa$

a) Bestimme die Einspannmomente M_A und M_C!

b) Berechne die Verdrehung φ der Scheibe B!

c) Bestimme die maximalen Schubspannungen τ_AB und τ_BC in den Wellen AB und BC!

Lösung a) Einspannmomente

Wir suchen die Einspannmomente M_A und M_C, also die Momente, welche die beiden Einspannung A und C übertragen. Eine feste Einspannung überträgt grundsätzlich 3 Lagerreaktionen (2 Auflagerkräfte und ein Moment). Da keine äußeren Kräfte an den Balken angreifen, sind die Auflagerkräfte Null. Es verbleiben noch die Einspannmomente infolge des äußeren Moments M_B. An dem Doppelpfeil in Richtung der Balkenachsen (x-Achse) erkennen wir, dass dieses Moment um die x-Achse wirkt. Demnach treten in den Einspannungen ebenfalls Momente um die x-Achse auf, die wir ebenfalls als Doppelpfeil kennzeichnen:

Einspannmomente, Welle, Torsion, Stab, Torsionsmoment, feste Einspannung, Verdrehung, Endverdrehung — Einspannmomente

Die angenommene Richtung der Einspannmomente (M_Aund M_C als rechtsdrehendes Moment um die x-Achse) haben wir gewählt, weil das Moment M_B linksdrehend um die x-Achse wirkt. Da in A und B keine Verdrehung möglich ist (da die Wellen fest eingespannt sind) können hier die Einspannmomente nur genau entgegengesetzt zu M_B wirken, weil sie der Verdrehung entgegenwirken.

1.Momentengleichgewichtsbedigung aufstellen

Zunächst stellen wir nun die Momentengleichgewichtsbedingung um die x-Achse auf:

$\sum M_x = 0$ :

$-M_A + M_B - M_C = 0$

Wir können aus dieser noch keine unbekannten Einspannmomente berechnen.

2.Endverdrehung betrachten

Die Verdrehung φ_A und φ_B an den Einspannungen sind also gleich Null, da hier keine Verdrehung möglich ist. Wir können hier die Formel für die Endverdrehung heranziehen, wobei wir hier das Ende in C betrachten:

$\varphi_C = \dfrac{2 \cdot M_T \cdot l}{G \cdot r^4 \cdot \pi}$

Wir müssen hier zwei Bereiche AB und BC betrachten:

$\varphi_C = \dfrac{2 \cdot M^{AB}_T \cdot l_{AB}}{G \cdot r_{AB}^4 \cdot \pi} + \dfrac{2 \cdot M^{BC}_T \cdot l_{BC}}{G \cdot r_{BC}^4 \cdot \pi}$

Die Endverdrehung setzen wir gleich Null, da an der Einspannung C keine Verdrehung möglich ist:

$0 = \dfrac{2 \cdot M^{AB}_T \cdot l_{AB}}{G \cdot r_{AB}^4 \cdot \pi} + \dfrac{2 \cdot M^{BC}_T \cdot l_{BC}}{G \cdot r_{BC}^4 \cdot \pi}$

Wir suchen noch die Torsionsmomente $M^{AB}_T$ und $M^{BC}_T$ in den jeweiligen Bereichen. Hierbei handelt es sich um den Verlauf des Torsionsmoments in den jeweiligen Bereichen. Den Verlauf des Torsionsmoments erhalten wir, indem wir Schnitte durch die Welle durchführen und das Schnittmoment M_T abtragen:

Torsion, Torsionsmoment, Aufgabe, Verlauf, Welle, Schnittgrößen, Schnitt, Stab, — Schnitte: Torsionsmomente

In der obigen Grafik sehen wir die beiden Schnitte in den Bereich AB und BC sowie die Abtragung des Torsionsmoments (Schnittmoment). Es handelt sich um die Momente um die x-Achse. Wir können das Torsionsschnittmoment aus der Momentengleichgewichtsbedingung um die x-Achse bestimmen. Im Bereich AB betrachten wir das linke Schnittufer. Hier ist das Schnittmoment M^AB_Tlinksdrehend um die x-Achse (Doppelpfeil in Richtung der positiven x-Achse). Im Bereich BC betrachten wir das rechte Schnittufer. Hier ist das Torsionsmoment M^BC_T rechtsdrehend um die x-Achse (Doppelpfeil in Richtung der negativen x-Achse).

Wir stellen dann die Momentengleichgewichtsbedingung um die x-Achse auf und berücksichtigen alle Momente.

Bereich AB:

$\sum M_x = 0$ :

$-M_A + M^{AB}_T = 0$

$M^{AB}_T = M_A$

Bereich BC:

$\sum M_x = 0$ :

$-M_A - M^{BC}_T = 0$

$M^{BC}_T = -M_C$

In beiden Bereichen liegt ein konstanter Verlauf der Torsionsmomente vor. Wir können nun die jeweiligen Torsionsmomente in die Gleichung der Endverdrehung einsetzen:

$0 = \dfrac{2 \cdot M_A \cdot l_{AB}}{G \cdot r_{AB}^4 \cdot \pi} + \dfrac{2 \cdot (-M_C) \cdot l_{BC}}{G \cdot r_{BC}^4 \cdot \pi}$

Wir lösen nun nach einer der gesuchten Einspannmomente auf:

$0 = \dfrac{2 \cdot M_A \cdot l_{AB}}{G \cdot r_{AB}^4 \cdot \pi} + \dfrac{2 \cdot (-M_C) \cdot l_{BC}}{G \cdot r_{BC}^4 \cdot \pi}$

Minuszeichen nach vorne ziehen:

$0 = \dfrac{2 \cdot M_A \cdot l_{AB}}{G \cdot r_{AB}^4 \cdot \pi} - \dfrac{2 \cdot M_C \cdot l_{BC}}{G \cdot r_{BC}^4 \cdot \pi}$

Nach M_A auflösen:

$\dfrac{2 \cdot M_A \cdot l_{AB}}{G \cdot r_{AB}^4 \cdot \pi} = \dfrac{2 \cdot M_C \cdot l_{BC}}{G \cdot r_{BC}^4 \cdot \pi}$

$2 \cdot M_A \cdot l_{AB} = \dfrac{2 \cdot M_C \cdot l_{BC} \cdot G \cdot r_{AB}^4 \cdot \pi}{G \cdot r_{BC}^4 \cdot \pi}$

$M_A = \dfrac{2 \cdot M_C \cdot l_{BC} \cdot G \cdot r_{AB}^4 \cdot \pi}{2 \cdot l_{AB} \cdot G \cdot r_{BC}^4 \cdot \pi}$

Kürzen:

$M_A = \dfrac{M_C \cdot l_{BC} \cdot r_{AB}^4 }{l_{AB} \cdot r_{BC}^4}$

$M_A = M_C \cdot \dfrac{l_{BC} \cdot r_{AB}^4 }{l_{AB} \cdot r_{BC}^4}$

Wir haben hier noch zwei unbekannte M_A und M_C gegeben. Wir ziehen die Momentengleichgewichtsbedingung aus 1. heran:

$-M_A + M_B - M_C = 0$

Einsetzen von M_A in die obige Gleichung:

$-M_C \cdot \dfrac{l_{BC} \cdot r_{AB}^4 }{l_{AB} \cdot r_{BC}^4} + M_B - M_C = 0$

Auflösen nach M_C:
$M_B = M_C \cdot \dfrac{l_{BC} \cdot r_{AB}^4 }{l_{AB} \cdot r_{BC}^4} + M_C$

$M_B = M_C \cdot (\dfrac{l_{BC} \cdot r_{AB}^4 }{l_{AB} \cdot r_{BC}^4} + 1)$

$\dfrac{M_B}{\dfrac{l_{BC} \cdot r_{AB}^4 }{l_{AB} \cdot r_{BC}^4} + 1} = M_C$ M_C berechnen

Wir können nun zunächst M_C berechnen:

$M_C = \dfrac{M_B}{\dfrac{l_{BC} \cdot r_{AB}^4 }{l_{AB} \cdot r_{BC}^4} + 1}$

$M_C = \dfrac{150Nm}{\dfrac{1,5m \cdot (0,007m)^4 }{1m \cdot (0,0125m)^4} + 1}$

$M_C = 130,72 Nm$

Als nächstes berechnen wir M_Aaus der Gleichung weiter oben:

$M_A = M_C \cdot \dfrac{l_{BC} \cdot r_{AB}^4 }{l_{AB} \cdot r_{BC}^4}$

$M_A = 130,72 Nm \cdot \dfrac{1,5m \cdot (0,007m)^4 }{1m\cdot (0,0125m)^4}$

$M_A = 19,28 Nm$

Lösung b) Verdrehung der Scheibe B

Wir suchen nun die Verdrehung in der Scheibe B. Die Scheibe B befindet sich am Ende von Welle AB. Demnach können wir hier einfach die Endverdrehung der Welle AB berechnen:

$\varphi_B = \dfrac{2 \cdot M^{AB}_T \cdot l_{AB}}{G \cdot r_{AB}^4 \cdot \pi}$

Wir haben bereits den Verlauf des Torsionsmoments im Bereich AB bestimmt:

$M^{AB}_T = M_A$

Einsetzen:

$\varphi_B = \dfrac{2 \cdot M_A \cdot l_{AB}}{G \cdot r_{AB}^4 \cdot \pi}$

Einsetzen der Zahlenwerte:

$\varphi_B = \dfrac{2 \cdot 19,28 Nm \cdot 1m}{8 \cdot 10^{10} Pa \cdot (0,007m)^4 \cdot \pi}$

$\varphi_B = 0,0639 rad$

Umrechnung in Grad:

$\alpha_{DEG} = \dfrac{\alpha_{RAD} \cdot 180^\circ}{\pi}$

$\varphi_{DEG} = \dfrac{0,0639 rad \cdot 180^\circ}{\pi}$

$\varphi_{DEG} = 3,66^\circ$

Wir können eine Probe durchführen, indem wir die Endverdrehung in C berechnen. Diese muss Null sein, weil hier eine feste Einspannung gegeben ist:

$\varphi_C = \dfrac{2 \cdot M^{AB}_T \cdot l_{AB}}{G \cdot r_{AB}^4 \cdot \pi} + \dfrac{2 \cdot M^{BC}_T \cdot l_{BC}}{G \cdot r_{BC}^4 \cdot \pi}$

Der erste Term der Gleichung ist die Endverdrehung in B, die wir gerade berechnet haben:

$\varphi_C = \varphi_B + \dfrac{2 \cdot M^{BC}_T \cdot l_{BC}}{G \cdot r_{BC}^4 \cdot \pi}$

Außerdem müssen wir noch das Torsionsmoment für den Bereich BC einsetzen:

$M^{BC}_T = -M_C$

Es ergibt sich:

$\varphi_C = \varphi_B - \dfrac{2 \cdot M_C \cdot l_{BC}}{G \cdot r_{BC}^4 \cdot \pi}$

Und nun können wir die Zahlenwerte einsetzen:

$\varphi_C = 0,0639 rad - \dfrac{2 \cdot 130,72 Nm \cdot 1,5m}{8 \cdot 10^{10} Pa \cdot (0,0125m)^4 \cdot \pi}$

$\varphi_C \approx 0$ (Rundungsfehler führen nicht genau zum Wert Null)

Lösung c) Schubspannungen

Wir wollen die maximale Schubspannung in den beiden Wellen AB und BC bestimmen. Dazu ziehen wir die folgende Gleichung heran:

$\tau_t = \dfrac{2 \cdot M_T }{r^3 \cdot \pi}$

Wir betrachten wieder zwei Wellen AB und BC:

$\tau_t = \dfrac{2 \cdot M^{AB}_T }{r_{AB}^3 \cdot \pi}$

$\tau_t = \dfrac{2 \cdot M^{BC}_T }{r_{BC}^3 \cdot \pi}$

Es gilt:

$M^{AB}_T = M_A$

$M^{BC}_T = -M_C$

Einsetzen:

$\tau^{AB}_{t,max} = \dfrac{2 \cdot M_A}{r_{AB}^3 \cdot \pi}$

$\tau^{BC}_{t,max} = -\dfrac{2 \cdot M_C }{r_{BC}^3 \cdot \pi}$

Einsetzen der Zahlenwerte:

$\tau^{AB}_{t,max} = \dfrac{2 \cdot 19,28 Nm}{(0,007m)^3 \cdot \pi}$

$\tau^{AB}_{t,max} = 35.784.341,72 \frac{N}{m^2} = 35,78 MPa$

$\tau^{BC}_{t,max} = -\dfrac{2 \cdot 130,72 Nm }{(0,0125m)^3 \cdot \pi}$

$\tau^{BC}_{t,max} = -42.608.095,56 \frac{N}{m^2} = -42,61 MPa$

Die Aufgabe ist fertig bearbeitet.

Was gibt es noch bei uns?

Optimaler Lernerfolg durch tausende Übungsaufgaben

Übungsbereich (Demo) - Lerne mit mehr als 4000 Übungsaufgaben für deine Prüfungen

Quizfrage 1

“Wusstest du, dass unter jedem Kursabschnitt eine Vielzahl von verschiedenen interaktiven Übungsaufgaben bereitsteht, mit denen du deinen aktuellen Wissensstand überprüfen kannst?”

Alle Technikerschulen im Überblick

Zum Verzeichnis der Technikerschulen (Alles Rund um die Schulen) — Zum Verzeichnis der Technikerschulen

Kennst du eigentlich schon unser großes Technikerschulen-Verzeichnis für alle Bundesländer mit allen wichtigen Informationen (Studiengänge, Kosten, Anschrift, Routenplaner, Social-Media) ? Nein? – Dann schau einfach mal hinein:

Was ist Technikermathe?

Unser Dozent Jan erklärt es dir in nur 2 Minuten!

Oder direkt den > kostenlosen Probekurs < durchstöbern? – Hier findest du Auszüge aus Alle Onlinekurse Technikermathe!

Geballtes Wissen in derzeit 26 Kursen

Hat dir dieses Thema gefallen? – Ja? – Dann schaue dir auch gleich die anderen Themen zu den Kursen

WT3 (Werkstoffprüfung) und
TM1 (Technische Mechanik – Statik) an.

Lerne nun erfolgreich mit unserem Onlinekurs Technische Mechanik 1 — TM1 (Technische Mechanik)

Lerne nun erfolgreich mit unserem Onlinekurs Werkstofftechnik 3 — WT3 (Werkstoffprüfung)

Perfekte Prüfungsvorbereitung für nur 14,90 EUR/Jahr pro Kurs

++ Günstiger geht’s nicht!! ++

Oder direkt Mitglied werden und Alle unsere Onlinekurse (inkl. Webinare + Unterlagen) sichern ab 7,40 EUR/Monat ++ Besser geht’s nicht!! ++