TM2 – Prüfungsaufgabe 2: Torsion bei zwei Wellen mit Kreisquerschnitt

Inhaltsverzeichnis:

Wir betrachten hier eine etwas ausführlichere Aufgabe zum Thema Torsion. In dieser Aufgabe betrachten wir Wellen mit Kreisquerschnitt.

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Die Gleichungen für die Torsionsberechnungen bei einem Kreisquerschnitt findest du in der Lerneinheit TM2-14-2 – Zusammenfassung der Gleichungen.

Darum geht es

Torsion – Beispiel 2: Einspannmomente, Verdrehung, Schubspannung

Aufgabenstellung

Torsion, Aufgabe, Lösung, Welle, Kreisquerschnitt

Gegeben seien zwei Wellen AB und BC, die eine Scheibe B festhalten. An der Scheibe B greift das Moment MB an. Die beiden Wellen sind jeweils an ihren Enden A bzw. C fest eingespannt.

Gegebene Zahlenwerte:

M_B = 150 Nm, l_{AB} = 1m, l_{BC} = 1,5m, d_{AB} = 14mm, d_{BC} = 25mm, G = 80.000 MPa

 

a) Bestimme die Einspannmomente MA und MC!

b) Berechne die Verdrehung φ der Scheibe B!

c) Bestimme die maximalen Schubspannungen τAB und τBC in den Wellen AB und BC!

Lösung

Lösung a) Einspannmomente

Wir suchen die Einspannmomente MA und MC, also die Momente, welche die beiden Einspannung A und C übertragen. Eine feste Einspannung überträgt grundsätzlich 3 Lagerreaktionen (2 Auflagerkräfte und ein Moment). Da keine äußeren Kräfte an den Balken angreifen, sind die Auflagerkräfte Null. Es verbleiben noch die Einspannmomente infolge des äußeren Moments MB. An dem Doppelpfeil in Richtung der Balkenachsen (x-Achse) erkennen wir, dass dieses Moment um die x-Achse wirkt. Demnach treten in den Einspannungen ebenfalls Momente um die x-Achse auf, die wir ebenfalls als Doppelpfeil kennzeichnen:

Einspannmomente, Welle, Torsion

Die angenommene Richtung der Einspannmomente (MA und MC als rechtsdrehendes Moment um die x-Achse) haben wir gewählt, weil das Moment MB linksdrehend um die x-Achse wirkt. Da in A und B keine Verdrehung möglich ist (da die Wellen fest eingespannt sind) können hier die Einspannmomente nur genau entgegengesetzt zu MB wirken, weil sie der Verdrehung entgegenwirken.

1.Momentengleichgewichtsbedigung aufstellen

Zunächst stellen wir nun die Momentengleichgewichtsbedingung um die x-Achse auf:

\sum M_x = 0:

-M_A + M_B - M_C = 0

Wir können aus dieser noch keine unbekannten Einspannmomente berechnen.

 

2.Endverdrehung betrachten

Die Verdrehung φA und φB an den Einspannungen sind also gleich Null, da hier keine Verdrehung möglich ist. Wir können hier die Formel für die Endverdrehung heranziehen, wobei wir hier das Ende in C betrachten:

\varphi_C = \dfrac{2 \cdot M_T \cdot l}{G \cdot r^4 \cdot \pi}

 

Wir müssen hier zwei Bereiche AB und BC betrachten:

\varphi_C = \dfrac{2 \cdot M^{AB}_T \cdot l_{AB}}{G \cdot r_{AB}^4 \cdot \pi} + \dfrac{2 \cdot M^{BC}_T \cdot l_{BC}}{G \cdot r_{BC}^4 \cdot \pi} 

 

Die Endverdrehung setzen wir gleich Null, da an der Einspannung C keine Verdrehung möglich ist:

0 = \dfrac{2 \cdot M^{AB}_T \cdot l_{AB}}{G \cdot r_{AB}^4 \cdot \pi} + \dfrac{2 \cdot M^{BC}_T \cdot l_{BC}}{G \cdot r_{BC}^4 \cdot \pi} 

 

Wir suchen noch die Torsionsmomente M^{AB}_T und M^{BC}_T in den jeweiligen Bereichen. Hierbei handelt es sich um den Verlauf des Torsionsmoments in den jeweiligen Bereichen. Den Verlauf des Torsionsmoments erhalten wir, indem wir Schnitte durch die Welle durchführen und das Schnittmoment MT abtragen:

Torsion, Torsionsmoment, Aufgabe, Verlauf, Welle

 

In der obigen Grafik sehen wir die beiden Schnitte in den Bereich AB und BC sowie die Abtragung des Torsionsmoments (Schnittmoment). Es handelt sich um die Momente um die x-Achse. Wir können das Torsionsschnittmoment aus der Momentengleichgewichtsbedingung um die x-Achse bestimmen. Im Bereich AB betrachten wir das linke Schnittufer. Hier ist das Schnittmoment MABT linksdrehend um die x-Achse (Doppelpfeil in Richtung der positiven x-Achse). Im Bereich BC betrachten wir das rechte Schnittufer. Hier ist das Torsionsmoment MBCT rechtsdrehend um die x-Achse (Doppelpfeil in Richtung der negativen x-Achse).

Wir stellen dann die Momentengleichgewichtsbedingung um die x-Achse auf und berücksichtigen alle Momente.

Bereich AB:

\sum M_x = 0:

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
-M_A + M_^{AB}_T = 0

*** Error message:
Missing { inserted.
leading text: $-M_A + M_^

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
M_^{AB}_T  = M_A

*** Error message:
Missing { inserted.
leading text: $M_^

 

Bereich BC:

\sum M_x = 0:

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
-M_A - M_^{BC}_T = 0

*** Error message:
Missing { inserted.
leading text: $-M_A - M_^

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
M_^{BC}_T  = -M_C

*** Error message:
Missing { inserted.
leading text: $M_^

 

In beiden Bereichen liegt ein konstanter Verlauf der Torsionsmomente vor. Wir können nun die jeweiligen Torsionsmomente in die Gleichung der Endverdrehung einsetzen:

0 = \dfrac{2 \cdot M_A \cdot l_{AB}}{G \cdot r_{AB}^4 \cdot \pi} + \dfrac{2 \cdot (-M_C) \cdot l_{BC}}{G \cdot r_{BC}^4 \cdot \pi} 

 

Wir lösen nun nach einer der gesuchten Einspannmomente auf:

0 = \dfrac{2 \cdot M_A \cdot l_{AB}}{G \cdot r_{AB}^4 \cdot \pi} + \dfrac{2 \cdot (-M_C) \cdot l_{BC}}{G \cdot r_{BC}^4 \cdot \pi} 

 

Minuszeichen nach vorne ziehen:

0 = \dfrac{2 \cdot M_A \cdot l_{AB}}{G \cdot r_{AB}^4 \cdot \pi} - \dfrac{2 \cdot M_C \cdot l_{BC}}{G \cdot r_{BC}^4 \cdot \pi} 

 

Nach MA auflösen:

\dfrac{2 \cdot M_A \cdot l_{AB}}{G \cdot r_{AB}^4 \cdot \pi} = \dfrac{2 \cdot M_C \cdot l_{BC}}{G \cdot r_{BC}^4 \cdot \pi} 

 

2 \cdot M_A \cdot l_{AB} = \dfrac{2 \cdot M_C \cdot l_{BC} \cdot G \cdot r_{AB}^4 \cdot \pi}{G \cdot r_{BC}^4 \cdot \pi} 

 

M_A = \dfrac{2 \cdot M_C \cdot l_{BC} \cdot G \cdot r_{AB}^4 \cdot \pi}{2 \cdot l_{AB} \cdot G \cdot r_{BC}^4 \cdot \pi} 

 

Kürzen:

M_A = \dfrac{M_C \cdot l_{BC} \cdot r_{AB}^4 }{l_{AB} \cdot r_{BC}^4} 

 

M_A = M_C \cdot \dfrac{l_{BC} \cdot r_{AB}^4 }{l_{AB} \cdot r_{BC}^4} 

 

Wir haben hier noch zwei unbekannte MA und MC gegeben. Wir ziehen die Momentengleichgewichtsbedingung aus 1. heran:

-M_A + M_B - M_C = 0

 

Einsetzen von MA in die obige Gleichung:

-M_C \cdot \dfrac{l_{BC} \cdot r_{AB}^4 }{l_{AB} \cdot r_{BC}^4} + M_B - M_C = 0

 

Auflösen nach MC:
M_B  = M_C \cdot \dfrac{l_{BC} \cdot r_{AB}^4 }{l_{AB} \cdot r_{BC}^4} + M_C

 

M_B  = M_C \cdot (\dfrac{l_{BC} \cdot r_{AB}^4 }{l_{AB} \cdot r_{BC}^4} + 1)

 

\dfrac{M_B}{\dfrac{l_{BC} \cdot r_{AB}^4 }{l_{AB} \cdot r_{BC}^4} + 1}  = M_C    MC berechnen

 

Wir können nun zunächst MC berechnen:

M_C = \dfrac{M_B}{\dfrac{l_{BC} \cdot r_{AB}^4 }{l_{AB} \cdot r_{BC}^4} + 1}

 

M_C = \dfrac{150Nm}{\dfrac{1,5m \cdot (0,007m)^4 }{1m \cdot (0,0125m)^4} + 1}

 

M_C = 130,72 Nm

 

Als nächstes berechnen wir MA aus der Gleichung weiter oben:

M_A = M_C \cdot \dfrac{l_{BC} \cdot r_{AB}^4 }{l_{AB} \cdot r_{BC}^4}

 

M_A = 130,72 Nm \cdot \dfrac{1,5m \cdot (0,007m)^4 }{1m\cdot (0,0125m)^4}

 

M_A = 19,28 Nm

 

Lösung b) Verdrehung der Scheibe B

Wir suchen nun die Verdrehung in der Scheibe B. Die Scheibe B befindet sich am Ende von Welle AB. Demnach können wir hier einfach die Endverdrehung der Welle AB berechnen:

\varphi_B = \dfrac{2 \cdot M^{AB}_T \cdot l_{AB}}{G \cdot r_{AB}^4 \cdot \pi} 

 

Wir haben bereits den Verlauf des Torsionsmoments im Bereich AB bestimmt:

M^{AB}_T = M_A

 

Einsetzen:

\varphi_B = \dfrac{2 \cdot M_A \cdot l_{AB}}{G \cdot r_{AB}^4 \cdot \pi} 

 

Einsetzen der Zahlenwerte:

\varphi_B = \dfrac{2 \cdot 19,28 Nm \cdot 1m}{8 \cdot 10^{10} Pa \cdot (0,007m)^4 \cdot \pi} 

\varphi_B = 0,0639 rad

 

Umrechnung in Grad:

\alpha_{DEG} = \dfrac{\alpha_{RAD} \cdot 180^\circ}{\pi}

\varphi_{DEG} = \dfrac{0,0639 rad \cdot 180^\circ}{\pi}

\varphi_{DEG} = 3,66^\circ

 

Wir können eine Probe durchführen, indem wir die Endverdrehung in C berechnen. Diese muss Null sein, weil hier eine feste Einspannung gegeben ist:

\varphi_C = \dfrac{2 \cdot M^{AB}_T \cdot l_{AB}}{G \cdot r_{AB}^4 \cdot \pi} + \dfrac{2 \cdot M^{BC}_T \cdot l_{BC}}{G \cdot r_{BC}^4 \cdot \pi} 

 

Der erste Term der Gleichung ist die Endverdrehung in B, die wir gerade berechnet haben:

\varphi_C = \varphi_B + \dfrac{2 \cdot M^{BC}_T \cdot l_{BC}}{G \cdot r_{BC}^4 \cdot \pi} 

 

Außerdem müssen wir noch das Torsionsmoment für den Bereich BC einsetzen:

M^{BC}_T = -M_C

 

Es ergibt sich:

\varphi_C = \varphi_B - \dfrac{2 \cdot M_C \cdot l_{BC}}{G \cdot r_{BC}^4 \cdot \pi} 

 

Und nun können wir die Zahlenwerte einsetzen:

\varphi_C = 0,0639 rad - \dfrac{2 \cdot 130,72 Nm \cdot 1,5m}{8 \cdot 10^{10} Pa \cdot (0,0125m)^4 \cdot \pi} 

\varphi_C \approx 0   (Rundungsfehler führen nicht genau zum Wert Null)

 

Lösung c) Schubspannungen

Wir wollen die maximale Schubspannung in den beiden Wellen AB und BC bestimmen. Dazu ziehen wir die folgende Gleichung heran:

\tau_t = \dfrac{2 \cdot M_T }{r^3 \cdot \pi} 

 

Wir betrachten wieder zwei Wellen AB und BC:

\tau_t = \dfrac{2 \cdot M^{AB}_T }{r_{AB}^3 \cdot \pi} 

\tau_t = \dfrac{2 \cdot M^{BC}_T }{r_{BC}^3 \cdot \pi} 

 

Es gilt:

M^{AB}_T  = M_A

M^{BC}_T  = -M_C

 

Einsetzen:

\tau^{AB}_{t,max} = \dfrac{2 \cdot M_A}{r_{AB}^3 \cdot \pi} 

\tau^{BC}_{t,max} = -\dfrac{2 \cdot M_C }{r_{BC}^3 \cdot \pi} 

 

Einsetzen der Zahlenwerte:

\tau^{AB}_{t,max} = \dfrac{2 \cdot 19,28 Nm}{(0,007m)^3 \cdot \pi} 

\tau^{AB}_{t,max} = 35.784.341,72 \frac{N}{m^2}  = 35,78 MPa

\tau^{BC}_{t,max} = -\dfrac{2 \cdot 130,72 Nm }{(0,0125m)^3 \cdot \pi} 

\tau^{BC}_{t,max} = -42.608.095,56 \frac{N}{m^2} = -42,61 MPa

 

Die Aufgabe ist fertig bearbeitet.

 

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