TM2 – Symmetrische Querschnitte (Achsensymmetrie)

Inhaltsverzeichnis:

In dieser Lerneinheit wollen wir uns anschauen, wie mit symmetrischen Querschnitten gerechnet wird. Es ist eine Achsensymmetrie gegeben. 

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei ausführliche Videoclips und zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Elastostatik /Festigkeitslehre findest du im Kurs: TM2-Festigkeitslehre

 

Achsensymmetrie ist dann gegeben, wenn eine gegebene Fläche an einer Achse gespiegelt werden kann. Diese Achse wird dann auch als Symmetrieachsen bezeichnet. Wir wollen uns in diesem Zusammenhang anschauen was einfach symmetrische Querschnitte und doppelt symmetrische Querschnitte sind.

Darum geht es

Achsensymmetrie – Doppelt symmetrische Querschnitte

Für die einachsige Biegung wollen wir Balken betrachten, die einen einfach oder doppelt symmetrischen Querschnitt bezüglich der y,z-Achsen aufweisen. 

Bei einer Fläche ist Achsensymmetrie bezüglich einer Achse gegeben, wenn sie durch die Spiegelung an ihrer Achse auf sich selbst abgebildet wird:

Achsensymmetrie, Symmetrieachsen, doppelt symmetrische QuerschnitteIn der obigen Grafik ist ein Querschnitt eines Balkens zu sehen. Die y,z-Achsen liegen im Schwerpunkt der Querschnittsfläche. Die x-Achse (hier nicht abgebildet) zeigt aus der Grafik heraus und fällt mit der Balkenachse zusammen. Wir wollen nun zeigen, dass die beiden Achsen jeweils Symmetrieachsen des Querschnitts sind.

Schauen wir uns dazu zunächst die y-Achse an. Wenn wir die Fläche oberhalb der y-Achse an dieser spiegeln, so erhalten wir genau den unteren Teil. Damit ist die Querschnittsfläche achsensymmetrisch in Bezug auf die y-Achse und die y-Achse somit eine Symmetrieachse des Querschnitts.

Betrachten wir die z-Achse und spiegeln die rechte Fläche an dieser Achse, so erhalten wir genau die linke Fläche. Damit ist auch die z-Achse eine Symmetrieachse des Querschnitts

Sind beide y,z-Achsen Symmetrieachsen des Querschnitts, so liegt ein doppelt symmetrischer Querschnitt vor. Weitere Flächen, bei denen die y,z-Achsen Symmetrieachsen darstellen siehst du in der folgenden Grafik:

doppelt symmetrische Querschnitte, Symmetrieachsen, Achsensymmetrie

 

Darum geht es

Achsensymmetrie – Einfach symmetrische Querschnitte

Wir wollen ebenfalls einfach symmetrische Querschnitte betrachten. In einem solchen Fall ist nur eine der beiden Achsen eine Symmetrieachse:

Einfach symmetrische Querschnitte, symmetrieachsen, AchsensymmetrieIn der obigen Grafik siehst du einige ausgewählte Querschnitte die einfach symmetrisch in Bezug auf die y- oder z-Achse sind.

Die ersten drei Querschnitte sind achsensymmetrisch bezüglich der z-Achse. Die linke Fläche lässt sich also an der z-Achse spiegeln und es ergibt sich genau die Fläche rechts von der Achse. Für die y-Achse ist dies nicht gegeben, somit ist die y-Achse hier keine Symmetrieachse.

Für den 4. Querschnitt (U-Profil) ist die y-Achse die Symmetrieachse, weil sich die obere Fläche an der Achse so spiegelt, dass genau die untere Fläche resultiert. Die z-Achse hingegen ist hier keine Symmetrieachse.

Es liegen also in allen 4 Fällen einfach symmetrische Querschnitte vor.

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Wir wollen im Folgenden immer davon ausgehen, dass einfach oder doppelt symmetrische Querschnitte gegeben sind.

 

wie gehts weiter?
 

In der nachfolgenden Lerneinheit behandeln wir die Flächenträgheitsmomente und zeigen dir, wie du diese berechnen kannst.

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