TM2 – Normalspannung bei Querkraftbiegung

Querkraftbiegung

Nachdem wir die reine Biegung behandelt haben, bei welcher keine Querkräfte wirken, betrachten wir in dieser und den folgenden Lerneinheiten die Querkraftbiegung.

Querkraftbiegung ist dann gegeben, wenn äußere Querkräfte auf den betrachteten Balken wirken.

In der obigen Grafik ist ein Balken gegeben, welcher durch eine Querkraft belastet wird. Es können bei der Querkraftbiegung auch äußere Momente an den Balken angreifen:

Veränderlicher Momentenverlauf

Wenn äußere Querkräfte gegeben sind, so ergeben sich auch im Balkeninneren Querkräfte. Damit existiert ein Querkraftverlauf und damit auch ein veränderlicher Momentenverlauf. Das Schnittmoment ist somit nicht mehr konstant, wie bei der reinen Biegung.

Aus dem Kurs TM1 – Statik wissen wir, dass die Ableitung des Biegemoments die Querkraft ergibt:

Ist nun eine äußere Querkraft gegeben, also Q(x) ≠ 0, so ist die Ableitung des Biegemoments ungleich Null:

Ist die Ableitung des Momentenverlaufs nach x ungleich Null, so ist der Momentenverlauf über den gesamten Balken veränderlich, also von x abhängig. 

Führen wir Schnitte durch den Balken durch, welcher durch Querkraftbiegung belastet ist, so gilt für die Schnittbereiche:

-Der Normalkraftverlauf ist Null (weil keine äußeren Kräfte entlang der Balkenachse wirken).

-Der Querkraftverlauf ist im Bereich der äußeren Querkraft konstant (sofern keine Streckenlast angreift).

-Der Momentenverlauf ist linear (sofern keine Streckenlast angreift).

In der folgenden Grafik sehen wir den Querkraftverlauf sowie den Momentenverlauf beispielhaft für zwei Schnitte durch einen Balken, wenn Querkraftbiegung gegeben ist:

Wir betrachten innerhalb dieses Kurses sehr kleine Verformungen, so dass wir die Theorie 1. Ordnung anwenden können. Wir berechnen damit die Auflagerkräfte sowie die Schnittgrößen am unverformten Balken.

Normalspannung berechnen

Bei einer Querkraftbiegung treten sowohl Normalspannungen als auch Schubspannungen auf. Wir betrachten in dieser Lerneinheit zunächst die Normalspannung.

Die Berechnung der Normalspannungen bei Querkraftbiegung erfolgt über die selbe Gleichung wie bei der reinen Biegung:

Hierbei ist

= Schnittmoment (Schnittgröße M bestimmen)

= Flächenträgheitsmoment in Bezug auf die y-Achse (Betrachtung des Querschnitts)

= Abstand zur neutralen Faser in z-Richtung (Betrachtung des Querschnitts)

Der Balken in der obigen Grafik wird infolge der auftretenden Querkraft F nach unten gebogen. Betrachten wir den vergrößerten Balkenausschnitt, so tritt oberhalb der neutralen Faser eine Stauchung und unterhalb der neutralen Faser eine Dehnung des Balkens auf. Damit ergeben sich oberhalb der neutralen Faser Druckspannungen (=negative Normalspannungen) und unterhalb der neutralen Faser Zugspannungen (=positive Normalspannungen). Die neutrale Faser verläuft durch den Schwerpunkt der Querschnittsfläche. Die Normalspannung an der neutralen Faser ist gleich Null.

Maximale Normalspannung

Das Spannungsmaximum bzw. -minimum findet sich -infolge der angenommenen linearen Verteilung der Spannung – dort, wo der Abstand zur neutralen Faser am Größten ist (an den Randfasern). 

Im obigen Fall (rechteckiger Querschnitt) liegt der Schwerpunkt genau in der Mitte und damit auch die neutrale Faser. Die Abstände zur oberen Randfaser z₀ und zur unteren Randfaser z_u sind demnach identisch. Somit sind minimale und maximale Normalspannung gleich groß.

++ Videoclips++

Im folgenden Videos schauen wir uns an, wie die Normalspannung bei Querkraftbiegung bestimmt wird.

TEIL 1 – Einführung, Auflagerkräfte & Biegemoment

TEIL 2 – Abstand zur Randfaser, Flächenträgheitsmoment, Normalspannungsverlauf

In der nachfolgenden Lerneinheit betrachten wir ein weiteres Beispiel zur Berechnung der Normalspannung bei Querkraftbiegung.