TM2 – Momentenverlauf & Normalspannung bei Querkraftbiegung [Erklärung, Beispiel]

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In dieser Lerneinheit schauen wir uns an, was die Querkraftbiegung ist und wie du die Normalspannungen bei Querkraftbiegung bestimmst. In einem Video betrachten wir hierzu ein Beispiel zur Berechnung der Normalspannungen, wenn äußere Querkräfte an einen Balken angreifen. Wir betrachten hierfür auch die Bestimmung des Momentenverlaufs und des Flächenträgheitsmoments

Wir betrachten hier eine etwas ausführlichere Aufgabe zum Thema Normalspannung bei Querkraftbiegung.

Mehr zu diesem Thema und der Elastostatik /Festigkeitslehre findest du im Kurs: TM2-Festigkeitslehre

 

Querkraftbiegung ist dann gegeben, wenn äußere Querkräfte auf den betrachteten Balken wirken. Der Momentenverlauf ist dann nicht mehr konstant, wie bei der reinen Biegung, sondern veränderlich.

 

Querkraftbiegung

Nachdem wir die reine Biegung behandelt haben, bei welcher keine Querkräfte wirken, betrachten wir in dieser und den folgenden Lerneinheiten die Biegung eines Balkens infolge äußerer Querkräfte.

Querkraftbiegung ist dann gegeben, wenn äußere Querkräfte auf den betrachteten Balken wirken.

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Biegung infolge äußerer Querkräfte

 

In der obigen Grafik ist ein Balken gegeben, welcher durch eine Querkraft belastet wird. Es können bei der Querkraftbiegung auch äußere Momente an den Balken angreifen:

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Biegung infolge eines äußeren Moments und einer Querkraft

 

Merk’s dir!

Eine Querkraft wirkt immer senkrecht zur Balkenachsen. 

 

Veränderlicher Momentenverlauf

Wenn äußere Querkräfte gegeben sind, so ergeben sich auch im Balkeninneren Querkräfte. Damit existiert ein Querkraftverlauf und damit auch ein veränderlicher Momentenverlauf. Das Schnittmoment ist somit nicht mehr konstant, wie bei der reinen Biegung.

Aus dem Kurs TM1 – Statik wissen wir, dass die Ableitung des Biegemoments die Querkraft ergibt:

M'(x) = Q(x)

 

Ist nun eine äußere Querkraft gegeben, also Q(x) ≠ 0, so ist die Ableitung des Biegemoments ungleich Null:

M'(x) \neq 0

 

Ist die Ableitung des Momentenverlaufs nach x ungleich Null, so ist der Momentenverlauf über den gesamten Balken veränderlich, also von x abhängig. 

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Veränderlicher Momentenverlauf bei äußeren Querkräften

 

Führen wir Schnitte durch den Balken durch, welcher durch äußere Querkräfte belastet ist, so gilt für die Schnittbereiche:

-Der Normalkraftverlauf ist Null (weil keine äußeren Kräfte entlang der Balkenachse wirken).

-Der Querkraftverlauf ist im Bereich der äußeren Querkraft konstant (sofern keine Streckenlast angreift).

-Der Momentenverlauf ist linear (sofern keine Streckenlast angreift).

In der folgenden Grafik sehen wir den Querkraftverlauf sowie den Momentenverlauf beispielhaft für zwei Schnitte durch einen Balken, wenn Querkraftbiegung gegeben ist:

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Momentenverläufe bei äußeren Querkräften

 

Wir betrachten innerhalb dieses Kurses sehr kleine Verformungen, so dass wir die Theorie 1. Ordnung anwenden können. Wir berechnen damit die Auflagerkräfte sowie die Schnittgrößen am unverformten Balken.

 

Normalspannung bei Querkraftbiegung

Bei einer Querkraftbiegung treten sowohl Normalspannungen als auch Schubspannungen auf. Wir betrachten in dieser Lerneinheit zunächst die Normalspannung.

Die Berechnung der Normalspannungen bei äußeren Querkräften erfolgt über die selbe Gleichung wie bei der reinen Biegung:

Normalspannung

\sigma_x = \dfrac{M(x)}{I_{y}} \cdot z

Hierbei ist

M = Schnittmoment (Schnittgröße M bestimmen)

I_y = Flächenträgheitsmoment in Bezug auf die y-Achse (Betrachtung des Querschnitts)

z = Abstand zur neutralen Faser in z-Richtung (Betrachtung des Querschnitts)

 

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Normalspannungen

 

Der Balken in der obigen Grafik wird infolge der auftretenden Querkraft F nach unten gebogen. Betrachten wir den vergrößerten Balkenausschnitt, so tritt oberhalb der neutralen Faser eine Stauchung und unterhalb der neutralen Faser eine Dehnung des Balkens auf. Damit ergeben sich oberhalb der neutralen Faser Druckspannungen (=negative Normalspannungen) und unterhalb der neutralen Faser Zugspannungen (=positive Normalspannungen). Die neutrale Faser verläuft durch den Schwerpunkt der Querschnittsfläche. Die Normalspannung an der neutralen Faser ist gleich Null.

 

Spannungsmaximum und Spannungsminimum

Das Spannungsmaximum bzw. Spannungsminimum findet sich infolge der angenommenen linearen Verteilung der Spannung dort, wo der Abstand zur neutralen Faser am Größten ist (an den Randfasern). 

Im obigen Fall (rechteckiger Querschnitt) liegt der Schwerpunkt genau in der Mitte und damit auch die neutrale Faser. Die Abstände zur oberen Randfaser z0 und zur unteren Randfaser zu sind demnach identisch. Somit sind minimale und maximale Normalspannung gleich groß.

\sigma_{x;min} = \dfrac{M}{I_{y}} \cdot z_o

\sigma_{x;max} = \dfrac{M}{I_{y}} \cdot z_u

 

Videos: Biegemoment, Flächenträgheitsmoment und Normalspannung

Im folgenden Videos schauen wir uns an, wie die Normalspannung bei Querkraftbiegung bestimmt wird.

TEIL 1 – Einführung, Auflagerkräfte & Biegemoment

TEIL 2 – Abstand zur Randfaser, Flächenträgheitsmoment, Normalspannungsverlauf

 

Was kommt als Nächstes?

In der nachfolgenden Lerneinheit betrachten wir ein weiteres Beispiel zur Berechnung der Normalspannung bei Querkraftbiegung.

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