(TM2) Prüfungsaufgabe: Ebener Spannungszustand – Spannungstransformation

Inhaltsverzeichnis


Prüfungsaufgabe 1: Spannungstransformation


Aufgabenstellung

Gegeben sei eine Scheibe mit den folgenden Spannungswerten:

\sigma_x = 80 Mpa, \sigma_y = -50 MPa und \tau_{xy} = -20 MPa

Bestimme die Spannungen, wenn eine Drehung um 60° des Ausgangskoordinatensystems im Uhrzeigersinn erfolgt!

 

Lösung

Aufgabe, Spannungstransformation, Ebener Spannungszustand

In der obigen Grafik siehst du links den Ausgangszustand für positive Spannungen. Sind hingegen negative Spannungen gegeben, so wirken die Spannungen genau entgegengesetzt. Die Normalspannung σy ist negativ und zeigt somit auf die Scheibe und auch die Schubspannung τxy bzw. τyx ist negativ und wirkt genau entgegengesetzt.

Wir wollen nun den Spannungszustand für eine Drehung des Ausgangskoordinatensystems um 60° im Uhrzeigersinn ermitteln. Hierbei handelt es sich um eine Rechtsdrehung, wir müssen den Winkel also negativ innerhalb der Formeln berücksichtigen.

Koordinatentransformation, Spannungen, ebener Spannungszustand

In der obigen Grafik siehst du links die Ausgangssituation mit den Richtungen der Spannungen, wenn diese positiv gegeben sind. Drehst du nun dieses Koordinatensystem im Uhrzeigersinn um 60°, so ergeben sich die Spannungen wie rechts im Bild zu sehen ist. Die tatsächliche Richtung der Spannungen müssen wir aber noch berechnen. Resultierenden innerhalb der Berechnungen negative Werte, so müssen die Spannungen genau entgegengesetzt eingezeichnet werden.

 

Wir wenden die folgenden Formeln an, um die Aufgabe zu löse:

 \boxed{\sigma_{\xi} = \dfrac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \dfrac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cdot \cos(2 \alpha) + \tau_{xy} \cdot \sin(2 \alpha)}

 \boxed{\sigma_{\eta} = \dfrac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - \dfrac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cdot \cos(2 \alpha) - \tau_{xy} \cdot \sin(2 \alpha)}

 \boxed{\tau_{\eta \xi} = \tau_{\xi \eta} =  - \dfrac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cdot \sin(2 \alpha) + \tau_{xy} \cdot \cos(2 \alpha)}

 

Wir setzen die folgenden Werte in die obigen Formeln ein:

\sigma_x = 80 Mpa, \sigma_y = -50 MPa und \tau_{xy} = -20 MPa, \alpha = -60^\circ

 

Und erhalten:

 \boxed{\sigma_{\xi} = \dfrac{80 Mpa + (-50 MPa)}{2} + \dfrac{80 Mpa - (-50 MPa)}{2} \cdot \cos(2 (-60^\circ)) + (-20 MPa) \cdot \sin(2 (-60^\circ))= -0,18 MPa}

 \boxed{\sigma_{\eta} = \dfrac{80 Mpa + (-50 MPa)}{2} - \dfrac{80 Mpa - (-50 MPa)}{2} \cdot \cos(2 (-60^\circ)) - (-20 MPa) \cdot \sin(2 (-60^\circ))= 30,18 MPa}

 \boxed{\tau_{\eta \xi} = \tau_{\xi \eta} =  - \dfrac{80 Mpa - (-50 MPa)}{2} \cdot \sin(2 \alpha) + (-20 MPa) \cdot \cos(2 (-60^\circ))= 66,29 MPa}

 

Wir haben nun die Spannungen bestimmt. Diese wirken wie folgt:

Ebener Spannungszustand, Spannungstransformation

Die Normalspannung σξ ist negativ und wirkt demnach genau entgegengesetzt.

 

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