(TM2) Prüfungsaufgabe: Ebener Spannungszustand – Spannungstransformation

Prüfungsaufgabe 1: Spannungstransformation

Aufgabenstellung

Nun folgt eine Aufgabe zur Spannungstransformation – Gegeben sei eine Scheibe mit den folgenden Spannungswerten:

$\sigma_x = 80 Mpa$ , $\sigma_y = -50 MPa$ und $\tau_{xy} = -20 MPa$

Bestimme die Spannungen, wenn eine Drehung um 60° des Ausgangskoordinatensystems im Uhrzeigersinn erfolgt!

Lösung

Aufgabe, Spannungstransformation, Ebener Spannungszustand — Spannungstransformation

In der obigen Grafik siehst du links den Ausgangszustand für positive Spannungen. Sind hingegen negative Spannungen gegeben, so wirken die Spannungen genau entgegengesetzt. Die Normalspannung σ_y ist negativ und zeigt somit auf die Scheibe und auch die Schubspannung τ_xy bzw. τ_yx ist negativ und wirkt genau entgegengesetzt.

Wir wollen nun den Spannungszustand für eine Drehung des Ausgangskoordinatensystems um 60° im Uhrzeigersinn ermitteln. Hierbei handelt es sich um eine Rechtsdrehung, wir müssen den Winkel also negativ innerhalb der Formeln berücksichtigen.

Koordinatentransformation, Spannungen, ebener Spannungszustand — Spannungstransformation

In der obigen Grafik siehst du links die Ausgangssituation mit den Richtungen der Spannungen, wenn diese positiv gegeben sind. Drehst du nun dieses Koordinatensystem im Uhrzeigersinn um 60°, so ergeben sich die Spannungen wie rechts im Bild zu sehen ist. Die tatsächliche Richtung der Spannungen müssen wir aber noch berechnen. Resultierenden innerhalb der Berechnungen negative Werte, so müssen die Spannungen genau entgegengesetzt eingezeichnet werden.

Wir wenden die folgenden Formeln an, um die Aufgabe zu löse:

$\boxed{\sigma_{\xi} = \dfrac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \dfrac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cdot \cos(2 \alpha) + \tau_{xy} \cdot \sin(2 \alpha)}$

$\boxed{\sigma_{\eta} = \dfrac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - \dfrac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cdot \cos(2 \alpha) - \tau_{xy} \cdot \sin(2 \alpha)}$

$\boxed{\tau_{\eta \xi} = \tau_{\xi \eta} = - \dfrac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cdot \sin(2 \alpha) + \tau_{xy} \cdot \cos(2 \alpha)}$

Wir setzen die folgenden Werte in die obigen Formeln ein:

$\sigma_x = 80 Mpa$ , $\sigma_y = -50 MPa$ und $\tau_{xy} = -20 MPa$ , $\alpha = -60^\circ$

Und erhalten:

$\boxed{\sigma_{\xi} = \dfrac{80 Mpa + (-50 MPa)}{2} + \dfrac{80 Mpa - (-50 MPa)}{2} \cdot \cos(2 (-60^\circ)) + (-20 MPa) \cdot \sin(2 (-60^\circ))= -0,18 MPa}$

$\boxed{\sigma_{\eta} = \dfrac{80 Mpa + (-50 MPa)}{2} - \dfrac{80 Mpa - (-50 MPa)}{2} \cdot \cos(2 (-60^\circ)) - (-20 MPa) \cdot \sin(2 (-60^\circ))= 30,18 MPa}$

$\boxed{\tau_{\eta \xi} = \tau_{\xi \eta} = - \dfrac{80 Mpa - (-50 MPa)}{2} \cdot \sin(2 \alpha) + (-20 MPa) \cdot \cos(2 (-60^\circ))= 66,29 MPa}$

Wir haben nun die Spannungen bestimmt. Diese wirken wie folgt:

Ebener Spannungszustand, Spannungstransformation — Spannungstransformation

Die Normalspannung σ_ξ ist negativ und wirkt demnach genau entgegengesetzt.

Was gibt es noch bei uns?

Finde die richtige Schule für dich!

Kennst du eigentlich schon unser großes Technikerschulen-Verzeichnis für alle Bundesländer mit allen wichtigen Informationen (Studiengänge, Kosten, Anschrift, Routenplaner, Social-Media)? Nein? – Dann schau einfach mal hinein:

Was ist Technikermathe.de?

Unser Dozent Jan erklärt es dir in nur 2 Minuten!

Oder direkt den >> kostenlosen Probekurs << durchstöbern? – Hier findest du Auszüge aus jedem unserer Kurse!

Interaktive Übungsaufgaben

Trainingsbereich

Quizfrage 1

Wusstest du, dass unter jedem Kursabschnitt eine Vielzahl von verschiedenen interaktiven Übungsaufgaben bereitsteht, mit denen du deinen aktuellen Wissensstand überprüfen kannst?

Auszüge aus unserem Kursangebot

Hat dir dieses Thema Spannungstransformation gefallen? – Ja? – Dann schaue dir auch gleich die anderen Themen zu den Kursen

ENT3 (Energetische Berechnungen) und
TM1 (Technische Mechanik – Statik) an.

Perfekte Prüfungsvorbereitung für nur 19,90 EUR/Jahr pro Onlinekurs
++ Günstiger geht’s nicht!! ++

Oder direkt >> Mitglied << werden und >> Zugriff auf alle 22 Kurse << (inkl. >> Webinare << + Unterlagen) sichern ab 8,90 EUR/Monat
++ Besser geht’s nicht!! ++