TM2 – Normalspannung bei reiner Biegung

Inhaltsverzeichnis

Eine reine Biegung bzw. querkraftfreie Biegung entsteht durch das Aufbringen zweier Momente an den Ende eines Balkens. Das Schnittmoment ist in diesem Fall im gesamten Balken konstant. 

In dieser Lerneinheit wollen wir uns anschauen, wie die Normalspannung bei reiner Biegung berechnet wird.

Darum geht es

Normalspannung – Gleichung

Bei einer reinen Biegung treten Normalspannungen aber keine Schubspannungen auf. Die Berechnung der Normalspannungen erfolgt über die folgende Gleichung (auf die Herleitung sei verzichtet):

\sigma_x = \dfrac{M}{I_{y}} \cdot z

Hierbei ist

M = Schnittmoment (Schnittgröße M bestimmen)

I_y = Flächenträgheitsmoment in Bezug auf die y-Achse (Betrachtung des Querschnitts)

z = Abstand zur neutralen Faser in z-Richtung (Betrachtung des Querschnitts)

Normalspannung bei reiner Biegung, reine Biegung

Der Balken in der obigen Grafik wird infolge der auftretenden Momenten an den Balkenenden nach unten gebogen. Betrachten wird den vergrößerten Balkenausschnitt, so tritt oberhalb der neutralen Faser eine Stauchung und unterhalb der neutralen Faser eine Dehnung des Balkens auf. Damit ergeben sich oberhalb der neutralen Faser Druckspannungen (=negative Normalspannungen) und unterhalb der neutralen Faser Zugspannungen (=positive Normalspannungen). Die Normalspannung an der neutralen Faser ist gleich Null.

Darum geht es

Maximale Normalspannung

Das Spannungsmaximum bzw. -minimum findet sich -infolge der angenommenen linearen Verteilung der Spannung – dort, wo der Abstand zur neutralen Faser am Größten ist (an den Randfasern).

Im obigen Fall (rechteckiger Querschnitt) liegt der Schwerpunkt genau in der Mitte und damit auch die neutrale Faser. Die Abstände zur oberen Randfaser z0 und zur unteren Randfaser zu sind demnach identisch. Somit sind minimale und maximale Normalspannung gleich groß.

\sigma_{x;min} = \dfrac{M}{I_{y}} \cdot z_o

\sigma_{x;max} = \dfrac{M}{I_{y}} \cdot z_u

 

In der nachfolgenden Grafik siehst du einen dreieckigen Querschnitt. Hier sind die Abstände zu den Randfasern (ausgehend von der neutralen Faser) nicht mehr identisch. Der Abstand z0 ist größer als zu. Damit ist die minimale Normalspannung größer als die maximale Normalspannung: 

normalspannung bei reiner Biegung, randfaser, neutrale faser, Spannung

 

Darum geht es

Prüfungsaufgabe : Normalspannung bei reiner Biegung

Aufgabenstellung

Beispiel, reine Biegung, querkraftfreie Biegung, Spannung, Normalspannung, Biegespannung

Gegeben sei der obige Balken, der durch zwei Momente an den Balkenenden belastet wird. Bestimme die auftretende maximale bzw. minimale Normalspannung!

Lösung

Wir haben hier reine Biegung gegeben, da nur äußere Momente an den Balkenenden angreifen. Damit liegt im gesamten Balken ein konstantes Biegemoment vor. 

Die Gleichung zur Berechnung der Normalspannung lautet:

\sigma_x = \dfrac{M}{I_{y}} \cdot z

Wir suchen die minimale und maximale Normalspannung, die an den Randfasern auftritt:

\sigma_{x;min} = \dfrac{M}{I_{y}} \cdot z_0

\sigma_{x;max} = \dfrac{M}{I_{y}} \cdot z_u

 

1.Biegemoment berechnen

Zunächst berechnen wir das Biegemoment, welches im gesamten Balken konstant ist. Wir können also irgendwo einen gedanklichen Schnitt durch den Balken durchführen, das Biegemoment abtragen und dann aus der Momentengleichgewichtsbedingung berechnen.

Reine Biegung, Momentenverlauf, Beispiel

Zuvor müssen natürlich die Lagerkräfte berechnet werden. Da wir aber keine äußeren Querkräfte (vertikalen Kräfte) und keine äußeren Normalkräfte (Horizontalkräfte) gegeben haben, werden die Auflagerkräfte Ah und Av zu Null.

Wir können als nächstes die Momentengleichgewichtsbedingung zur Berechnung des Schnittmoments M1 aufstellen:

\sum M = 0:

-A_v \cdot x - M + M_1 = 0

 

Auflösen nach M1:

M_1 = A_v \cdot x + M

 

Mit Av = 0 ergibt sich:

M_1 = M

M_1 = 30 kNm

Bei reiner Biegung im gesamten Balken ist das Schnittmoment gleich dem angreifenden äußeren Moment. 

Merk's dir!
Merk's dir!

Die Berechnung von Schnittgrößen findest du detailliert in unserem Kurs TM1-Statik.

Darum geht es

2.Flächenträgheitsmoment berechnen

Im nächsten Schritt berechnen wir das Flächenträgheitsmoment bezüglich der y-Achse. Dazu betrachten wir den Balkenquerschnitt. Es handelt sich hierbei um eine rechteckige Fläche. Wir können das Flächenträgheitsmoment aus Tabellenwerken entnehmen bzw. aus der Lerneinheit Flächenträgheitsmomente einiger Querschnitte):

Reine Biegung, Beispiel, Normalspannung

Wir übernehmen die Gleichungen und setzen die Werte aus der Aufgabenstellung ein:

I_y = \dfrac{h^3 \cdot b}{12} = \dfrac{(20cm)^3 \cdot 30cm}{12} = 20.000cm^4

Darum geht es

3. Abstände zur Randfaser

Als letztes benötigen wir noch die Abstände von der neutralen Faser hin zu den Randfasern, also zur oberen und unteren Randfaser. Dazu betrachten wir auch wieder den Querschnitt. Die Randfaser verläuft durch den Schwerpunkt, welcher sind bei einem Rechteck genau in der Mitte befindet:

Reine Biegung, Normalspannung, Randfaser

Die Abstände zur oberen Randfaser z0 und zur unteren Randfaser zu ausgehend von der neutralen Faser sind für ein Rechteck gleich groß:

z_o = -10cm (negative z-Achse)

z_u = 10 cm

Darum geht es

4. Normalspannung berechnen

Im letzten Schritt können wir die Normalspannung berechnen:

\sigma_{x;min} = \dfrac{M}{I_y} \cdot z_0

\sigma_{x;max} = \dfrac{M}{I_y} \cdot z_u

 

Wir haben das Biegemoment in kNm gegeben, die Flächenträgheitsmomente in cm4 und die Abstände zur Randfaser in cm. Wir haben hier nun zwei Maßeinheiten für die Länge gegeben, einmal Meter [m] und einmal Zentimeter [cm]. Wir müssen uns hier für eine Längeneinheit entscheiden und wählen cm. So müssen wir zunächst das Moment in kNcm umrechnen:

1m = 100 cm

3 kNm = 3 kN \cdot 100 cm = 300 kNcm

 

Einsetzen ergibt:

\sigma_{x;min} = \dfrac{300 kNcm}{20.000cm^4} \cdot (-10cm) = -0,15 \frac{kN}{cm^2}

\sigma_{x;max} = \dfrac{300 kNcm}{20.000cm^4} \cdot 10cm = 0,15 \frac{kN}{cm^2}$

 

Die minimale bzw. maximale Normalspannung beträgt an den Randfaser 0,15 kN/cm².

wie gehts weiter?

In der folgenden Lerneinheit betrachten wir die Querkraftbiegung.

 

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