TM2 – Hauptschubspannungen berechnen [Erklärung, Formeln, Beispiel, Video]

Die Hauptschubspannungen sind die Extremwerte der Schubspannungen, d.h. die Schubspannungen nehmen ihren maximalen bzw. minimalen Wert an. Treten die Hauptschubspannungen auf, so nehmen die Normalspannungen ihren mittleren Wert an.

Wir wollen uns im folgenden die Gleichungen zur Berechnung der Hauptschubspannungen und der dazugehörigen Hauptrichtungen anschauen.

Für ein optimales Verständnis helfen dir ein Videoclip mit ausführlichem Beispiel.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs TM2 – Festigkeitslehre.

Zunächst betrachten wir die Formeln für die Berechnung der Hauptschubspannungen und der Hauptrichtung.

Hauptschubspannung & Hauptrichtung: Formeln

Um die Hauptschubspannungen berechnen zu können, benötigst du die folgenden Gleichungen:

Hauptschubspannungen

$\tau_{max} = \sqrt{(\dfrac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2}$

$\tau_{min} = \sqrt{(\dfrac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2} = -\tau_{max}$

Alternativ kannst du die Hauptschubspannungen auf über die Hauptnormalspannungen berechnen:

Hauptschubspannungen

$\tau_{max} = \dfrac{\sigma_1 - \sigma_2}{2}$

$\tau_{min} = -\tau_{max}$

Die Hauptrichtung α_HS bei welcher die Hauptschubspannungen auftreten berechnest du wie folgt:

Hauptrichtung

$\dfrac{1}{\tan(2 \cdot \alpha_{HS})} = -\dfrac{2 \cdot \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}$

Aufgelöst nach der Hauptrichtung ergibt sich:

$\alpha_{HS} = \frac{1}{2} \tan^{-1} (-\dfrac{\sigma_x - \sigma_y}{2 \tau_{xy}})$

Normalspannung bei Hauptschubspannung

Treten die Hauptschubspannungen auf, weist also die Schubspannung ihren maximalen bzw. minimalen Wert auf, so nehmen die Normalspannungen immer ihren mittleren Wert an:

(1) $\sigma_m = \dfrac{\sigma_x + \sigma_y}{2}$

(2) $\sigma_m = \dfrac{\sigma_1 + \sigma_2}{2}$

Beim Auftreten der Hauptschubspannungen nehmen die Normalspannungen ihren mittleren Wert an.

Video: Hauptschubspannungen berechnen

In dem folgenden Video erkläre ich dir wie du die Hauptschubspannungen und die dazugehörigen Hauptrichtungen berechnest:

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