TM2 – Hauptnormalspannung berechnen

Inhaltsverzeichnis

Hauptspannungen sind die Extremwerte der Spannungen und unterteilen sich in die Hauptnormalspannungen und Hauptschubspannungen. Die Hauptnormalspannungen sind die Extremwerte der Normalspannungen, die Hauptschubspannungen die Extremwerte der Schubspannungen.

Hauptnormalspannung berechnen

Wichtig bei der Dimensionierung von Bauteilen und bei der Auswahl von Materialien sind die maximalen Spannungswerte, die nicht überschritten werden dürfen. Deswegen ist es von besonderem Interesse diese maximal auftretenden Spannungen innerhalb eines ebenen Bauteils zu kennen. Diese maximalen Werte werden auch als Hauptspannungen bezeichnet.

Uns interessiert in diesem Zusammenhang welchen Wert die Hauptspannungen annehmen können und unter welchem Winkel diese auftreten.

Die Extremwerte der Spannungen werden auch als Hauptspannungen bezeichnet und unterteilen sich in die Hauptnormalspannungen und Hauptschubspannungen. Die Hauptnormalspannungen sind die Extremwerte der Normalspannungen, die Hauptschubspannungen die Extremwerte der Schubspannungen.

Wir betrachten zunächst die Hauptnormalspannungen.


Hauptnormalspannung & Hauptrichtung


Die Hauptnormalspannungen kannst du mit den folgenden beiden Gleichung bestimmen:

\sigma_{1} = \dfrac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \sqrt{\dfrac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2}

\sigma_{2} = \dfrac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - \sqrt{\dfrac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2}

Die Hauptnormalspannung kann die beiden Extremwerte σ1 und σ2 annehmen.

Merk's dir!
Merk's dir!

Beim Auftreten der Hauptnormalspannungen fallen die Schubspannungen weg. In diesem Fall gilt also \tau_{xy} = 0.

 

Die Hauptrichtung αHN ist der Winkel der Koordinatendrehung unter welchem die Hauptnormalspannungen auftreten. Du kannst diesen Winkel mittels der folgenden Gleichung berechnen:

\tan(2 \alpha_{HN}) = \dfrac{2 \cdot \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}

Die Hauptrichtung wird in den meisten Fällen wie oben angegeben. Um nun den Winkel aus dieser Gleichung bestimmen zu können, müssen wir diese noch umstellen. Dazu wenden wir den Arkustangens (tan-1) auf beiden Seiten an:

2 \alpha_{HN} = \tan^{-1}(\dfrac{2 \cdot \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y})   

Danach teilen wir beide Seiten durch 2 und erhalten:

\alpha_{HN} = \frac{1}{2} \cdot \tan^{-1}(\dfrac{2 \cdot \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y})   

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Bei der Hauptrichtung αHN handelt es sich um den Winkel der Koordinatendrehung, also um die Drehung der x-Achse. 

Um herauszufinden, welche der beiden Hauptnormalspannungen σ1 und σ2 dann in Richtung der gedrehten x-Achse (der ξ-Achse) zeigt, kannst du den Winkel ganz einfach die Transformationsgleichungen des ebenen Spannungszustands einsetzen:

\sigma_{\xi} = \dfrac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \dfrac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cdot \cos(2 \alpha) + \tau_{xy} \cdot \sin(2 \alpha)

 

Video: Hauptnormalspannungen berechnen

Im folgenden Video zeige ich dir, wie du die Hauptnormalspannungen berechnest.


Lernclip
Hauptnormalspannung berechnen

 


Aufgabe: Hauptnormalspannung berechnen


Aufgabenstellung

Gegeben sei der folgende Spannungszustand:

Hauptnormalspannung berechnen, Nachhilfe Techniker

Gegeben sei der obige ebene Spannungszustand. Berechne die Hauptnormalspannungen und den Winkel, unter welchem diese auftreten.

 

Lösung

Zur Berechnung der Hauptnormalspannungen benötigen wir die folgenden Gleichungen:

\sigma_{1} = \dfrac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \sqrt{\dfrac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2}

\sigma_{2} = \dfrac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - \sqrt{\dfrac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2}

 

Bevor wir die Berechnung durchführen schauen wir uns zunächst den ebenen Spannungszustand mit positiven Spannungen an:

Spannungstransformation, ebener Spannungszustand, Nachhilfe Techniker

Wenn wir den positiven Spannungszustand mit der Aufgabenstellung vergleichen sehen wir, dass die Normalspannung in y-Richtung und die Schubspannung negativ sein muss, da diese genau entgegengesetzt wirken. 

Es gilt also für das Beispiel:

\sigma_x = 40 MPa

\sigma_y = -25 MPa

\tau_{xy} = -12 MPa

 

Wir können nun die Hauptnormalspannungen berechnen:

\sigma_{1} = \dfrac{40 MPa + (-25 MPa)}{2} + \sqrt{\dfrac{40 MPa - (-25 MPa)}{2})^2 + (-12 MPa)^2} = 42,14 MPa

\sigma_{2} = \dfrac{40 MPa + (-25 MPa)}{2} - \sqrt{\dfrac{40 MPa - (-25 MPa)}{2})^2 + (-12 MPa)^2} = -27,14 MPa

 

Wir haben die beiden Hauptnormalspannungen berechnet. Hierbei handelt es sich um die maximalen Normalspannungen, die innerhalb des betrachteten Bauteils mit dem in der Aufgabenstellung gegeben Spannungszustand auftreten können.

Wir wollen als nächstes wissen unter welchem Winkel die Hauptnormalspannungen auftreten. Wir sprechen hier von dem Winkel, um welchem das x,y-Koordinatensystem gedreht werden muss, damit die Hauptnormalspannungen gegeben sind. Diesen Winkel berechnest du mit der folgenden Gleichung:

\alpha_{HN} = \frac{1}{2} \cdot \tan^{-1}(\dfrac{2 \cdot \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y})   

 

Wir setzen die gegeben Werte ein:

\alpha_{HN} = \frac{1}{2} \cdot \tan^{-1}(\dfrac{2 \cdot (-12 MPa)}{40 MPa - (-25 MPa)}) = -10,13^\circ   

 

Es ergibt sich ein Winkel von αHN = -10,13°. Das negative Vorzeichen zeigt an, dass die Drehung des Ausgangskoordinatensystems in einer Rechtsdrehung (mit dem Uhrzeigersinn) erfolgt. Wir müssen nun noch wissen, welche der obigen Hauptnormalspannungen in ξ-Richtung und η-Richtung wirkt. Dazu verwenden wir die Formeln für die Spannungstransformation:

\sigma_{\xi} = \dfrac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \dfrac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cdot \cos(2 \alpha) + \tau_{xy} \cdot \sin(2 \alpha)

\sigma_{\eta} = \dfrac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - \dfrac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cdot \cos(2 \alpha) - \tau_{xy} \cdot \sin(2 \alpha)

 

Es reicht aus, wenn wir eine der Gleichungen verwenden. Wir setzen nun die gegeben Ausgangswerte ein und als Winkel die berechnete Hauptrichtung αHN = -10,13°:

\sigma_{\xi} = \dfrac{40 MPa+ (-25 MPa)}{2} + \dfrac{40 MPa- (-25 MPa}{2} \cdot \cos(2  \cdot (-10,13^\circ) + (-12 MPa) \cdot \sin(2 \cdot (-10,13^\circ)) = 42,14 MPa

 

Bei einer Drehung des Ausgangskoordinatensystems um 10,13° in einer Rechtsdrehung ergibt sich eine Normalspannung in ξ-Richtung von 42,14 MPa. Dies entspricht der Hauptnormalspannung σ1.

Merk's dir!
Merk's dir!

Demnach zeigt die Hauptnormalspannung σ1 in ξ-Richtung und die Hauptnormalspannung σ2 in η-Richtung.

Hauptnormalspannung berechnen, Techniker Prüfungsvorbereitung

Schubspannungen werden zu Null

Beim Auftreten der Hauptnormalspannungen ist die Schubspannung Null. Das können wir anhand der Gleichung für die Spannungstransformation zeigen:

\tau_{\eta \xi} = \tau_{\xi \eta} =  - \dfrac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cdot \sin(2 \alpha) + \tau_{xy} \cdot \cos(2 \alpha)

 

Einsetzen der Werte:

\tau_{\eta \xi} = \tau_{\xi \eta} =  - \dfrac{40 MPa - (-25 MPa)}{2} \cdot \sin(2 \cdot (-10,13^\circ)) + (-12 MPa) \cdot \cos(2 \cdot (-10,13^\circ)) =  0

undefiniert
Hinweis!

Tatsächlich ergibt sich für die obige Berechnung ein Wert von -0,00344.. . Dieser Wert resultiert daher, weil wir den Winkel von -10,13° gerundet einsetzen. Würden wir den Winkel ungerundet einsetzen, so ergäbe sich der Wert Null für die Schubspannung.

 

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

In der folgenden Lerneinheit behandeln wir die Hauptschubspannungen.

 

Trainingsbereich

Übrigens….. Als “Mitglied unserer Technikermathe-Community” findest du unter jedem Kurstext zusätzlich einen Trainingsbereich mit vielen interaktiven Übungsaufgaben zur Wissensvertiefung, sowie eine umfangreiche Formelsammlung und Probeklausur am Ende eines jeden Kurses.

Mehr für dich!
Hat dir dieses Thema gefallen?Ja? – Dann schaue dir auch gleich die anderen Themen zum Kurs TM2 – Festigkeitslehre an: TM2 – Festigkeitslehre
Hier gehts zum Kurs TM1 – Statik: sowie: TM1 – Statik

Kennst du eigentlich schon unseren Channel? – Nein? – Dann schau super gerne vorbei: YOUTUBE

 Immer auf dem neuesten Stand sein? – Ja? – Dann besuche uns doch auch auf Instagram: https://www.instagram.com/technikmachts/

Dein Technikermathe.de-Team

 

Uns gibts auch auf YouTube!

Undzwar mit aktuell über 400 Lernvideos und allen Aufzeichnungen von unseren Webinaren!

Lass uns ein Abo da!

Wenn dir unsere Videos gefallen! Damit hilfst du uns echt mega und es kostet dich keinen Cent!
Zum YouTube Kanal

Schon gewusst?

Aktuell bieten wir über 2500 Lerntexte in über 20 Kursen zu den verschiedensten Themen an! Als Technikermathe.de Mitglied hast du vollen Zugriff auf alle Lerninhalte!
0
    0
    Dein Warenkorb
    Dein Einkaufswagen ist leer.Zurück zum Shop