TM2 – Hauptachsen und Hauptträgheitsmomente [Formeln, Beispiel, Berechnung]

Hauptachsen sind Achsen, die durch den Schwerpunkt einer Fläche bzw. eines Querschnitts verlaufen und für die das Deviationsmoment verschwindet (= zu Null wird). Die zu den Hauptachsen dazugehörigen Flächenträgheitsmomente werden als Hauptträgheitsmomente bezeichnet.

Jetzt erklären wir dir ausführlich und verständlich was die Hauptachsen und Hauptträgheitsmomente sind.

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs TM2 – Festigkeitslehre.

Hauptachsen und Hauptträgheitsmoment – Erklärung

Achsen, die durch den Schwerpunkt einer Fläche bzw. eines Querschnitts verlaufen und für die das Deviationsmoment verschwindet, werden als Hauptachsen bezeichnet. Die zu den Hauptachsen dazugehörigen Flächenträgheitsmomente heißen Hauptträgheitsmomente. Die Hauptträgheitsmomente sind nichts anderes als die Extremwerte der Flächenträgheitsmomente, also diejenigen Werte, bei welchen die Flächenträgheitsmomente für den betrachteten Querschnitt maximal bzw. minimal werden.

Hauptachsen

Wir wissen bereits aus den vorangegangenen Lerneinheiten, dass das Deviationsmoment verschwindet, wenn mindestens eine der gegebenen Achsen eine Symmetrieachse darstellt. Was ist aber, wenn keine der Achsen eine Symmetrieachse darstellt, wie in der folgenden Grafik zu sehen ist:

In der obigen Grafik siehst du, dass keine der beiden Achsen eine Symmetrieachse darstellt. Damit wird das Deviationsmoment I_yz ungleich Null.

Es existieren aber auch für den obigen Querschnitt zwei senkrecht aufeinander stehende Achsen, für welche das Deviationsmoment verschwindet (I_yz = 0). Diese beiden Achsen werden Hauptachsen genannt.

Zur Berechnung der Lage der Hauptachsen (=Hauptrichtung) kannst du die folgende Gleichung heranziehen:

Hauptrichtung

$\tan(2 \alpha_H) = \dfrac{2 I_{yz}}{(I_y - I_z)}$

Die Hauptrichtung ist derjenigen Winkel, bei welchen die Hauptachsen gegeben sind.

Merk’s dir!

Hast du bereits einen Querschnitt gegeben, bei welchem mindestens eine der gegebenen y,z – Achsen eine Symmetrieachse darstellt, so sind beide Achsen (y- und z-Achse) bereits Hauptachsen des Querschnitts.

Hauptträgheitsmomente

Die zu den Hauptachsen dazugehörigen Flächenträgheitsmomente heißen Hauptträgheitsmomente.

Die Hauptträgheitsmomente sind nichts anderes als die Extremwerte der Flächenträgheitsmomente, also derjenige Wert, bei welchem die Flächenträgheitsmomente für den betrachteten Querschnitt maximal bzw. minimal werden.

Zur Berechnung der Hauptträgheitsmomente kannst du die folgende Gleichung heranziehen (analog zu den Hauptspannungen):

Hauptträgheitsmomente

$I_{1,2} = \dfrac{I_y + I_z}{2} \pm \sqrt{(\dfrac{I_y - I_z}{2})^2 + I_{yz}^2}$

Betrachten wir ein Beispiel zur Berechnung.

Aufgabe: Hauptachsen & Hauptträgheitsmomente

Aufgabenstellung

Hauptachsen, Dreieck, Flächenträgheitsmomente, rechtwinkliges Dreieck, Hauptträgheitsmomente — Beispiel: Hauptachsen und Hauptträgheitsmomente (rechtwinkliges Dreieck)

Gegeben sei der obige dreieckige Querschnitt mit dem y,z-Koordinatensystem, welches sich im Schwerpunkt der dreieckigen Fläche befindet.

Bestimme die Hauptachsen sowie die Hauptträgheitsmomente!

Hauptachsen

Weder die y-Achse noch die z-Achse sind Symmetrieachsen des gegebenen Querschnitts. Demnach sind diese Achsen keine Hauptachsen des Querschnitts. Zur Berechnung der Lage der Hauptachsen, können wir die folgende Gleichung heranziehen:

$\tan(2 \alpha_H) = \dfrac{2 I_{yz}}{(I_y - I_z)}$

Zunächst benötigen wir hierzu die axialen Flächenträgheitsmomente I_y und I_z sowie das Deviationsmoment I_yz für das gegebene y,z-Koordinatensystem. Diese können wir Tabellenwerken entnehmen.

Für ein Dreieck gelten die folgenden Formeln:

$I_y = \dfrac{h^3 \cdot b}{36}$

$I_z = \dfrac{b^3 \cdot h}{36}$

$I_{yz} = -\dfrac{b^2 \cdot h^2}{72}$

Im nächsten Schritt setzen wir die in der Aufgabenstellung gegebenen Abmessungen in die obigen Gleichungen ein. Es gilt h = 1m und b = 1,5m:

$I_y = \dfrac{(1m)^3 \cdot 1,5m}{36} = 0,0417m^4$

$I_z = \dfrac{(1,5m)^3 \cdot 1m}{36} = 0,0938m^4$

$I_{yz} = -\dfrac{(1,5m)^2 \cdot (1m)^2}{72} = -0,0313m^4$

Wir können nun die gegebenen Werte in die Gleichung einsetzen:

$\tan(2 \alpha_H) = \dfrac{2 \cdot (-0,0313m^4)}{0,0417m^4 - 0,0938m^4}$

$\tan(2 \alpha_H) = \dfrac{-0,0626m^4}{-0,0521m^4}$

$\tan(2 \alpha_H) = 1,2015$

Nach dem Winkel $\alpha_H$ auflösen:

$\tan(2 \alpha_H) = 1,2015$ $| \cdot \tan^{-1}$

$2 \alpha_H = \tan^{-1} (1,2015)$ $| :2$

$\alpha_H = \dfrac{1}{2} \cdot \tan^{-1} (1,2015)$

Mit dem Taschenrechner das Ergebnis berechnen:

$\alpha_H = \dfrac{1}{2} \cdot \tan^{-1} (1,2015) = 25,11^\circ$

Die Hauptachsen treten unter einem Winkel von 25,11° auf. Zur Bestimmung der Hauptachsen wird das y,z-Koordinatensystem um 25,11° in einer Linksdrehung gedreht. Eine Linksdrehung ist gegeben, weil der berechnete Winkel positiv ist. Bei einem negativen Winkel wird das y,z-Koordinatensystem in einer Rechtsdrehung gedreht.

In der folgenden Grafik siehst du die Lage der Hauptachsen für das gegebene rechtwinklige Dreieck:

Hauptachsen, Dreieck, Flächenträgheitsmomente, Lage der Hauptachsen, Winkel, Hauptrichtung, rechtwinkliges Dreieck — Lage der Hauptachsen beim rechtwinkligen Dreieck

In der obigen Grafik siehst du die Lage der Hauptachsen y_H und z_H. Das Ausgangskoordinatensystem haben wir in einer Linksdrehung mit dem Winkel 25,11° gedreht.

Hauptträgheitsmomente

Es gibt genau eine bestimmte Stellung, bei welcher die axialen Flächenträgheitsmomente maximal bzw. minimal werden sowie das Deviationsmoment I_yz verschwindet. Und zwar genau dann, wenn die Hauptachsen gegeben sind.

Wir berechnen nun also die Extremwerte der Flächenträgheitsmomente für das gerade ermittelte y_H,z_H-Koordinatensystem.

Zur Berechnung der Hauptträgheitsmomente ziehen wir die folgende Gleichung heran:

$I_{1,2} = \dfrac{I_y + I_z}{2} \pm \sqrt{(\dfrac{I_y - I_z}{2})^2 + I_{yz}^2}$

Auch hier setzen wir wieder die Flächenträgheitsmomente I_y und I_z sowie das Deviationsmoment I_yz (aus Tabellenwerken entnommen, siehe oben) heran:

$I_y = \dfrac{(1m)^3 \cdot 1,5m}{36} = 0,0417m^4$

$I_z = \dfrac{(1,5m)^3 \cdot 1m}{36} = 0,0938m^4$

$I_{yz} = -\dfrac{(1,5m)^2 \cdot (1m)^2}{72} = -0,0313m^4$

Merk’s dir!

Das Flächenträgheitsmoment I_z ist größer, als das Flächenträgheitsmoment I_y. Demnach berechnen wir im Folgenden das Maximum der starken Achse (Drehung I_z = I₁) und das Minimum der “schwächeren” Achse (Drehung I_y = I₂).

Einsetzen der Werte in die Gleichung zur Berechnung der Hauptträgheitsmomente:

$I_{1,2} = \dfrac{0,0417m^4 + 0,0938m^4}{2} \pm \sqrt{(\dfrac{0,0417m^4 - 0,0938m^4)^2}{2} + (-0,0313m^4)^2}$

$I_{1,2} = 0,0678m^4 \pm 0,0407m^4$

$I_{1} = 0,0678m^4 + 0,0407m^4 = 0,1085m^4$ Drehung I_z um 25,11°

$I_{2} = 0,0678m^4 - 0,0407m^4 = 0,0271m^4$ Drehung I_y um 25,11°

Der maximale Wert von I₁ = 0,1286m⁴ gehört zur Hauptachse y_H, der minimale Wert von I₂ = 0,007m⁴ gehört zur Hauptachse z_H.

Was kommt als Nächstes?

In der folgenden Lerneinheit schauen wir uns den Satz von Steiner zur Berechnung der Flächenträgheitsmomente für parallele Achse sowie für zusammengesetzte Flächen.

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