TM2 – Hauptachsen und Hauptträgheitsmomente

Inhaltsverzeichnis:

 Achsen, die durch den Schwerpunkt einer Fläche bzw. eines Querschnitts verlaufen und für die das Deviationsmoment verschwindet, werden als Hauptachsen bezeichnet. Die zu den Hauptachsen dazugehörigen Flächenträgheitsmomente heißen Hauptträgheitsmomente. Die Hauptträgheitsmomente sind nichts anderes als die Extremwerte der Flächenträgheitsmomente, also diejenigen Werte, bei welchen die Flächenträgheitsmomente für den betrachteten Querschnitt maximal bzw. minimal werden.

Darum geht es

Hauptachsen

Wir wissen bereits aus den vorangegangenen Lerneinheiten, dass das Deviationsmoment verschwindet, wenn mindestens eine der gegebenen Achsen eine Symmetrieachse darstellt. Was ist aber, wenn keine der Achsen eine Symmetrieachse darstellt, wie in der folgenden Grafik zu sehen ist:

Hauptachsen, Dreieck. Flächenträgheitsmomente

In der obigen Grafik siehst du, dass keine der beiden Achsen eine Symmetrieachse darstellt. Damit wird das Deviationsmoment Iyz ungleich Null. 

Es gibt aber für den obigen Querschnitt zwei senkrecht aufeinander stehende Achsen, für welche das Deviationsmoment verschwindet. Diese beiden Achsen werden Hauptachsen genannt.

Zur Berechnung der Lage der Hauptachsen (=Hauptrichtung) kannst du die folgende Gleichung heranziehen:

Hauptrichtung:   \tan(2 \alpha_H) = \dfrac{2 I_{yz}}{(I_y - I_z)}

Die Hauptrichtung ist derjenigen Winkel, unter welchem die Hauptachsen auftreten. 

Merk's dir!
Merk's dir!

Hast du bereits einen Querschnitt gegeben, bei welchem mindestens eine der gegebenen Achse eine Symmetrieachse darstellt, so handelt es sich bereits um die Hauptachsen.

Darum geht es

Hauptträgheitsmomente

Die zu den Hauptachsen dazugehörigen Flächenträgheitsmomente heißen Hauptträgheitsmomente.

Die Hauptträgheitsmomente sind nichts anderes als die Extremwerte der Flächenträgheitsmomente, also derjenige Wert, bei welchem die Flächenträgheitsmomente für den betrachteten Querschnitt maximal bzw. minimal werden.

Zur Berechnung der Hauptträgheitsmomente kannst du die folgende Gleichung heranziehen (analog zu den Hauptspannungen):

Hauptträgheitsmomente:   I_{1,2} = \dfrac{I_y + I_z}{2} \pm \sqrt{(\dfrac{I_y - I_z}{2})^2 + I_{yz}^2}

Darum geht es

Aufgabe: Hauptachsen & Hauptträgheitsmomente

Aufgabenstellung

Hauptachsen, Dreieck. Flächenträgheitsmomente

Gegeben sei der obige dreieckige Querschnitt mit dem y,z-Koordinatensystem, welches sich im Schwerpunkt der dreieckigen Fläche befindet. 

Bestimme die Hauptachsen sowie die Hauptträgheitsmomente!

 

Hauptachsen

Weder die y-Achse noch die z-Achse stellen Hauptachsen der Fläche dar. Demnach sind diese Achsen keine Hauptachsen des Querschnitts. Zur Berechnung der Lage der Hauptachsen, können wir die folgende Gleichung heranziehen:

Hauptrichtung:   \tan(2 \alpha_H) = \dfrac{2 I_{yz}}{(I_y - I_z)}

Zunächst benötigen wir hierzu die axialen Flächenträgheitsmomente Iy und Iz sowie das Deviationsmoment Iyz für das gegebene y,z-Koordinatensystem. Diese können wir Tabellenwerken entnehmen.

Es gilt demnach:

I_y = \dfrac{h^3 \cdot b}{36}

I_z = \dfrac{b^3 \cdot h}{36}

I_{yz} = -\dfrac{b^2 \cdot h^2}{72}

 

Im nächsten Schritt setzen wir die in der Aufgabenstellung gegebenen Abmessungen in die obigen Gleichungen ein. Es gilt h = 1m und b = 1,5m:

I_y = \dfrac{(1m)^3 \cdot 1,5m}{36} = 0,0417m^4

I_z = \dfrac{(1,5m)^3 \cdot 1m}{36} = 0,0938m^4

I_{yz} = -\dfrac{(1,5m)^2 \cdot (1m)^2}{72} = -0,0313m^4

 

Wir können nun die gegebenen Werte in die Gleichung einsetzen:

\tan(2 \alpha_H) = \dfrac{2 \cdot (-0,0313m^4)}{0,0417m^4 - 0,0938m^4}

\tan(2 \alpha_H) = \dfrac{-0,0626m^4}{-0,0521m^4}

\tan(2 \alpha_H) = 1,2015 m^4

 

Nach dem Winkel \alpha_H auflösen:

\tan(2 \alpha_H) = 1,2015 m^4       "|" \cdot \tan^{-1}

2 \alpha_H = \tan^{-1} (1,2015 m^4)     "|" :2

\alpha_H = \dfrac{1}{2} \cdot \tan^{-1} (1,2015 m^4)

 

Mit dem Taschenrechner das Ergebnis berechnen:

\alpha_H = \dfrac{1}{2} \cdot \tan^{-1} (1,2015 m^4) = 25,11^\circ

Die Hauptachsen treten unter einem Winkel von 25,11° auf. Zur Bestimmung der Hauptachsen wird das y,z-Koordinatensystem um 25,11° in einer Linksdrehung gedreht. Eine Linksdrehung ist gegeben, weil der berechnete Winkel positiv ist. Bei einem negativen Winkel wird das y,z-Koordinatensystem in einer Rechtsdrehung gedreht.

In der folgenden Grafik siehst du die Lage der Hauptachsen für das gegebene rechtwinklige Dreieck:

Hauptachsen, Dreieck, Flächenträgheitsmomente

In der obigen Grafik siehst du die Lage der Hauptachsen yH und zH. Das Ausgangskoordinatensystem haben wir in einer Linksdrehung mit dem Winkel 25,11° gedreht.

Hauptträgheitsmomente

Es gibt genau eine bestimmte Stellung, bei welcher die axialen Flächenträgheitsmomente maximal bzw. minimal werden sowie das Deviationsmoment Iyz verschwindet. Und zwar genau dann, wenn die Hauptachsen gegeben sind.

Wir berechnen nun also die Extremwerte der Flächenträgheitsmomente für das gerade ermittelte yH,zH-Koordinatensystem.

Zur Berechnung der Hauptträgheitsmomenten ziehen wir die folgende Gleichung heran:

Hauptträgheitsmomente:   I_{1,2} = \dfrac{I_y + I_z}{2} \pm \sqrt{(\dfrac{I_y - I_z}{2})^2 + I_{yz}^2}

 

Auch hier setzen wir wieder die Flächenträgheitsmomente Iy und Iz sowie das Deviationsmoment Iyz (aus Tabellenwerken entnommen, siehe oben) heran:

I_y = \dfrac{(1m)^3 \cdot 1,5m}{36} = 0,0417m^4

I_z = \dfrac{(1,5m)^3 \cdot 1m}{36} = 0,0938m^4

I_{yz} = -\dfrac{(1,5m)^2 \cdot (1m)^2}{72} = -0,0313m^4

 

Merk's dir!

Das Flächenträgheitsmoment Iz ist größer, als das Flächenträgheitsmoment Iy. Demnach berechnen wir im Folgenden das Maximum der starken Achse (Drehung Iz = I1) und das Minimum der “schwächeren” Achse (Drehung Iy = I2).

Einsetzen der Werte in die Gleichung zur Berechnung der Hauptträgheitsmomente:

I_{1,2} = \dfrac{0,0417m^4 + 0,0938m^4}{2} \pm \sqrt{(\dfrac{0,0417m^4 - 0,0938m^4)^2}{2} + (-0,0313m^4)^2}

I_{1,2} = 0,0678m^4 \pm 0,0407m^4

I_{1} = 0,0678m^4 + 0,0407m^4 = 0,1085m^4        Drehung Iz um 25,11°

I_{2} = 0,0678m^4 - 0,0407m^4 = 0,0271m^4        Drehung Iy um 25,11°

 

Der maximale Wert von I1 = 0,1286m^4 gehört zur Hauptachse yH, der minimale Wert von I2 = 0,007m^4 gehört zur Hauptachse zH.

wie gehts weiter?

In der folgenden Lerneinheit schauen wir uns den Satz von Steiner zur Berechnung der Flächenträgheitsmomente für parallele Achse sowie für zusammengesetzte Flächen.

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