(TM2) Transformation des ebenen Spannungszustands

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Jetzt behandeln wir das Thema Ebener Spannungszustand und dazu dessen Transformation. 

 

Merk's dir!

“Ein ebener Spannungszustand ist dann gegeben, wenn innerhalb eines dreidimensionalen Bauteils die Spannungen nur in in zwei Raumrichtungen auftreten.”

 


Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei ausführliche Videoclips zum Thema.


 


Ebener Spannungszustand


Ein ebener Spannungszustand liegt zum Beispiel näherungsweise in Scheiben vor. 

Scheibe, ebener Spannungszustand

Eine Scheibe ist dadurch gekennzeichnet, dass ihre Dicke klein gegenüber den übrigen Abmessungen ist und dass sie nur in der x,y-Ebene belastet wird. Das bedeutet, dass die Spannungen, Verzerrungen und Verschiebungen nur von den x und y Koordinaten abhängen.

Dadurch, dass die Scheibe nur in der x,y-Ebene belastet wird, sind die Spannungen in der z-Richtung gleich Null:

 \boxed{\sigma_z = 0}

 \boxed{\tau_{xz} = \tau_{zx} = 0}

 \boxed{\tau_{yz} = \tau_{zy} = 0}

 

Der Spannungstensor S reduziert sich im ebenen Spannungszustand auf 3 Spannungskomponenten:

 \boxed{S = \begin{pmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} \\ \tau_{yx}  & \sigma_y  \end{pmatrix}}

mit

 \boxed{\tau_{xy} = \tau_{yx}}

 

Die Spannungen σx, σy und τxy sind diejenigen Spannungen, die in den Schnitten parallel zu den Koordinatenachsen auftreten. Schneiden wir also ein Stück so aus der Scheibe heraus, dass die Schnitte parallel zu den Koordinatenachsen sind, so erhalten wir die Spannungen wie folgt:

Spannungen, ebener Spannungszustand
Spannungen, ebener Spannungszustand

 

Wir gehen im Folgenden davon aus, dass die obigen Spannungen für Schnitte parallel zu den Koordinatenachsen bekannt sind. Wir können aus diesen gegebenen Spannungen dann auch diejenigen Spannungen berechnen, die nicht in Richtung der Koordinatenachsen zeigen, die also nicht in Schnitten auftreten, die parallel zu den Koordinatenachsen sind.

 

++ Videoclip – Spannungstransformation ++

Im folgenden Videoclip zeigen wir dir, was genau die Spannungstransformation des ebenen Spannungszustand bedeutet und welche Formeln du hierfür benötigst.


 


Spannungstransformation 


Wir wollen uns jetzt anschauen, wie wir die Spannungen berechnen die bei einem Schnitt durch das Bauteil auftreten, welcher nicht parallel zu den Koordinatenachsen ist. 

Spannungstransformation, ebener Spannungszustand, Koordinatentransformation
Spannungstransformation, ebener Spannungszustand, Koordinatentransformation

 

In der obigen Grafik betrachten wir zum einen ein herausgeschnittenes ebenes Element, für welches die Schnitte parallel zu den x,y-Achsen liegen und zum anderen ein herausgeschnittenes Element, für welches die Schnitte nicht parallel zu den x,y-Achsen liegen.

Für das untere herausgeschnittene Element können wir neue Koordinatenachsen einführen und legen diese parallel zu den Schnittflächen. Die Beschriftung der Koordinatenachsen haben wir hier beliebig mit ξ (griechischer Buchstabe Xi) und η (griechischer Buchstabe Eta) gewählt. 

Für das untere Element treten Normal- und Schubspannungen auf. Die Normalspannungen σξ und ση stehen senkrecht auf den Schnittflächen, die Schubspannungen τξη und τηξ liegen parallel zu den Schnittflächen.

Der Winkel α gibt die Drehung des Elements ausgehend von der x-Achse an. 

Wir gehen davon aus, dass die Spannungen σx, σy sowie τxy für die Schnitte parallel zu den Koordinatenachsen bekannt sind. 

 


Formeln für die Spannungstransformation


Mit den gegebenen Spannungen σx, σy und τxy  sowie dem Winkel α können wir die unbekannten Spannungen σξ, σηundτξη berechnen. Dazu können wir die folgenden Formeln heranziehen:

 \boxed{\sigma_{\xi} = \dfrac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \dfrac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cdot \cos(2 \alpha) + \tau_{xy} \cdot \sin(2 \alpha)}

 \boxed{\sigma_{\eta} = \dfrac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - \dfrac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cdot \cos(2 \alpha) - \tau_{xy} \cdot \sin(2 \alpha)}

 \boxed{\tau_{\eta \xi} = \tau_{\xi \eta} =  - \dfrac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cdot \sin(2 \alpha) + \tau_{xy} \cdot \cos(2 \alpha)}

 


Invarianten: Ebener Spannungszustand


Eine Invariante bezieht sich auf eine Eigenschaft oder Größe, die unter bestimmten Transformationen oder Operationen unverändert bleibt. Invariante Spannungen sind spezifische Spannungen in einem Material, die unter bestimmten Transformationen oder Belastungen unverändert bleiben.

Aus den obigen Transformationsbeziehungen kann man einfach beweisen, dass die Summe der Normalspannungen (1. Invariante) und die Determinante der Spannungsmatrix (2. Invariante) unabhängig von der Drehung des Koordinatensystems sind.

1.Invariante

Die 1. Invariante erhalten wir, indem wir die ersten beiden Transformationsgleichungen miteinander addieren (\sigma_{\xi} +  \sigma_{\eta}).

 \boxed{I_1 = \sigma_x + \sigma_y = \sigma_{\xi} + \sigma_{\eta} }

Die Summe der Normalspannungen ist unabhängig von der Koordinatentransformation. Es handelt sich damit um eine Invariante.

2.Invariante

Die 2. Invariante erhalten wir, indem wir die Determinante der Spannungsmatrix für den ebenen Spannungszustand betrachten. Die Spannungsmatrix für den ebenen Spannungszustand ergibt sich wie folgt:

S = \begin{pmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} \\ \tau_{xy}  & \sigma_y  \end{pmatrix}

Die Determinante dieser Spannungsmatrix ergibt die 2. Invariante:

 \boxed{I_2 = \sigma_x \cdot \sigma_y - \tau_{xy}^2 = \sigma_{\xi} \cdot  \sigma_{\eta} - \tau_{\xi \eta}^2}

Die Determinante der Spannungsmatrix ist demnach invariant, d.h. unabhängig von der Drehung des Koordinatensystems. 

 


Formeln richtig anwenden: Vorzeichen beachten


Für die obigen Formeln gilt die folgende Ausgangsituation für positive Spannungen:

Koordinatentransformation, ebener Spannungszustand, Spannungstransformation
Koordinatentransformation, ebener Spannungszustand, Spannungstransformation

 

Sind positive Spannungen gegeben, so wirken diese in die oben gezeigten Richtungen. Bei negativen Spannungen wirken diese genau entgegengesetzt (um 180° gedreht). Die obigen Formeln gelten für positive Spannungen, sind also negative Spannungen gegeben, so müssen diese innerhalb der Formel mit einem Minuszeichen berücksichtigt werden.

Der Winkel α wird dann positiv berücksichtigt, wenn die Drehung des Ausgangskoordinatensystems in einer Linksdrehung (gegen den Uhrzeigersinn) erfolgt und negativ, wenn ein Rechtsdrehung (mit dem Uhrzeigesinn) des Ausgangskoordinatensystems stattfindet.

 


Schnittwinkel vs. Drehwinkel


Wenn wir aus einem ebenen Bauteil (z.B. einer Scheibe) ein Stück herausschneiden und die Spannungen abtragen, dann können wir entweder wie oben den Drehwinkel α im Bezug zum Ausgangskoordinatensystem angeben oder aber den Schnittwinkel β unter welchem der Schnitt durchgeführt wird:

Spannungstransformation, ebener Spannungszustand, Schnittwinkel
Spannungstransformation, ebener Spannungszustand, Schnittwinkel

 

In der obigen Grafik unterscheiden wir zwischen einem Schnittwinkel zur x-Achse und einem Schnittwinkel zur y-Achse. Je nachdem zu welcher Achse der Schnitt erfolgt, ergeben sich unterschiedliche Drehungen des Ausgangskoordinatensystems und damit unterschiedliche Drehwinkel. 

Ist in der Aufgabe der Schnittwinkel β gegeben, so kannst du den Drehwinkel α, welchen du für die obigen Formeln benötigst, wie folgt berechnen:

Schnittwinkel zur x-Achse: 

 \boxed{\alpha = 90^\circ - (180^\circ - \beta)}

Schnittwinkel zur y-Achse: 

 \boxed{\alpha = \beta}

 

++ Videoclip: Spannungstransformation – Beispiel ++

Im folgenden Videoclip zeigen wir dir ein Beispiel für die Berechnungen von Spannungen in einem gedrehten Koordinatensystem.


 

wie gehts weiter?
Nachdem du jetzt weisst, was ein ebener Spannungszustand ist und wie mit diesem Berechnungen durchgeführt werden, schauen wir uns in der folgenden Lerneinheit eine Prüfungsaufgabe an, in welcher du die Anwendung der obigen Formeln erlernst. Danach wird das Thema Ebener Spannungszustand dir keine Probleme mehr bereiten. 

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