TM2 – Dehnungen im Stab

In diesem Kursabschnitt befassen wir uns mit Dehnungen im Stab. Dehnungen im Stab können auf unterschiedliche Weise wirken.

Konstante Dehnung

Wir wollen zunächst die konstante Dehnung betrachten, d.h. die Dehnung ist im gesamten Stab gleich.

Dazu betrachten wir einen elastischen Stab der Länge l mit konstantem Querschnitt A:

Bringen wir nun eine Zugkraft an den Stab an, so verlängert sich dieser um $\triangle l$ :

Als Dehnung wird dabei das Verhältnis zwischen der Längenänderung $\triangle l$ und der Ausgangslänge $l$ beschrieben:

$\boxed{\epsilon = \dfrac{\triangle l}{l}}$ Dehnung im Stab

Merk's dir!

Die Dehnung ist eine dimensionslose Größe. Verlängert sich der Stab, so wird die Längenänderung $\triangle l$ positiv berücksichtigt, bei einer Verkürzung wird die Längenänderung negativ berücksichtigt.

undefiniert

Beispiel: Dehnungen im Stab

Gegeben sei ein Stab mit eine Länge von l = 2 m. Der Stab verkürzt sich aufgrund von Druckkräften um 0,02m. Wie groß ist die Dehnung im Stab?

$\epsilon = \dfrac{-0,02m}{2m} = -0,01$ .

Die Dehnung im Stab beträgt infolge der Druckkräfte -1%. Damit zieht sich der Stab um 1% zusammen.

Die obige Gleichung gilt nur, wenn die Dehnung im Stab über die gesamte Stabachse konstant bleibt. Ist die Dehnung nicht im gesamten Stab konstant, so spricht man von einer örtlichen Dehnung.

Örtliche Dehnung

Ist eine örtliche Dehnung gegeben, so ist die Dehnung nicht mehr im gesamten Stab konstant. Wir müssen dann ein Stabelement betrachten, um die Gleichung für die örtliche Dehnung herzuleiten.

In der obigen Grafik ist ein Stab der Länge l gegeben. Wir betrachten zunächst ein infinitesimal kleines Element des Stabes im unbelasteten Zustand mit der Länge dx. Die linke Querschnittsfläche ist also mit Position $x$ gegeben, die rechte Querschnittsfläche mit der Position $x + dx$ .

örtliche dehnung, dehnung im Stab — Dehnungen im Stab: Örtliche Dehnung

Wir betrachten im nächsten Schritt eine Verlängerung des Stabes z.B. durch eine Zugkraft. Damit verschieben sich die Querschnittsflächen am linken und rechten Rand des Stabelements. Die Verschiebung des linken Querschnitts bezeichnen wir mit $u$ , die Verschiebung am rechten Querschnitt mit $u + du$ .

Wir können aus diesen Angaben nun die Länge des Stabelements berechnen:

$\boxed{dx - u + (u + du) = dx - u + u + du = dx + du}$

Die neue Länge des Stabelements beträgt also $dx + du$ . Hierbei ist $dx$ die Ausgangslänge und damit $du$ die Längenänderung.

Die Dehnung ist allgemein der Quotient aus Längenänderung $du$ und Ausgangslänge $dx$ :

$\boxed{\epsilon(x) = \dfrac{du}{dx}}$ Örtliche Dehnung

Ist die Verschiebung $u(x)$ gegeben, so können wir durch Differenzieren (Ableiten) der Funktion nach x die örtliche Dehnung $\epsilon (x)$ berechnen:

$\boxed{\epsilon (x) = \dfrac{du}{dx}} = u'(x)}$

Ist die örtliche Dehnung $\epsilon(x)$ gegeben, so kannst du die Verschiebung u(x) aus der obigen Gleichung bestimmmen. Dazu löst du diese zunächst nach $du$ auf:

$\boxed{du = \epsilon(x) dx }$

Danach kannst du durch die Integration die Verschiebung u(x) bestimmen:

$\boxed{\int_0^l du = \int_0^l \epsilon(x) \; dx}$

$\boxed{ u(l) - u(0) = \int_0^l \epsilon(x) \; dx}$

Hierbei ist u(l) – u(0) nichts anderes als die Längenänderung des Stabes:

$\boxed{\triangle l = \int_0^l \epsilon(x) \; dx}$ Längenänderung bei örtlicher Dehnung

Beispiele: Dehnungen im Stab

Beispiel 1: Dehnungen im Stab – Längenänderung berechnen

Aufgabenstellung

Gegeben sei ein Stab mit der Länge l = 1,2m, welcher infolge einer Zugkraft verlängert wird. Die dadurch resultierende Dehnung sei linear und gegeben mit:

$\boxed{\epsilon(x) = 0,005 \cdot \dfrac{x}{l}}$

Bestimme die Längenänderung!

Lösung

Zur Berechnung der Längenänderung wenden wir die folgende Gleichung an:

$\boxed{\triangle l = \int_0^l \epsilon(x) \; dx}$

Wir setzen als nächstes die örtliche Dehnung ein:

$\boxed{\triangle l = \int_0^l 0,005 \cdot \dfrac{x}{l} \; dx}$

Als nächstes führen wir die Integration durch:

$\boxed{\triangle l = \int_0^l 0,005 \cdot \dfrac{x}{l} \; dx}$

Konstanten vor das Integral ziehen:

$\boxed{\triangle l = \dfrac{0,005}{l} \int_0^l x \; dx}$

Integration durchführen:

$\boxed{\triangle l = \dfrac{0,005}{l} [\dfrac{1}{2} x^2 ]_0^l }$

$\boxed{\triangle l = \dfrac{0,005}{l} [\dfrac{1}{2} l^2 - \dfrac{1}{2} 0^2 ] }$

$\boxed{\triangle l = \dfrac{0,005}{l} \dfrac{1}{2} l^2 }$

$\boxed{\triangle l = 0,0025 l }$

Die Ausgangslänge beträgt l = 1,2m:

$\boxed{\triangle l = 0,0025 \cdot 1,2m = 0,003m}$

Die Längenänderung ist gegeben mit 0,003m. Damit Verlängert sich der Stab um 0,003m auf 1,203m.

Beispiel 2: Dehnungen im Stab – Örtliche Dehnung berechnen

Aufgabenstellung

Gegeben sei ein Stab der Länge l. Die Verschiebung, also die Längenänderung sei gegeben mit der folgenden Funktion:

$\boxed{u(x) = u_0 \cdot (\dfrac{x}{l})^3}$

Gegeben seien außerdem die folgenden Zahlenwerte:

$\boxed{u_0 = 0,003m , l = 1,5m}$

Bestimme die Längenänderung $\triangle l$ !
Wie groß ist die Dehnung an den Stelllen x/l = 0,4 und x/l = 0,8?

Lösung

Längenänderung bestimmen

Zunächst bestimmen wir die Längenänderung wie folgt:

$\boxed{\triangle l = u(l) - u(0)}$

Wir setzen also zunächst x = l = 1,5m und dann x = 0 und ziehen die beiden Ergebnisse voneinander ab:

$\boxed{u(1,5m) = 0,003m \cdot (\dfrac{1,5m}{1,5m})^3 = 0,003m}$

$\boxed{u(0) = 0,003m \cdot (\dfrac{0}{1,5m})^3 = 0}$

Es ergibt sich damit eine Längenänderung von:

$\boxed{\triangle l = 0,003m - 0 = 0,003m}$

Dehnung bestimmen

Im nächsten Schritt bestimmen die Dehnung $\epsilon(x)$ . Dazu müssen wir zunächst die Dehnung mittels der folgenden Gleichung bestimmen:

$\boxed{\epsilon (x) = u'(x)}$

Wir leiten also die Verschiebungsfunktion u(x) ab und erhalten damit den Dehnungsverlauf:

$\boxed{\epsilon(x) = u'(x) = 3 \cdot u_0 \cdot (\dfrac{x}{l})^2 }$

Nachdem wir den Dehnungsverlauf allgemein bestimmt haben, wollen wir als nächstes die Dehnung an den Stellen x/l = 0,5 und x/l = 1 bestimmen:

$\boxed{\epsilon(x) = 0,009m \cdot (0,5)^2 = 0,00225 }$

$\boxed{\epsilon(x) = 0,009m \cdot (0,5)^2 = 0,009}$

Die Dehnung an der Stelle x/l = 0,5 (genau mittig) beträgt 0,225% und an der Stelle x/l = 1 (am rechten Rand) beträgt 0,9%.

wie gehts weiter?

Nachdem du jetzt alles zu Dehnungen im Stab weißt, behandeln wir in der folgenden Lektion den Zugversuch, das Spannungs-Dehnungs-Diagramm sowie die Hookesche Gerade.

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