Schnittgrößen am Balken sind die inneren Kräfte und Momente, die an einem bestimmten Querschnitt des Balkens auftreten. Diese Schnittgrößen resultierenden im Inneren des Balkens infolge der am Balken auftretenden äußeren Kräfte. Schnittgrößen sind entscheidend für das Verständnis des Verhaltens des Balkens unter Belastung, insbesondere für die Berechnung von Spannungen und Verformungen.
In dieser Lerneinheit betrachten wir einen Balken, welcher auf einem Festlager und einem Loslager gelagert ist. Wir wollen dir zeigen, wie du die Schnittgrößenverläufe einzeichnen kannst, wenn unterschiedliche Belastungen auf den Balken wirken. Wir betrachten hier eine vertikale und horizontale Einzelkraft, ein Drehmoment sowie eine konstante und dreieckige Streckenlast.
Mehr zu diesem Thema und der Statik findest du in unserem Onlinekurs: TM1-Statik
Balken auf einem Festlager und einem Loslager
In dieser Lerneinheit betrachten wir einen Balken, welcher auf einem Festlager und einem Loslager gelagert ist. Wir wollen uns anschauen, wie die Schnittgrößenverläufe skizziert werden, wenn verschiedene äußere Kräfte und Momente auf den Balken einwirken.
Wir gehen im folgenden von einen Balken aus, der auf einem Festlager A und einem Loslager B gelagert ist:
Im Weiteren schauen wir uns unterschiedliche äußere Belastungen an und die daraus resultierenden Schnittgrößenverläufe. Wir wollen dir zeigen, wie du die Schnittgrößenverläufe bei einer Einzelkraft, einem Drehmoment und einer konstanten sowie dreieckigen Streckenlast grob skizzieren kannst.
Wichtiger Hinweis
Wir betrachten hier ein x,z-Koordinatensystem. Beim Einzeichnen von Normalkraft und Querkraft musst du folgendes beachten:
Betrachten wir vereinfacht einen Balken und führen einen Schnitt durch diesen durch (ganz zu Anfang). Wir tragen die Kräfte am linken (=positiven) Schnittufer ab und erhalten eine Normalkraft in Richtung der positiven x-Achse und eine Querkraft in Richtung der positiven z-Achse.
Stellen wir nun die Gleichgewichtsbedingungen auf und lösen nach den Schnittgrößen auf, so sehen wir, dass eine nach rechts gerichtete Auflagerkraft Ah zu einer negativen Normalkraft führt. Damit wirkt die Normalkraft tatsächlich genau entgegengesetzt, also nach links in Richtung der negativen x-Achse. Deswegen wird beim Einzeichnen in das Koordinatensystem die äußeren horizontalen Kräften genau entgegengesetzt in das x,z-Koordinatensystem eingezeichnet, weil die Normalkraft den äußeren Kräften genau entgegen wirkt.
Das gleiche gilt auch für die Einzeichnung der Querkraft. In dem obigen Beispiel führt eine nach oben gerichtete (und damit gemäß z-Achse negative) Auflagerkraft Av zu einer positiven Querkraft. Das liegt daran, dass die Querkraft genau entgegen der äußeren Kraft wirkt. Demnach muss die Auflagerkraft Av bei Skizzierung des Querkraftverlaufs genau entgegengesetzt zu ihrer Wirkrichtung eingezeichnet werden, weil hier eine nach unten gerichtete und damit positive Querkraft resultiert.
Zeichnest du die Schnittgrößenverläufe in ein x,y-Koordinatensystem ein, so gilt für die Normalkraft die oben beschriebene Vorgehensweise, da die x-Achse sich nicht ändert. Für die Querkraft hingegen gilt dann der Fall, dass die äußeren Kräfte mit ihren vorgegebenen Richtungen eingezeichnet werden. Das liegt daran, dass die y-Achse genau entgegengesetzt zur z-Achse gerichtet ist. Somit entspricht z.B. der Querkraftverlauf am Anfang im Lager A der Auflagerkraft Ah (nach oben gerichtet einzeichnen).
Schnittgrößen zeichnen: Vertikale & horizontale Einzelkraft
Betrachten wir eine auf den Balken wirkende vertikale und horizontale Einzelkraft:
Wir haben in der obigen Grafik die Schnittgrößenverläufe skizziert, wenn eine vertikale bzw. horizontale Einzelkraft an den Balken angreift.
Vertikale Einzelkraft
Normalkraftverlauf: Dieser ist Null, da keine äußeren horizontalen Kräfte angreifen. Damit ist auch die horizontale Auflagerkraft Bh gleich Null.
Querkraftverlauf: Wirkt eine vertikale Einzelkraft auf einen Balken, resultiert dies in einem Sprung im Querkraftverlauf – und zwar in Höhe der auf den Balken wirkenden Kraft. Einzeichnen kannst du die Querkraftlinie, indem du jede vertikale Einzelkraft betrachtest (auch die Auflagerkräfte A und Bv).
Die 1. vertikale Kraft ist A. Diese zeigt nach oben (entgegen der positiven z-Achse). Du zeichnest die Kräfte genau entgegengesetzt (ihrer Größe entsprechend) ein, denn bei einer nach oben gerichteten Auflagerkraft, ist die entgegenwirkende Querkraft nach unten gerichtet und damit positiv im Sinne der z-Achse. Bis zur nächsten vertikalen Kraft ist die Querkraft konstant.
Als nächstes folgt die nach unten gerichtete Kraft F. Diese zeichnest du vom bisherigen Querkraftverlauf ausgehend nach oben gerichtet (mit ihrer entsprechenden Größe) ein. Der Querkraftverlauf bleibt wieder solange konstant, solange keine weitere Kraft angreift. Es wirkt als letztes die Auflagerkraft B. Diese zeichnest du genau entgegengesetzt (ihrer Größe entsprechend) nach unten gerichtet ein.
Momentenverlauf: Eine vertikale Einzellast führt zu einer Veränderung im Momentenverlauf durch einen Knick. Dort wo die Querkraft konstant ist, verläuft das Biegemoment linear. Ist der Querkraftverlauf im positiven Bereich, so ist die Steigung des Biegemoments positiv und umgekehrt. Das maximale Biegemoment tritt an dem Punkt auf, an dem die Einzellast angreift. Wirken mehrere Lasten auf den Balken, so lässt sich nicht mehr pauschal bestimmen, wo das maximale Moment auftritt. In solchen Fällen gibt eine Berechnung der Schnittgrößen Auskunft darüber.
Horizontale Einzelkraft
Normalkraftverlauf: Wir haben hier einen Normalkraftverlauf gegeben, da von außen eine horizontale Kraft angreift. Dieser liegt im 2. Bereich (nach Angriff der horizontalen Kraft). Wir starten also unseren Normalkraftverlauf an der Stelle, an der die erste horizontale Kraft angreift.
Die nach rechts gerichtete horizontale Kraft F führt zu einer genau entgegengesetzten Normalkraft N. Du zeichnest sie also in negative Achsenrichtung ein, da sie in positive x-Richtung wirkt. Die Kraft zeichnest du also in Richtung der negativen z-Achse sein. Die z-Achse entspricht der Kraftgröße. Diese Kraft ist solange konstant, bis eine weitere horizontale Kraft angreift.
Im Lager B wirkt die horizontale Auflagerkraft Bh. Diese zeichnest du genau entgegensetzt ein. Sie wirkt in negative x-Richtung und muss demnach positiv im Koordinatensystem berücksichtigt werden.
Querkraftverlauf: Da keine äußeren vertikalen Kräfte gegeben sind, sind auch die vertikalen Auflagerkräfte gleich Null. Damit existiert kein Querkraftverlauf.
Momentenverlauf: Da der Querkraftverlauf gleich Null ist, ist auch der Momentenverlauf gleich Null.
Schnittgrößen zeichnen: Links- und rechtsdrehendes Drehmoment
Als nächstes wollen wir ein linksdrehendes und ein rechtsdrehendes Moment betrachten:
Normalkraftverlauf: Das Drehmoment hat keinen Einfluss auf den Normalkraftverlauf.
Querkraftverlauf: Ein einzeln wirkendes Drehmoment führt zu einer konstanten Querkraft, wie in der obigen Grafik dargestellt. Ist das Drehmoment ein rechtsdrehendes (linke Grafik), so ist der Querkraftverlauf positiv. Das liegt daran, dass bei einem rechtsdrehenden Moment die Auflagerkraft A positiv wird und die Auflagerkraft Bv negativ. Da wir die Größen genau entgegen ihrer Richtung einzeichnen (bei einem x,z-Koordinatensystem), zeichnen wir die Auflagerkraft A nach unten ein (in positive z-Richtung). Die Auflagerkraft Bv resultiert negativ. Tatsächlich wirkt sie also nicht – wie angenommen – nach oben, sondern nach unten. Wir zeichnen sie also nach oben gerichtet in das Koordinatensystem ein.
Ist das Drehmoment hingegen ein linksdrehendes Moment (rechte Grafik), so wird die Auflagerkraft A negativ (zeigt also tatsächlich nach unten) und muss demnach nach oben gerichtet in das x,z-Koordinatensystem eingezeichnet werden. Die Auflagerkraft Bv wird positiv und zeigt demnach auch tatsächlich nach oben. Sie wird damit nach unten wirkend in das Koordinatensystem eingezeichnet. Der konstante Querkraftverlauf ist somit negativ.
Momentenverlauf: Der Momentenverlauf ist linear und zeigt einen Sprung genau an der Stelle, an der das Drehmoment auf den Balken einwirkt. Eine wichtige Feststellung dabei ist, dass trotz des Sprungs im Momentenverlauf die beiden linearen Abschnitte (links und rechts vom angreifenden Moment) parallel zueinander verlaufen. Es ist zu beachten, dass ein Drehmoment die einzige Ursache für einen Sprung im Momentenverlauf darstellt.
In der linken Grafik ist der Querkraftverlauf positiv. Damit ist auch der Momentenverlauf steigend. Dann greift das äußere Moment an. Die Steigung des Momentenverlaufs bleibt identisch, allerdings gibt es einen Sprung in Höhe des angreifenden Moments. In der rechten Grafik ist der Querkraftverlauf negativ. Damit ist der Momentenverlauf fallend. Dann greift das äußere Moment an. Die Steigung des Momentenverlaufs bleibt identisch, allerdings gibt es einen Sprung in Höhe des angreifenden Moments.
Schnittgrößen zeichnen: Konstante und dreieckige Streckenlast
In der nächsten Grafik siehst du die konstante und dreieckige Streckenlast:
Normalkraftverlauf: Dieser ist Null, da keine äußeren horizontalen Kräfte angreifen. Damit ist auch die horizontale Auflagerkraft Bh gleich Null.
Querkraftverlauf: Wirkt eine konstante Streckenlast (links) auf einen Balken, resultiert dies in einem linearen Querkraftverlauf. Eine konstante Streckenlast erzeugt im Allgemeinen im Querkraftverlauf immer einen Knick dort, wo die Streckenlast anfängt und aufhört. Dazwischen ist der Querkraftverlauf linear. Das Biegemoment ist dann quadratisch und das maximale Biegemoment ist dort, wo der Querkraftverlauf null ist bzw. wo die Querkraft ihre Nullstelle hat. Wirkt eine dreieckige Streckenlast (rechts), resultiert dies in einem quadratischen Querkraftverlauf. Auch hier gilt: An der Stelle wo die Querkraft ihre Nullstelle hat, ist das Biegemoment maximal.
Momentenverlauf: Der Momentenverlauf bei einer konstanten Streckenlast (links) ist eine quadratische Parabel, die nach unten geöffnet ist (nach unten geöffnet in Bezug auf die z-Achse, da diese positiv nach unten wirkt). Eine nach unten geöffnet Parabel bedeutet, dass die Parabel unten (in Richtung der negativen z-Achse) geöffnet ist. Bei einem x,y-Koordinatensystem ist die Parabel um 180° gedreht, da die positive y-Achse nach oben zeigt. Das größte Biegemoment befindet sich an der Stelle, an welcher die Querkraft einen Nulldurchgang aufweist. Bei einer dreieckigen Streckenlast (rechts) ist der Momentenverlauf eine kubische Parabel, die ebenfalls nach unten geöffnet ist. Das maximale Biegemoment ist auch hier an der Stelle gegeben, an welcher die Querkraft ihre Nullstelle hat.
Maximales Biegemoment berechnen
Zur Berechnung des maximalen Biegemoments kannst du also die Nullstelle des Querkraftverlaufs berechnen. Dazu musst du einfach den Querkraftverlauf gleich Null setzen und nach x auflösen. Bei einer konstanten Streckenlast hast du einen linearen Querkraftverlauf gegeben und kannst somit einfach nach x auflösen. Bei einer dreieckigen Streckenlast hast du einen quadratischen Querkraftverlauf gegeben und musst hier die p/q-Formel oder Mitternachtsformel verwenden, um die Nullstellen zu bestimmen. Hier gibt es zwei Nullstellen, wobei die negative Nullstelle nicht berücksichtigt wird. Der ausgerechnete x-Wert ist die Stelle, an der das maximale Biegemoment gegeben ist. Diesen x-Wert setzt du in den Momentenverlauf ein und erhältst den Wert des maximalen Biegemoments.
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In unseren strukturierten Kapiteln zu den Schnittgrößen bei konstanter und dreieckiger Streckenlast zeigen wir dir Schritt für Schritt, wie du nicht nur die Schnittgrößenverläufe präzise berechnest, sondern sie auch einzeichnest.
Aber das ist noch nicht alles! Wir zeigen dir, wie du die genaue Position des maximalen Biegemoments aus dem Querkraftverlauf ermittelst und dann daraus das maximale Biegemoment bestimmst.
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