(TM1-12) – Beispiele: Lagerkräfte, Seilkräfte und Stabkräfte berechnen

Wir wollen uns in dieser Lerneinheit mal einige Beispiele zum allgemeinen Kräftesystem anschauen. Dabei betrachten wir komplexere Beispielen in denen wir Stabkräfte, Seilkräfte und Lagerkräfte bestimmen.

Aufgabe: Seilkraft und Lagerkräfte bestimmen

Seilkraft bestimmen — Lagerkräfte bestimmen – Seilkraft ermitteln

Gegeben sei der obige Balkenzug. Der Balkenzug ist bei e drehbar gelagert (Festlager) und wird durch ein Seil bei c und d gehalten. Die Reibung zwischen Seil und Rollen soll vernachlässigt werden.

Gegebene Größen:

$F = 10 kN$

$a = 1m$

Wie groß ist die Seilkraft in c bzw. d und die Auflagerkräfte in e?

Lösung zur Aufgabe: Seilkraft und Lagerkräfte bestimmen

Schritt 1: Freischnitt aller gesuchten Kräfte

Der Freischnitt muss immer so erfolgen, dass die zu bestimmende Kraft (hier: Seilkraft) freigeschnitten wird. In diesem Fall muss also ein Schnitt durch das Seil gemacht werden, damit die Seilkraft abgetragen werden kann. Zusätzlich dazu lösen wir das System auch von den Auflagern (hier e) und tragen die Lagerkräfte E_v und E_h ab.

Merk's dir!

Ein Seil überträgt nur Zugkräfte entlang der Seilachse. Beim Freischnitt muss also an dem Rahmen für das Seil eine Zugkraft angebracht werden.

Lagerkräfte bestimmen, Seilkraft bestimmen — Seilkraft und Lagerkräfte bestimmen

Wir müssen beim Abtragen der Kräfte berücksichtigen, dass die Seilkräfte an beiden Seiten gleich groß sind und bezeichnen die Seilkraft mit S.

Damit wir aus den Gleichgewichtsbedingungen die unbekannte Seilkraft sowie die unbekannten Lagerkräfte bestimmen können, müssen wir alle Kräfte die nicht in x- oder y-Richtung wirken in ihre Komponenten zerlegen.

Schritt 2: Kräftezerlegung

In dem obigen Beispiel muss die Seilkraft S im Punkt c in ihre x– und y-Komponente zerlegt werden. Wir kennen den Winkel der Seilkraft zur Horizontalen bzw. Vertikalen nicht, es ist aber die Steigung dieser in der Aufgabenstellung angegeben. Aus der Steigung kann mittels Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck der Winkel berechnet werden:

Lagerkräfte bestimmen, Steigung bestimmen — Lagerkräfte bestimmen – Steigung ermitteln

Mittels Tangens können wir den Winkel α zur Horizontalen bestimmen. Auflösen nach α ergibt:

$\tan(\alpha) = \dfrac{1}{3}$ | $tan^{-1}$

$\alpha = \tan^{-1}(\dfrac{1}{3})$

$\alpha = 18,43^{\circ}$

Als nächstes kann die Seilkraft im Punkt c in ihre x– und y-Komponente zerlegt werden:

$S_x = S \cdot \cos(\alpha) = S \cdot \cos(18,43^{\circ}) = S \cdot 0,949$

$S_y = S \cdot \sin(\alpha) = S \cdot \sin(18,43^{\circ}) = S \cdot 0,316$

Schritt 3: Gleichgewichtsbedingungen

Wir wollen nun die Seilkraft und die unbekannten Lagerkräfte bestimmen. Dazu wenden wir die drei Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene an:

Horizontale Gleichgewichtsbedingung:

$\sum F_{ix} = 0: \; \; \; -E_h - S_x = 0$

$-E_h - S \cdot 0,949 =0$

Vertikale Gleichgewichtsbedingung:

$\sum F_{iy} = 0 \; \; \; E_v + S_y + S - F = 0$

$E_v + S \cdot 0,316 + S - F = 0$

Aus den obigen Gleichgewichtsbedingungen kann keine der Unbekannten bestimmt werden.

Wir benötigen noch die Momentengleichgewichtsbedingung.

Um aus der Momentengleichgewichtsbedingung eine unbekannte Kraft bestimmen zu können, muss der Bezugspunkt sinnvoll gewählt werden. Legen wir den Bezugspunkt in das Lager E, so fallen bei der Momentenberechnung die Lagerkräfte E_hund E_vaus der Berechnung heraus:

$\sum M^E = 0 \; \; \; F \cdot 6a - S_x \cdot2 a - S_y \cdot 2a - S \cdot 2a = 0$

$F \cdot 6a - S \cdot 0,949 \cdot2 a - S \cdot 0,316 \cdot 2a - S \cdot 2a = 0$

Wir haben alle rechtsdrehenden Momente negativ berücksichtigt und alle linksdrehenden Momente (hier: F⋅6a) positiv.

Wir können nun die Gleichung nach S auflösen. Da jedes Glied von a abhängig ist, können wir zunächst durch a teilen:

$F \cdot 6 - S \cdot 0,949 \cdot 2 - S \cdot 0,316 \cdot 2 - S \cdot 2 = 0$ |Faktoren zusammenfassen

$6F - 1,898 S - 0,632 S - 2 S = 0$ |aller Glieder mit S zusammenfassen

$6F - 4,53 S = 0$ | $+4,53 S$

$6F = 4,53 S$ | $:4,53$

$\dfrac{6F}{4,53} = S$ | $F = 10 kN$ einsetzen

$\dfrac{6 \cdot 10 kN}{4,53} = S$

$\boxed{S = 13,25 kN}$

Aus der vertikalen und horizontalen Gleichgewichtsbedingung können wir nun die Lagerkräfte bestimmen.

Horizontale Gleichgewichtsbedingung:

$-E_h - S \cdot 0,949 =0$

$E_h = - S \cdot 0,949 = -13,25 kN \cdot 0,949$

$\boxed{E_h = -12,57 kN}$

Das Ergebnis ist negativ, damit wirkt die Auflagerkraft E_h nach rechts und nicht – wie angenommen – nach links.

Vertikale Gleichgewichtsbedingung:

$E_v + S \cdot 0,316 + S - F = 0$

$E_v = -S \cdot 0,316 - S + F$

$E_v = - 13,25 kN \cdot 0,316 - 13,25 kN + 10 kN$

$\boxed{E_v = -7,44 kN}$

Das Ergebnis ist negativ, damit wirkt die Auflagerkraft E_v nach unten und nicht – wie angenommen – nach oben.

Wir können die Auflagerkräfte E_v und E_h noch zu einer resultierenden Auflagerkraft zusammenfassen. Da beide Kräfte rechtwinklig zueinander stehen, können wir hier den Satz des Pythagoras anwenden:

$E = \sqrt{E_h^2 + E_v^2} = \sqrt{(-12,57 kN)^2 + (-7,44 kN)^2} = 14,61 kN$

Der Winkel von der Horizontalen zur resultierenden Auflagerkraft wird mittels Tangens berechnet:

$\tan(\alpha_E) = \dfrac{E_v}{E_h}$

$\alpha_E = \tan^{-1}(\dfrac{E_v}{E_h})$

$\alpha_E = \tan^{-1}(\dfrac{-7,44 kN}{-12,57 kN})$

$\alpha_E = 30,62^{\circ}$

Hierbei handelt es sich um den Winkel von der Lagerkraft E_h zur Resultierenden E, also von der Horizontalen zur Resultierenden.

Lagerkräfte bestimmen – Seilkraft ermitteln

Aufgabe 2: Stabkräfte berechnen

Lagerkräfte bestimmen – Stabkraft bestimmen

Gegeben sei die obige Kreisscheibe, die von drei Stäben gehalten wird. Die Kreisscheibe wird durch ein äußeres Moment M belastet.

Gegebene Größen:

$m=15 kg$

$r=10cm$

$M=25Nm$

a) Bestimme die Stabkräfte!

b) Wie groß wird das Moment M, wenn die Stabkraft S3 Null wird?

Lösung zur Aufgabe 2: Stabkräfte berechnen

Lösung a) Berechne die Stabkräfte

Schritt 1: Freischnitt der gesuchten Kräfte

Zunächst schneiden wir die Kreisscheibe so frei, dass die gesuchten Stabkräfte frei liegen. Wir tragen die Stabkräfte alle als Zugkräfte ab (bei einem negativen Ergebnis ist es tatsächlich ein Druckstab):

Außerdem müssen wir die Gewichtskraft der Scheibe berücksichtigen. Eine Gewichtskraft wirkt immer vertikal nach unten. Berechnet wird die Gewichtskraft durch:

$F_G = m \cdot g$

Die Gewichtskraft ist gleich Masse mal Erdbeschleunigung. Die Erdbeschleunigung bei physikalischen Berechnungen wird mit der Konstanten g = 9,81 m/s² angegeben.

Schritt 2: Kräftezerlegung

Die x-Achse und die y-Achsen werden eingeführt und zunächst alle Kräfte, die weder in x– noch in y-Richtung zeigen in ihre Komponenten zerlegt. In diesem Beispiel muss die Stabkraft S₁ in ihre Komponenten zerlegt werden:

$S_x = S_1 \cdot \cos(45^{\circ})$ negative x-Richtung

$S_y = S_1 \cdot \sin(45^{\circ})$ positive y-Richtung

Da der Winkel 45° Grad beträgt, sind sowohl Sinus und Kosinus von 45° gleich groß:

$\sin(45^{\circ}) = \cos(45^{\circ}) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Es ergibt sich also:

$\boxed{S_x = S_y =S_1 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} }$

Wir tragen die beiden Komponenten an der Scheibe ab:

Schritt 3: Gleichgewichtsbedingungen

Als nächstes wenden wir die Gleichgewichtsbedingungen an, um die unbekannten Stabkräfte zu berechnen.

(1) $\sum F_{ix} = 0 \; \; \; -S_2 - S_{1x} + S_3 = 0$

(2) $\sum F_{iy} = 0: \; \; \; S_{1y} - F_G = 0$

Aus der vertikalen Gleichgewichtsbedingung (2) können wir die unbekannte Stabkraft S₁ berechnen:

$S_{1y} - F_G = 0$

$S_1 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} - m \cdot g = 0$

Einsetzen von m = 15 kg und g = 9,81 m/s²:

$S_1 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} - 15 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} = 0$

$S_1 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} - 147,15 N = 0$ |+147,15 N

$S_1 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 147,15 N$ | $\cdot \dfrac{2}{\sqrt{2}}$

$S_1 = 147,15 N \cdot \dfrac{2}{\sqrt{2}}$

$\boxed{S_1 = 208,10 N}$

Als nächstes wenden wir die Momentengleichgewichtsbedingung an. Diese legen wir so, dass so viele Unbekannte wie möglich wegfallen. Wir haben bereits S₁ bestimmt. Wir suchen noch S₂ und S₃. Demnach können wir den Bezugspunkt so legen, dass entweder S₂ oder S₃ in der Berechnung wegfallen:

Beispiel Stabkräfte berechnen — Stabkräfte berechnen

Wir wählen beliebig den Punkt A. Die Gewichtskraft weist einen Hebelarm von r zum Punkt A auf und übt ein rechtsdrehendes Moment aus. Die Stabkraft S₃ weist ebenfalls den Hebelarm r auf und übt ein linksdrehendes Moment aus. Wir müssen außerdem das Moment M berücksichtigen, welches Linksdrehend ist (also positiv):

$\sum M^A = 0: \; \; \; -F_G \cdot r + S_3 \cdot r + M = 0$

Wir können die Momentengleichgewichtsbedingung nach S₃ auflösen:

$-F_G \cdot r + S_3 \cdot r + M = 0$

$S_3 \cdot r = F_G \cdot r - M$

$S_3 = \dfrac{F_G \cdot r - M}{r}$

Einsetzen von r = 10 cm = 0,1m , M = 25 Nm:

$S_3 = \dfrac{147,15 N \cdot 0,1m - 25 Nm}{0,1m}$

$\boxed{S_3 = -102,85 N }$

Aus der horizontalen Gleichgewichtsbedingung (1) können wir als letztes die Stabkraft S₃ bestimmen:

(1) $\sum F_{ix} = 0 \; \; \; -S_2 - S_{1x} + S_3 = 0$

$-S_2 - S_{1x} + S_3 = 0$

$S_2 = - S_{1x} + S_3$

$S_2 = -S1 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + S_3$

$S_ 2 = -208,10 N\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + (-102,85 N) = -147,15 N - 102,85 N$

$S_ 2 = -250 N$

Die Stabkräfte S₂ und S₃ sind Druckkräfte, weil diese im Freikörperbild als Zugkräfte angenommen wurden und ein negatives Ergebnis resultiert ist!

Lösung b) Moment berechnen

Um herauszufinden, welchen Wert das Moment annimmt, wenn die Stabkraft S₃ Null wird, müssen wir die obige Momentengleichgewichtsbedingung aufgelöst nach S₃ gleich Null setzen:

$S_3 = \dfrac{F_G \cdot r - M}{r} = 0$

Wir können diese Gleichung deswegen heranziehen, weil hier nur die unbekannte Stabkraft S₃ enthalten ist.

$\dfrac{F_G \cdot r - M}{r} = 0$ | $\cdot r$

$F_G \cdot r - M = 0$ |+M

$F_G \cdot r = M$

$M = 147,15 Nm \cdot 0,1 m = 14,72 Nm$

Das Moment beträgt dann 14,72 Nm.

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