MA4 – Zwei senkrechte Geraden (Beispiel: senkrecht + windschief)

Zwei zueinander senkrechte Geraden (auch: orthogonale Geraden) sind dann senkrecht zueinander, wenn sie in einem 90°-Winkel zueinander liegen. Zwei senkrechte Gerade in der Ebene schneiden sich immer, zwei senkrechte Geraden im Raum können sich entweder schneiden oder liegen windschief zueinander.

In dieser Lerneinheit behandeln Senkrechte Geraden und wollen dir zeigen, wie du herausfinden kannst, ob die Geraden senkrecht zueinander liegen.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs MA4 – Vektorrechnung auf Technikermathe.de

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Wir betrachten zunächst die Steigungsform (Geraden in der Ebene) und dann die Parameterform (Geraden im Raum) und zeigen dir danach anhand von zwei Beispielen, wie du herausfindest, ob zwei Geraden senkrecht zueinander sind.

Senkrechte Geraden: Steigungsform

Sind zwei Geraden g₁ und g₂ mit ihrer Steigungsform gegeben, so können wir anhand der Steigung erkennen, ob die beiden Geraden senkrecht zueinander stehen:

$g_1 = mx + b$

$g_2 = nx + d$

Hierbei ist m die Steigung der Geraden g₁ und n die Steigung der Geraden g₂.

Sind die beiden Geraden senkrecht ( $\perp$ ) zueinander, so gilt:

Senkrechte Geraden

$g_1 \perp g_2$ :

$m \cdot n = -1$

Multiplizieren wir die beiden Steigungen miteinander und resultiert -1, so sind die beiden Geraden senkrecht zueinander.

Merk’s dir!

Sind zwei Geraden in der Ebene senkrecht zueinander, so besitzen sie einen gemeinsamen Schnittpunkt.

Senkrechte Geraden: Parameterform

Sind zwei Geraden g₁ und g₂ mit ihrer Parameterform gegeben, so können wir anhand der Richtungsvektoren erkennen, ob die beiden Geraden senkrecht zueinander stehen:

$g_1: \vec{x} = \vec{A} + t \cdot \vec{u}$

$g_2: \vec{x} = \vec{B} + s \cdot \vec{n}$

Hierbei ist $\vec{u}$ der Richtungsvektor der Geraden g₁ und $\vec{n}$ der Richtungsvektor der Geraden g₂.

Sind die beiden Geraden senkrecht ( $\perp$ ) zueinander, so gilt:

Senkrechte Geraden

$g_1 \perp g_2$ :

$\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$

Bilden wir das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren und resultiert als Ergebnis 0, so sind die beiden Geraden senkrecht zueinander.

Merk’s dir!

Sind zwei Geraden im Raum senkrecht zueinander, so besitzen sie entweder einen gemeinsamen Schnittpunkt oder liegen windschief zueinander.

Beispiel: Steigungsform (Ebene)

Beispiel!

Gegeben seien die beiden Geraden g₁ und g₂ in der Ebene mit ihrer Steigungsform:

$g_1 = -2x + 4$

$g_2 = 0,5x - 6$

Stehen die beiden Geraden senkrecht zueinander? Und wenn ja, in welchem Punkt schneiden sich die beiden Geraden?

Wir können herausfinden, ob die beiden Geraden senkrecht zueinander stehen indem wir die Steigungen miteinander multiplizieren:

$-2 \cdot 0,5 = -1$

Das Ergebnis der Multiplikation ist -1. Demnach stehen die beiden Geraden senkrecht zueinander.

Als nächstes berechnen wir den gemeinsamen Schnittpunkt. Dazu setzen wir die beiden Geraden gleich und berechnen x (siehe auch unseren Kurs MA2-Lineare Funktionen):

$-2x + 4 = 0,5x - 6$

$-2x - 0,5x = -6 - 4$

$-2,5x = -10$

$x = 4$

An der Stelle x = 4 schneiden sich die beiden senkrechten Geraden. Den Schnittpunkt berechnen wir, indem wir x = 4 in eine der Geradengleichungen einsetzen:

$g_1(x = 4) = -2 \cdot 4 +4 = -4$

$g_2(x = 4) = 0,5 \cdot 4 - 6 = -4$

Der gemeinsame Schnittpunkt ist gegeben bei S(4|-4). In der folgenden Grafik siehst du die beiden Geraden mit ihrem Schnittpunkt eingezeichnet:

Beispiel: Parameterform (Raum)

Beispiel!

Gegeben seien die beiden Geraden g₁ und g₂ im Raum mit ihrer Steigungsform:

$g_1: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 2\\ 0 \\ -1 \end{array}\right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -4 \end{array}\right)$

$g_2: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)$

Stehen die beiden Geraden senkrecht zueinander? Schneiden sich die beiden Geraden?

Wir können herausfinden, ob die beiden Geraden senkrecht zueinander stehen indem wir das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren bilden:

$\left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -4 \end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)$

$3 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) + (-4) \cdot 2 = 0$

Das Ergebnis der Skalarmultiplikation beträgt 0. Demnach stehen die beiden Geraden senkrecht zueinander. Sind zwei Geraden im Raum senkrecht zueinander, so schneiden diese sich nicht automatisch, sondern können auch windschief zueinander sein. Sie können aber nicht parallel oder identisch sein.

Um herauszufinden, ob die beiden Geraden windschief sind oder einen Schnittpunkt aufweisen, setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich:

$\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -4 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)$

Dann stellen wir das lineare Gleichungssystem auf:

$(1) \; 2 + 3t = 0 + 3s$

$(2) \; 0 + 1t = 4 - 1s$

$(3) \; -1 - 4t = -2 + 2s$

Wir haben nun ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten gegeben. Hier können wir das Gleichsetzungs-, Einsetzungs- oder Additionsverfahren anwenden.

Schauen wir uns das Gleichungssystem an und fassen soweit wie möglich zusammen:

$(1) \; 2 + 3t = 3s$

$(2) \; t = 4 - s$

$(3) \; -1 - 4t = -2 + 2s$

Wir benötigen zwei Gleichungen, da wir zwei Unbekannte gegeben haben. Das Gleichsetzungsverfahren ist grundsätzlich am Einfachsten anzuwenden. Hier stellen wir einfach zwei der drei Gleichungen nach derselben Variable (hier t oder s) um und setzen diese beiden Gleichungen gleich. Wir stellen beliebig die 2. und 3. Gleichung nach t um:

$(2) \; t = 4 - s$

$(3) \; -1 - 4t = -2 + 2s$

$t = \frac{1}{4} - \frac{1}{4}s$

Gleichsetzen von (2) und (3):

$4-s = \frac{1}{4} - \frac{1}{4}s$

Nach s auflösen:

$-s +\frac{1}{4}s = \frac{1}{4} -4$

$-\frac{3}{4}s = -\frac{15}{4}$

$s = 5$

Wir haben für s = 5 erhalten. Als nächstes berechnen wir aus einer dieser beiden Gleichungen (2) oder (3) den Wert t:

(2) $t = 4 - s = 4 - 5 = -1$

Wir haben nun die Gleichung (2) und (3) verwendet, um s = 5 und t = -1 zu erhalten. Die dritte nicht verwendete Gleichung (hier: (1)) nutzen wir, um die Ergebnisse zu überprüfen. Dazu setzen wir t = -1 und s = 5 ein und schauen, ob die Gleichung erfüllt ist (d.h. beide Seiten gleich sind):

$(1) \; 2 + 3 \cdot (-1) = 3 \cdot 5$

$(1) \; -1 \neq 15$

Die Gleichung ist nicht erfüllt, damit ist hier kein Schnittpunkt gegeben. Die beiden Geraden sind demnach senkrecht und windschief zueinander.

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