PH5 – Isobare Zustandsänderung [Erklärungen, Beispiele, Aufgaben]

Eine isobare Zustandsänderung ist ein thermodynamischer Prozess, bei dem der Druck konstant bleibt und sich Volumen und Temperatur ändern.

In dieser Lerneinheit zeigen wir die was eine isobare Zustandsänderung ist und welche Formeln du benötigst. Abschließend folgt ein ausführliches Beispiel.

Für ein optimales Verständnis helfen dir am Ende ein anschauliches Rechenbeispiele zu dem Thema.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs: PH5 – Wärmelehre.

Was geschieht bei einer isobaren Zustandsänderung?

Vorgang in einem geschlossenen Gefäß mit idealem Gas und verschiebbaren Wänden:

Stellen wir uns ein geschlossenes Gefäß vor, das mit einem idealen Gas gefüllt ist, wobei die Wände des Gefäßes beweglich sind. Zu Beginn herrscht ein bestimmter Anfangszustand 1 mit einer festgelegten Temperatur, einem bestimmten Druck und einem definierten Volumen des Gases.

Wenn dem System Wärme Q zugeführt wird, steigt die Temperatur des Gases. Das bedeutet, die Gasteilchen bewegen sich schneller und stoßen heftiger gegen die Wände des Gefäßes. Normalerweise würde man erwarten, dass diese stärkeren Stöße den Druck im Inneren erhöhen, da die Teilchen mehr Energie haben.

Jedoch haben wir hier bewegliche Wände. Sobald die Gasteilchen beginnen, stärker gegen die Wände zu stoßen, verschieben sich die Wände nach außen, wodurch das Volumen des Gefäßes größer wird. Dieser Volumenzuwachs sorgt dafür, dass die Teilchen trotz ihrer höheren Geschwindigkeit weniger oft gegen die Wände stoßen. Diese selteneren Stöße gleichen die Zunahme der Stoßkraft aus, sodass der Druck konstant bleibt.

Warum bleibt der Druck konstant?

Der Druck ist das Ergebnis des Impulses, den die Gasteilchen auf die Wände ausüben, wenn sie mit ihnen zusammenstoßen. Dieser Impuls hängt sowohl von der Geschwindigkeit (wie schnell die Teilchen sind) als auch von der Häufigkeit der Stöße ab.
Da sich die Gasteilchen bei höherer Temperatur schneller bewegen, prallen sie mit mehr Kraft auf die Wände. Aber: Durch die Vergrößerung des Volumens des Gefäßes stoßen die Teilchen weniger oft gegen die Wände.
Diese geringere Stoßfrequenz kompensiert die stärkere Stoßkraft, sodass der Druck im System gleich bleibt, auch wenn die Temperatur ansteigt.

Man spricht in diesem Fall von einem isobaren Prozess – das bedeutet, der Druck bleibt konstant, während sich Temperatur und Volumen verändern.

Wenn die Temperatur dann wieder absinkt, verlangsamen sich die Gasteilchen. Das Volumen des Gefäßes nimmt wieder ab, und die Wände kehren in ihre ursprüngliche Position zurück. Der Druck bleibt während dieses gesamten Vorgangs konstant.

Merk’s dir!

Es gelten die in den vorangegangenen Abschnitten aufgezeigten Gleichungen. In diesem Abschnitt zeigen wir, welche Gleichungen sich ändern und damit angepasst werden müssen. Alle anderen Gleichungen gelten weiterhin und ändern sich damit nicht.

Zustandsgleichung idealer Gase

Zunächst betrachten wir die thermische Zustandsgleichung idealer Gase:

Ideale Gasgleichung

$p \cdot V= n \cdot R \cdot T$

Gehen wir von einer Zustandsänderung von Zustand 1 zu Zustand 2 aus, so erhalten wir die ideale Gasgleichung in den beiden Zuständen wie folgt:

$p_1 \cdot V_1 = n \cdot R \cdot T_1$

$p_2 \cdot V_2 = n \cdot R \cdot T_2$

Bei einem konstanten Druck gilt das Gesetz von Gay-Lussac:

Gesetz von Gay-Lussac

$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

Volumenänderungsarbeit

Betrachten wir ein geschlossenes System und hier die bereits bekannte Formel für die innere Energie:

$U_2 - U_1 = Q + W_V + W_{Diss}$

Bei einem konstanten Druck ändert sich hier die Volumenänderungsarbeit W_V. Die Volumenänderungsarbeit können wir wie folgt bestimmen:

$W_V = -\int p dV$

Da der Druck p konstant ist und nicht abhängig vom Volumen, fällt das Integral einfach weg:

Volumenänderungsarbeit (p = const)

$W_V = -p (V_2 - V_1) = p(V_1 - V_2)$

Wir können hier den Zusammenhang mit der Zustandsgleichung des idealen Gases zeigen (Hier geht’s zur Herleitung):

Volumenänderungsarbeit (p = const)

$W_V = p(V_1 - V_2) = m \cdot R_i \cdot (T_1 - T_2)$

bzw.

$W_V = p(V_1 - V_2) = n \cdot R \cdot (T_1 - T_2)$

Die Volumenänderungsarbeit kann im pV-Diagramm dargestellt werden und entspricht der Fläche unter der Kurve zur Abszisse (V-Achse). In der folgenden Grafik siehst du die Volumenänderungsarbeit bei einer Expansion (Volumenausdehnung) und einer Kompression (Volumenverringerung) eines idealen Gases, wenn der Druck konstant gehalten wird:

Innere Energie und Enthalpie

Die Änderung der inneren Energie kann über die folgenden Gleichung bestimmt werden:

$U_2 - U_1 = Q + W_V + W_{Diss}$

$U_2 - U_1 = n \cdot c_V \cdot \Delta T$

Die Gleichung für die Änderung der Enthalpie lautet:

$H_2 - H_1 = U_2 - U_1 + p_2V_2 - p_1V_1$

Da der Druck bei isobarer Zustandsänderung konstant gehalten wird, ist p₂ = p₁ = p:

$H_2 - H_1 = U_2 - U_1 + pV_2 - pV_1$

$H_2 - H_1 = U_2 - U_1 + p(V_2 - V_1)$

Wir können nun die Gleichung für die Änderung der inneren Energie in die Enthalpiegleichung einsetzen:

$H_2 - H_1 = Q + W_V + W_{Diss} + p(V_2 - V_1)$

Wir setzen dann die Volumenänderungsarbeit W_V bei konstantem Druck ein:

$H_2 - H_1 = Q -p(V_2 - V_1) + W_{Diss} + p(V_2 - V_1)$

Die beiden Terme -p(V₂-V₁) und p(V₂-V₁) heben sich auf und die Enthalpie bei einer isobaren Zustandsänderung ergibt sich wie folgt:

Enthalpie (p const.)

$H_2 - H_1 = Q + W_{Diss}$

Die Änderung der Enthalpie können wir auch kalorisch ausdrücken:

Enthalpie (p const.), kalorisch

$H_2 - H_1 = m \cdot c_p \cdot (T_2 - T_1)$

Enthalpie und Wärme

Betrachten wir die Enthalpie, wenn der Druck konstant gehalten wird:

$H_2 - H_1 = Q + W_{Diss}$

Wir können diese Gleichung nach der Wärme Q auflösen:

$Q = H_2 - H_1 - W_{Diss}$

Setzen wir für die Enthalpieänderung die kalorische Gleichung ein:

Wärme (p const.), kalorisch

$Q = m \cdot c_p \cdot (T_2 - T_1) - W_{Diss}$

Reversible Systeme

Die Dissipationsarbeit W_Diss tritt in realen System auf. Betrachten wir hingegen ein reversibles System, so fällt die Dissipationsenergie weg. Unter Dissipationsenergie versteht man den Energieverlust, der durch Reibung entsteht und als Wärme an die Umgebung abgegeben wird. Diese Energie steht dem System daher nicht mehr zur Verfügung. In jedem realen System tritt Dissipationsenergie auf. Um Berechnungen zu vereinfachen, werden jedoch häufig reversible Systeme betrachtet, bei denen Reibungsverluste vernachlässigt werden.

Wärme (p const.), reversibel

$Q = m \cdot c_p \cdot (T_2 - T_1)$

Zusammenfassung

Bei einer isobaren Zustandsänderung bleibt der Druck konstant, während sich das Volumen und die Temperatur ändern. Die Arbeit, die das System verrichtet, und die zugeführte Wärme hängen direkt mit der Änderung des Volumens und der Temperatur zusammen.

Aufgabe 1) Isobare Zustandsänderung

Aufgabenstellung

In einem senkrecht stehenden Zylinder mit einem Innendurchmesser von d_i = 0,25 m befindet sich 1,5 kg Methangas. Der Zylinder wird durch einen beweglichen Kolben abgeschlossen. Der Kolben ist reibungsfrei geführt und drückt auf das Gas mit der konstanten Kraft von F_G = 6,5 kN. Infolge von Wärmezufuhr steigt der Kolben um ∆z = 300 mm.

Stoffdaten:

R_CH4 = 0,53 kJ/(kg K), c_p = 2,23 kJ/(kg K), c_v = 1,7 kJ/(kg K)

a) Wie groß ist die vom System abgegebene Volumenänderungsarbeit?

b) Um wieviel Kelvin ändert sich die Temperatur?

c) Berechne die zugeführte Wärmemenge!

d) Berechne die Änderung der inneren Energie des Systems!

e) Zeige skizzenhaft die Volumenänderungsarbeit im pV-Diagramm!

Gegebenen Werte in SI-Einheiten umgerechnet

$R_{CH4} = 0,53 \frac{kJ}{kg \; K} = 530 \frac{J}{kg \; K}$

$c_p = 2,23 \frac{kJ}{kg \; K} = 2.230 \frac{J}{kg \; K}$

$c_v = 1,7 \frac{kJ}{kg \; K} = 1.700 \frac{J}{kg \; K}$

$d_i = 0,25m$

$m = 1,5 kg$

$F_G = 6,5 kN = 6.500 N$

$\Delta z = 300mm = 0,3 m$

Wir haben hier eine isobare Zustandsänderung gegeben, da wir eine konstante Kraft F_G gegeben haben. Kraft und Druck haben den folgenden Zusammenhang:

$p = \frac{F}{A}$

Da die Kraft F_G konstant ist und sich auch die Querschnittsfläche A nicht ändert, ist auch der Druck konstant. Ist ein konstanter Druck gegeben, so liegt eine isobare Zustandsänderung vor.

Wir können hier also alle Gleichungen der isobaren Zustandsänderung heranziehen, die ihr im vorherigen Kapitel findet.

Lösung a) Volumenänderungsarbeit

Die Volumenänderungsarbeit bei einer isobare Zustandsänderung wird mit der folgenden Gleichung berechnet:

$W_V = -p(V_2 - V_1) = -m \cdot R_i \cdot (T_2 - T_1)$

Hierbei ist V₂-V₁ die Volumendifferenz. Wir können aus den gegebenen Werten in der Aufgabenstellung die Volumendifferenz bestimmen. Wir haben zum einen den Durchmesser der Grundfläche des Kolbens gegeben und zum anderen die Höhendifferenz. Aus diesen beiden Werten können wir die Volumendifferenz bestimmen:

$\Delta V = V_2 - V_1 = A \cdot \Delta z$

mit

$A = \pi \cdot r^2$

Hierbei ist die Grundfläche A = π·r². Damit ergibt sich die Volumendifferenz zu:

$\Delta V = \pi \cdot r^2 \cdot \Delta z$

Wir setzen die gegebenen Werte in SI-Einheiten ein:

$V_2 - V_1 = \pi \cdot (0,125m)^2 \cdot 0,3m = 0,015m^3$

Die Volumendifferenz beträgt 0,015m³, das entspricht 15 Liter.

Wir können als nächstes den Druck p berechnen, den wir für die Volumenänderungsarbeit benötigen. Diesen berechnen wir aus dem bereits oben erwähnten Zusammenhang:

$p = \frac{F}{A} = \frac{6.500 N}{\pi \cdot r^2}$

Die Grundfläche beträgt:

$A = \pi \cdot (0,125m)^2 = 0,049m^2$

Als nächstes berechnen wir den Druck p:

$p = \frac{F}{A} = \frac{6.500 N}{0,049m^2} = 132.653,06 \frac{N}{m^2}$

Aus diesen Werten können wir die Volumenänderungsarbeit bestimmen:

$W_V = -132.653,06 \frac{N}{m^2} \cdot 0,015m^3 = -1.989,8 J$

Die abgeführte Volumenänderungsarbeit beträgt 1.989,8 Joule.

Lösung b) Temperaturänderung

Die Temperaturänderung können wir aus der kalorischen Volumenänderungsarbeit berechnen:

$W_V = -m \cdot R_i \cdot (T_2 - T_1)$

Wir haben die Volumenänderungsarbeit W_V berechnet, wir kennen die Masse m und die individuelle Gaskonstante R_i. Demnach können wir aus der obigen Gleichung die Temperaturdifferenz berechnen. Dazu müssen wir zunächst nach dieser umstellen:

$W_V = -m \cdot R_i \cdot \Delta T$

$\Delta T = -\frac{W_V}{m \cdot R_i}$

Wir können nun alle gegebenen Werte in die Gleichung einsetzen:

$\Delta T = -\frac{-1.989,8 J}{1,5 kg \cdot 530 \frac{J}{kg \; K}} = 2,5 K$

Die Temperatur nimmt um 2,5 Kelvin zu.

Lösung c) Wärmemenge

Die zugeführte Wärmemenge Q können wir mittels der folgenden kalorischen Gleichung bestimmen:

$Q = m \cdot c_p \cdot (T_2 - T_1) - W_{Diss}$

Da es sich um ein reversibles System handelt, fällt die Dissipationsarbeit weg:

$Q = m \cdot c_p \cdot (T_2 - T_1)$

Wir können die Wärme Q berechnen:

$Q = 1,5 kg \cdot 2.230 \frac{J}{kg \; K} \cdot 2,5 K$

$Q = 8.362,5 J$

Die dem System zugeführte Wärmemenge beträgt 8.362,5 Joule.

Lösung d) Innere Energie

Die innere Energie können wir wie folgt berechnen:

$U_2 - U_1 = Q + W_V + W_{Diss}$

Reversibles System:

$U_2 - U_1 = Q + W_V$

Wir haben bereits die Wärmemenge Q sowie die Volumenänderungsarbeit W_V berechnet:

$U_2 - U_1 = 8.362,5 J - 1.989,8 J = 6.372,7 J$

Die innere Energie ändert sich um 6.372,7 Joule. Die innere Energie des Systems nimmt zu. Die Volumenänderungsarbeit wird abgeführt und mindert die innere Energie, die Wärmemenge Q wird zugeführt und erhöht damit die innere Energie. Da die zugeführte Wärme größer ist als die abgeführte Volumenänderungsarbeit, nimmt die innere Energie zu.

Lösung e) pV-Diagramm

Die Volumenänderungsarbeit im pV-Diagramm entspricht der Fläche unter der Kurve. Bei einer isobaren Zustandsänderung, bei der der Druck konstant bleibt, stellt sich diese Fläche als ein Rechteck dar, da die Kurve eine horizontale Linie ist. Volumenänderungsarbeit tritt immer dann auf, wenn sich das Volumen eines Systems ändert. Das System verrichtet Arbeit, um das Volumen zu vergrößern, oder nimmt Arbeit auf, wenn das Volumen verringert wird.

In diesem Beispiel führt die Zufuhr von Wärme zu einer Volumenvergrößerung, indem sich das Gas im Zylinder ausdehnt. Dabei leistet das System Arbeit, die nach außen abgegeben werden kann. Ein Teil dieser Volumenänderungsarbeit kann für andere Prozesse im System genutzt werden. Der verbleibende Teil der Arbeit wird für die Verschiebung des Kolbens gegen den äußeren Luftdruck aufgewendet, was als Verschiebearbeit bezeichnet wird.

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