PH5 – Isentrope Zustandsänderung [Definition, Formeln, Aufgabe]

Was ist eine isentrope Zustandsänderung?

Eine isentrope Zustandsänderung ist ein thermodynamischer Prozess, bei dem keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht wird. Dabei ändern sich Druck, Volumen und Temperatur des Gases. Die Energieumwandlung erfolgt ausschließlich durch Arbeit, ohne Wärmezufuhr oder Wärmeabgabe.

In diesem Auszug aus unserem Onlinekurs PH5-Wärmelehre zeigen wir dir, was die isentrope Zustandsänderung ist und welche Formeln du benötigst bzw. sich ändern, wenn keine Wärme übertragen wird. Ein Beispiel mir schrittweiser Lösung findest du unten auf der Seite.

Mehr zu diesem Thema und weitere Themen findest du in unserem Onlinkurs:PH5 – Wärmelehre

Bei einem isochoren Prozess bleibt das Volumen konstant, sodass keine Volumenänderungsarbeit geleistet wird (W_V= 0). Beim isothermen Prozess bleibt die innere Energie des Systems unverändert (ΔU = 0). Im Gegensatz dazu findet bei einem isentropen Prozess per Definition kein Wärmeaustausch über die Systemgrenze statt (Q = 0). Eine solche isentrope Zustandsänderung erfordert ein adiabatisches reversibles System, da keinerlei Wärme übertragen werden darf. Daher wird die isentrope Zustandsänderung oft auch als adiabatischer Prozess bezeichnet.

Merk’s dir!

Bei einer isentropen (adiabatischen und reversiblen) Zustandsänderung ist der Prozess so gestaltet, dass keine dissipativen Verluste auftreten. Da das System jederzeit im Gleichgewicht bleibt und keine Reibung oder andere irreversible Prozesse stattfinden, wird die gesamte aufgebrachte Arbeit in eine Änderung der inneren Energie umgewandelt, ohne dass Energie als Wärme verloren geht.

Isentrope Zustandsänderung

Vorgang in einem geschlossenen Gefäß mit idealem Gas und verschiebbaren Wänden (isentrope Zustandsänderung):

Stellen wir uns ein geschlossenes Gefäß vor, das mit einem idealen Gas gefüllt ist und verschiebbare Wände besitzt. Zu Beginn herrscht ein bestimmter Anfangszustand, gekennzeichnet durch Temperatur, Druck und Volumen. Die adiabatische Zustandsänderung findet ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung statt, das bedeutet, es wird keine Wärme zu- oder abgeführt.

Da also kein Wärmeaustausch möglich ist, resultieren alle Energieänderungen im System ausschließlich aus der Arbeit, die das Gas verrichtet oder die an ihm verrichtet wird (=Volumenänderungsarbeit). Damit keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht wird, kann das System entweder vollkommen wärmedichte isoliert werden oder es findet eine so rasche Verdichtung statt, das keine Zeit für einen Wärmeaustausch gegeben ist.

Was passiert bei einer Volumenänderung?

Wird das Volumen des Gases vergrößert (Expansion):

Die Gasteilchen dehnen sich aus und drücken die Wände des Gefäßes nach außen.
Da das System keine Wärme von außen aufnehmen kann, verbraucht das Gas seine innere Energie, um diese Expansion zu ermöglichen.
Infolge des Energieverbrauchs sinkt die Temperatur des Gases, da die Teilchen sich langsamer bewegen.
Auch der Druck nimmt ab, weil das Volumen zunimmt und gleichzeitig die Teilchen langsamer gegen die Gefäßwände prallen.

Wird das Volumen des Gases verkleinert (Kompression):

In diesem Fall werden die Wände des Gefäßes nach innen gedrückt, und das Gas wird komprimiert.
Da das System adiabatisch ist, kann das Gas die durch die Kompression entstehende Wärme nicht nach außen abgeben. Die innere Energie des Gases nimmt zu.
Durch die stärkere Kompression steigt die Temperatur des Gases an, weil die Teilchen schneller werden.
Auch der Druck steigt, da das Volumen kleiner wird und die Teilchen sich schneller bewegen und häufiger gegen die Gefäßwände stoßen.

Zusammenfassung des Prozesses:

Bei einer isentropen Zustandsänderung gibt es keinen Wärmeaustausch zwischen dem System und der Umgebung.
Bei einer Expansion sinken (Volumen vergrößert sich) sowohl Druck als auch Temperatur, da das Gas seine innere Energie für die Volumenvergrößerung nutzt.
Bei einer Kompression (Volumen verringert sich) steigen Druck und Temperatur, da die Energie im System erhalten bleibt und die Teilchen schneller werden.
Da das Gas keine Wärme abgeben oder aufnehmen kann, hängt der Verlauf ausschließlich von der Arbeit ab, die am System verrichtet wird oder die das System leistet.

Wärmeisoliertes System

Kein System ist vollkommen wärmeisoliert, weshalb eine isentrope Zustandsänderung nur näherungsweise erreicht werden kann. Dennoch lassen sich thermodynamische Prozesse unter bestimmten Bedingungen als quasi-isentrop betrachten – selbst bei weniger gut wärmegedämmten Systemen. Das ist insbesondere dann möglich, wenn die Zustandsänderungen so rasch ablaufen, dass dem System kaum Zeit bleibt, um messbare Wärmemengen mit der Umgebung auszutauschen. Beispiele hierfür sind Expansions- und Kompressionsvorgänge in Verbrennungsmotoren.

Eine isentrope Zustandsänderung kann näherungsweise in einem gasgefüllten Zylinder mit einem beweglichen Kolben simuliert werden, wenn das Gas sehr schnell komprimiert wird, sodass kaum Wärme an die Umgebung abgegeben wird. Ideal wären zusätzliche wärmeisolierende Zylinderwände. In der Praxis tritt ein ähnlicher Effekt beim plötzlichen Zusammenpressen der Luft in einer verschlossenen Luftpumpe auf (mit verschlossenem Auslassventil). Anfangs bleibt der Prozess nahezu isentrop, doch kurz nach der Verdichtung sinken Druck und Temperatur schnell, da von der eingeschlossenen Luft Wärme an die Innenwände der Pumpe abgegeben, was dazu führt, dass Druck und Temperatur wieder sinken. Die Luftpumpe ist dann kein adiabatisches System mehr.

Merk’s dir!

Es gelten die in den vorangegangenen Abschnitten aufgezeigten Gleichungen. In diesem Abschnitt zeigen wir, welche Gleichungen sich ändern und damit angepasst werden müssen. Alle anderen Gleichungen gelten weiterhin und ändern sich damit nicht.

Zustandsgleichung des idealen Gases

Solange das Gas bei einer isentropen Zustandsänderung als ideales Gas angenommen wird, gilt die ideale Gasgleichung. Damit lassen sich zwei Zustände wie folgt miteinander in Beziehung setzen:

Ideale Gasgleichung

$p \cdot V= n \cdot R \cdot T$ bzw. $p \cdot V = m \cdot R_i \cdot T$

Wir lösen die obige Gleichung nach den drei Zustandsgrößen Druck, Volumen und Temperatur auf:

$\dfrac{p \cdot V}{T} = m \cdot R_i = const$

Da die individuelle Gaskonstante R_i konstant bleibt und auch die Masse m sich nicht ändert ist das Produkt m · R_i in beiden Zuständen gleich, also konstant. Damit ist auch die linke Seite konstant, also der Zusammenhang zwischen Druck, Volumen und Temperatur. Betrachten wir zwei Zustände folgt daraus:

Isentroper Zusammenhang

$\dfrac{p_1 \cdot V_1}{T_1} = \dfrac{p_2 \cdot V_2}{T_2}$

Wir können hier keine Zustandsgrößen kürzen, so wie es bei den anderen Zustandsänderungen der Fall ist. Bei der isobaren Zustandsänderung war es der konstante Druck, bei der isochoren Zustandsänderung das konstante Volumen und bei der isothermen Zustandsänderung die konstante Temperatur.

Isentropenexponent

Betrachten wir die ideale Gasgleichung und zusätzlich die Bedingung für die isentrope Zustandsgleichung (Q = 0), dann erhalten wir nach einer komplexen Herleitung den folgenden Zusammenhang:

$p \cdot V^{\kappa} = \text{konstant}$ -> $p_1 \cdot V_1^{\kappa} = p_2 \cdot V_2^{\kappa}$

$T \cdot V^{\kappa - 1} = \text{konstant}$ -> $T_1 \cdot V_1^{\kappa - 1} = T_2 \cdot V_2^{\kappa - 1}$

$T^{\kappa} \cdot p^{\kappa - 1} = \text{konstant}$ -> $T_1^{\kappa} \cdot p_1^{1-\kappa} = T_2^{\kappa} \cdot p_2^{1-\kappa}$

Hierbei ist $\kappa$ der Isentropenexponent, der durch das Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten bei konstantem Druck c_p und konstantem Volumen c_V gegeben ist:

Isentropenexponent

$\kappa = \dfrac{c_p}{c_v}$

Der Isentropenexponent ist dimensionslos.

Der Isentropenexponent κ hängt von der Struktur und Beweglichkeit der Teilchen im Gas ab.

Einatomige Gase haben nur translatorische Freiheitsgrade (Bewegung entlang der drei Raumachsen), was einen höheren Isentropenexponenten ergibt.
Zweiatomige Gase besitzen zusätzlich zu den translatorischen auch Rotationsfreiheitsgrade, die Energie aufnehmen können, weshalb der Isentropenexponent niedriger ist als bei einatomigen Gasen.
Für dreiatomige Gase variiert der Isentropenexponent stärker, abhängig von der Molekülstruktur und Temperatur. Dreiatomige Gase können zudem Schwingungsmoden haben, die bei höheren Temperaturen Energie aufnehmen. Diese zusätzlichen Freiheitsgrade senken κ weiter.

Der Isentropenexponent kann also auch über die Freiheitsgrade wie folgt bestimmt werden:

Isentropenexponent

$\kappa = \dfrac{f + 2}{f}$

mit

$f_{\text{rot}} = f_{\text{trans}} + f_{\text{rot}}$

Übersicht: Isentropenexponente

In der folgenden Tabelle siehst du einatomige und zweiatomige Gase sowie den Isentropenexponenten. Die Isentropenexponenten sind für alle ein- und zweiatomigen Gase, die sich ideal verhalten und bei moderaten Temperaturen betrachtet werden, konstant.

Einatomige Gase $\kappa = \dfrac{5}{3} = 1,67$	Zweiatomige Gase $\kappa = \dfrac{7}{5} = 1,4$
Helium (He)	Sauerstoff (O₂)
Neon (Ne)	Stickstoff (N₂)
Argon (Ar)	Wasserstoff (H₂)
Krypton (Kr)	Fluor (F₂)
Xenon (Xe)	Chlor (Cl₂)

Bei dreiatomigen Gasen wird κ durch die Anzahl und Art der möglichen Bewegungen und Schwingungen der Moleküle bestimmt, die mehr Energie aufnehmen können als bei ein- oder zweiatomigen Gasen. Dreiatomige Moleküle haben drei Bewegungsrichtungen (entlang der Raumachsen) und zusätzlich zwei oder drei Rotationsmöglichkeiten, je nachdem, ob das Molekül linear oder gewinkelt ist. Bei höheren Temperaturen können außerdem Schwingungen angeregt werden, was den Isentropenexponenten weiter verringert.

Typischerweise liegt der Isentropenexponent für dreiatomige Gase, abhängig von Molekülform und Temperatur, im Bereich von 1,2 bis 1,3. In der folgenden Tabelle siehst du einige dreiatomige Gase und ihre Isentropenexponenten:

Dreiatomige Gase – Struktur	Isentropenexponent
Kohlendioxid (CO₂) – linear	κ ≈ 1,3
Wasserdampf (H₂O) – gewinkelt	κ ≈ 1,33
Schwefeldioxid (SO₂) – gewinkelt	κ ≈ 1,29
Distickstoffmonoxid (N₂O) – linear	κ ≈ 1,31
Ozon (O₃) – gewinkelt	κ ≈ 1,29

Diese Werte sind typisch und können bei unterschiedlichen Bedingungen leicht variieren. Lineare Moleküle wie CO_₂ und N_₂O haben in der Regel geringfügig andere Exponenten als gewinkelte Moleküle wie H_₂O oder SO_₂.

Temperatur-Volumen-Druck Beziehungen

Wir betrachten die obigen drei Gleichungen und stellen diese nach dem Druckverhältnis und dem Temperaturverhältnis um.

Temperatur-Volumen-Beziehung

Die Temperatur und das Volumen haben den folgenden Zusammenhang:

$\dfrac{T_2}{T_1} = (\dfrac{V_1}{V_2})^{\kappa - 1}$

Temperatur-Druck-Beziehung

Die Temperatur und der Druck haben den folgenden Zusammenhang:

$\dfrac{T_2}{T_1} = (\dfrac{p_2}{p_1})^{\dfrac{1-\kappa}{\kappa}}$

Druck-Volumen-Beziehung

Der Druck und das Volumen haben bei der adiabatischen Zustandsänderung folgenden Zusammenhang:

$\dfrac{p_2}{p_1} = (\dfrac{V_1}{V_2})^{\kappa}$

Änderung der inneren Energie

Kalorisch wird die innere Energie über die folgende Gleichung bestimmt:

$U_2 - U_1 = m \cdot c_v \cdot (T_2 - T_1)$

Wir können nun die obigen Zusammenhänge einsetzen, indem wir die Gleichung so umstellen, dass die Temperaturdifferenz (T₂ – T₁) so umgestellt wird, dass ein Temperaturverhältnis T₂/T₁ resultiert:

$U_2 - U_1 = m \cdot c_v \cdot (T_2 - T_1)$ | ausklammern von T₁

$U_2 - U_1 = m \cdot c_v \cdot T_1 (\dfrac{T_2}{T_1} - 1)$

Wir setzen nun die obigen beiden Temperaturbeziehungen dort ein und erhalten damit die Änderung der inneren Energie bei einem isentropen Prozess:

Änderung der inneren Energie

$U_2 - U_1 = m \cdot c_v \cdot T_1 ( (\dfrac{V_1}{V_2})^{\kappa - 1} - 1)$

$U_2 - U_1 = m \cdot c_v \cdot T_1 ((\dfrac{p_2}{p_1})^{\dfrac{1-\kappa}{\kappa}} - 1)$

Volumenänderungsarbeit

Betrachten wir den 1.Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene reversible Systeme so gilt:

$U_2 - U_1 = Q + W_V$

Da keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht wird (Q = 0), gilt:

$U_2 - U_1 = W_V$

Damit ist bei einem reversiblen adiabatischen Prozess die Änderung der inneren Energie gleich der Volumenänderungsarbeit. Damit können die obigen Gleichungen für die Änderung der inneren Energie auch für die Volumenänderungsarbeit verwendet werden:

Volumenänderungsarbeit

$W_V = m \cdot c_v \cdot (T_2 - T_1)$

$W_V = m \cdot c_v \cdot T_1 ( (\dfrac{V_1}{V_2})^{\kappa - 1} - 1)$

$W_V = m \cdot c_v \cdot T_1 ((\dfrac{p_2}{p_1})^{\dfrac{1-\kappa}{\kappa}} - 1)$

Bei einer adiabatischen reversiblen Expansion findet kein Wärmeaustausch mit der Umgebung statt (Q₁₂ = 0). Das bedeutet, dass die gesamte Arbeit, die das Gas verrichtet, um das Volumen zu vergrößern, aus seiner inneren Energie entzogen wird.

pV-Diagramm

Die Volumenänderungsarbeit kann im p,V-Diagramm dargestellt werden und entspricht der Fläche unter der Kurve zur Abszisse (V-Achse):

In der obigen Grafik sieht du das pV-Diagramm für eine isentrope (adiabatische und reversible) Zustandsänderung während einer Expansion. Hier sind die Hauptpunkte zusammengefasst:

Expansion:
Bei einer isentropen Expansion vergrößert sich das Volumen, was dazu führt, dass sowohl der Druck als auch die Temperatur des Gases sinken.
pV-Diagramm:
Im Diagramm ist die isentrope Kurve typischerweise steiler als die isotherme Kurve. Das bedeutet, dass bei einer isentropen Zustandsänderung der Druck stärker abnimmt als bei einer isothermen Zustandsänderung, wenn sich das Volumen um den gleichen Betrag ändert.
Isotherme vs. Isentrope Zustandsänderung:
Isotherme Zustandsänderung: Hier bleibt die Temperatur konstant, was bedeutet, dass bei einer Volumenvergrößerung der Druck langsamer abnimmt. Der Austausch von Wärme mit der Umgebung hält die Temperatur stabil.
Isentrope Zustandsänderung: Bei dieser Art von Prozess gibt es keinen Wärmeaustausch mit der Umgebung (Q₁₂ = 0), was bedeutet, dass die gesamte Arbeit, die beim Volumenwechsel verrichtet wird, aus der inneren Energie des Gases entnommen wird. Dadurch sinkt der Druck und die Temperatur schneller als in einem isothermen Prozess.

Zusammenfassend zeigt das pV-Diagramm, dass die isentrope Kurve steiler ist, was die schnellere Abnahme des Drucks bei der isentropen Expansion im Vergleich zur isothermen Expansion verdeutlicht.

Aufgabe 1) Isentrope Zustandsänderung

Aufgabenstellung

In einem Zylinder ist ein Volumen V₁ durch einen leicht verschiebbaren Kolben angeschlossen. In diesem Volumen V₁ befindet sich die Teilchenmenge n = 1 mol des Gases Strickstoff (N₂) bei einer Anfangstemperatur von t₁ = 0°C und dem Anfangsdruck von p₁ = 1,0 bar. Es findet eine Kompression auf das Volumen V₂ = 1/5 V₁ statt.

Reibungsverluste werden vernachlässigt. Die Kompression findet rasch statt, so dass kein Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfindet.

a) Welche Temperatur t₂ und welcher Druck p₂ stellt sich nach der Kompression ein?

b) Welche Volumenänderungsarbeit wurde bei der Kompression verrichtet?

Lösung Aufgabe 1)

Wir betrachten hier eine isentrope Zustandsänderung. Das erkennst du daran, dass kein Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfindet und keine Reibungsverluste auftreten. Damit ist die Zustandsänderung adiabat (kein Wärmeaustausch) und reversible (keine Reibungsverluste).

Gegebene Werte in SI-Einheiten überführt:

$T_1 = 0 + 273,15 K = 273,15 K$

$n = 1 mol$

$p_1 = 1 bar = 100.000 Pa$

$V_2 = \frac{1}{5} V_1$

Lösung a) Temperatur und Druck

Zunächst überlegen wir uns, wie wir Druck und Temperatur aus den gegebenen Werte berechnen können, wenn eine isentrope Zustandsänderung gegeben ist. Zunächst können wir aus der Zustandsgleichung idealer Gase das Volumen V₁ berechnen:

$p \cdot V= n \cdot R \cdot T$

Für den Zustand 1:

$p_1 \cdot V_1 = n \cdot R \cdot T_1$

Die allgemeine Gaskonstante lautet:

$R = 8,31446 \frac{J}{mol \cdot K}$

Außerdem haben wir p₁ = 100.000 Pa, n = 1 mol und T₁ = 273,15 K gegeben. Wir können also V₁ berechnen. Dazu stellen wir die obige Gleichung nach V₁ um:

$V_1 = \dfrac{n \cdot R \cdot T_1}{p_1}$

Wir setzen alle Werte ein:

$V_1 = \dfrac{1 mol \cdot 8,31446 \frac{J}{mol \cdot K} \cdot 273,15 K}{100.000 Pa}$

$V_1 = 0,0227 m^3$

Warum m³?

Dazu betrachten wir den Einheitenbruch:

$V_1 = \dfrac{mol \cdot \frac{J}{mol \cdot K} \cdot K}{ Pa}$

Kürzen von K und mol:

$V_1 = \dfrac{J}{Pa}$

$V_1 = \dfrac{\frac{kg \cdot m^2}{s^2}}{\frac{kg}{m \cdot s^2}}$

Den Bruch im Nenner können wir auch anstelle diesen zu dividieren, mit dem Kehrwert multiplizieren:

$V_1 = \frac{kg \cdot m^2}{s^2} \cdot \frac{m \cdot s^2}{kg}$

Kürzen von kg und s²:

$V_1 = m^3$

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Nachdem wir V₁ bestimmt haben, können wir auch V₂ berechnen:

$V_2 = \frac{1}{5} V_1 = \frac{1}{5} \cdot 0,0227 m^3 = 0,00454 m^3$

Wir betrachten als nächstes die Formeln der isentropen Zustandsänderung und überlegen, welche wir heranziehen können um T₂ oder p₂ zu berechnen. Wir können diese Zusammenhänge heranziehen:

(1) $\dfrac{T_2}{T_1} = (\dfrac{V_1}{V_2})^{\kappa - 1}$

(2) $\dfrac{p_2}{p_1} = (\dfrac{V_1}{V_2})^{\kappa}$

Wir lösen (1) nach T₂ und (2) nach p₂ auf:

(1) $T_2 = (\dfrac{V_1}{V_2})^{\kappa - 1} \cdot T_1$

(2) $p_2 = (\dfrac{V_1}{V_2})^{\kappa} \cdot p_1$

Wir haben alle Werte außer den Isentropenexponenten $\kappa$ gegeben. Aus der Tabelle (vorheriger Abschnitt) können wir diesen ablesen mit:

$\kappa_{N_2} = 1,4$

Wir können alle Werte einsetzen:

(1) $T_2 = (\dfrac{0,0227 m^3}{0,00454 m^3})^{1,4 - 1} \cdot 273,15 K$

$T_2 = 519,98 K$

$t_2 = 519,98 K - 273,15 = 246,83 ^{\circ} C$

(2) $p_2 = (\dfrac{0,0227 m^3}{0,00454 m^3})^{1,4} \cdot 100.000 Pa$

$p_2 = 951.827 Pa$

Im folgenden pV-Diagramm sehen wir die gegebene isentrope Kompression:

Lösung b) Volumenänderungsarbeit

Wir wollen als nächstes die Volumenänderungsarbeit berechnen, die dem Gas zugeführt wird. Bei der isentropen Zustandsänderung kann die Volumenänderungsarbeit wie folgt berechnet werden:

$U_2 - U_1 = W_V = m \cdot c_v \cdot (T_2 - T_1)$

Bei der isentropen Zustandsänderung sind Volumenänderungsarbeit und innere Energie gleich groß. Hierbei handelt es sich um die kalorische Zustandsgleichung. Da wir die Masse m nicht gegeben haben, wohl aber die Stoffmenge n, können wir folgenden Zusammenhang nutzen:

[siehe: Kalorische Zustandsgleichungen für ideale Gase (spezifische, extensive, molare)]

$c_v = \frac{C_{mv} \cdot n }{m}$

Wir setzen diesen Zusammenhang ein:

$W_V = m \cdot \frac{C_{mv} \cdot n }{m} \cdot (T_2 - T_1)$

Damit kürzt sich m raus:

$W_V = C_{mv} \cdot n \cdot (T_2 - T_1)$

Es gilt zudem der folgende Zusammenhang [siehe: Kalorische Zustandsgleichungen für ideale Gase (spezifische, extensive, molare)]:

$C_{mv} = \frac{f}{2} R_m$

Die Freiheitsgrade von Stickstoff liegen bei f = 5 (zweiatomiges Gas). Die universelle Gaskonstante kennen wir auch:

$f = 5$

$R_m = 8,31446 \frac{J}{mol \cdot K}$

Wir setzen die Werte ein:

$C_{mv} = \frac{5}{2} \cdot 8,31446 \frac{J}{mol \cdot K}$

$C_{mv} = 20,79 \frac{J}{mol \cdot K}$

Wir können jetzt die Volumenänderungsarbeit berechnen:

$W_V = C_{mv} \cdot n \cdot (T_2 - T_1)$

$W_V = 20,79 \frac{J}{mol \cdot K} \cdot 1 mol \cdot (519,98 K - 273,15 K)$

$W_V = 5.131,6 J$

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