PH4 – Newtonsches Grundgesetz [Definition, Formeln, Beispiele, Videos, Aufgaben]

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Inhaltsverzeichnis:
In dieser Lerneinheit behandeln wir das zweite Newtonsche Gesetz, welches auch als Newtonsches Grundgesetz bezeichnet wird.

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei  Videos und vier unterschiedliche Beispiele zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Kinetik findest du im Kurs: PH4-Kinetik

 

2. Newtonsches Gesetz – Definition

Das Newtonsche Grundgesetz besagt, dass ein Körper eine Beschleunigung erfährt, wenn eine resultierende Kraft auf ihn wirkt. Die Beschleunigung hat die gleiche Richtung wie die resultierende Kraft und ist umgekehrt proportional zur Masse des Körpers. Das bedeutet, dass bei gleicher Kraft ein leichterer Körper eine größere Beschleunigung erfährt als ein schwerer Körper.

Das zweite Newtonsche Grundgesetz ist besonders nützlich, um die Bewegung von Körpern unter dem Einfluss von Kräften zu analysieren. Es erklärt, wie Kräfte Körper beschleunigen oder verlangsamen können. Zum Beispiel kann eine resultierende Kraft ein Auto beschleunigen oder bremsen, abhängig von der Richtung und Stärke der Kraft im Vergleich zur Masse des Autos.

Das zweite Newtonsche Grundgesetz ist ein fundamentales Konzept in der Physik und ermöglicht es uns, die Beziehung zwischen Kraft, Masse und Beschleunigung zu verstehen. Es bildet die Grundlage für die Berechnung von Bewegungen und Interaktionen in verschiedenen physikalischen Systemen.

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Aus der vorherigen Lerneinheit weißt du bereits, dass der Bewegungszustand (Ruhe oder gleichförmige Bewegung) eines Körpers solange erhalten bleibt, solange keine äußeren Kräfte auf den Körper einwirken bzw. die Summe aller auf den Körper wirkenden Kräfte gleich Null ist.

Das wiederum bedeutet, dass der Körper seinen Bewegungszustand ändert, wenn eine Kraft auf ihn einwirkt bzw. die Summe der Kräfte nicht mehr gleich Null ist.

Das passiert wenn eine Kraft auf den Körper wirkt

  • Der Körper ändert seine Geschwindigkeit (wird langsamer oder schneller).
  • Der Körper ändert seine Richtung.

 

Wirkt also eine äußere Kraft auf den Körper, so ändert dieser seinen Bewegungszustand. Ändert der Körper seine Geschwindigkeit, so spricht man von einer beschleunigten Bewegung, welche dir bereits aus der Kinematik bekannt sein sollte (Onlinekurs: Ph3 – Grundlagen der Kinematik).

 

Newtonsches Grundgesetz – Beispiel im Alltag

Hier sind einige Beispiele für das zweite Newtonsche Gesetz im Alltag.

  • Schieben eines Einkaufswagens: Wenn du einen schweren Einkaufswagen schiebst, musst du eine größere Kraft aufwenden, um ihn zu beschleunigen oder zum Stillstand zu bringen. 

  • Treten eines Fußballs: Wenn du gegen einen Fußball trittst, wirkt eine Kraft auf den Ball. Die Beschleunigung des Balls hängt von der Stärke deines Kicks ab und davon, wie leicht oder schwer der Ball ist. Ein stärkerer Kick oder ein leichterer Ball führt zu einer größeren Beschleunigung gemäß dem zweiten Newtonschen Gesetz.

  • Starten eines Fahrrads: Wenn du mit einem Fahrrad vom Stillstand aus beschleunigst, musst du in die Pedale treten und eine Kraft auf das Fahrrad ausüben. Die Beschleunigung des Fahrrads hängt von der auf das Fahrrad ausgeübten Kraft ab und von seiner Masse. Ein stärkerer Tritt oder ein leichteres Fahrrad führt zu einer größeren Beschleunigung.

  • Werfen eines Baseballs: Wenn du einen Baseball wirfst, wird eine Kraft auf den Ball ausgeübt, die von der Stärke deines Wurfs abhängt. Die Beschleunigung des Balls hängt auch von der Masse des Balls ab. Ein stärkerer Wurf oder ein leichterer Ball führt zu einer größeren Beschleunigung gemäß dem zweiten Newtonschen Gesetz.

  • Bremsen eines Autos: Beim Bremsen eines Autos wirkt eine Bremskraft auf das Fahrzeug. Die Beschleunigung des Autos in Richtung des Stillstands hängt von der auf das Auto ausgeübten Bremskraft und von der Masse des Autos ab. Ein stärkeres Bremsen oder ein leichteres Auto führt zu einer größeren Beschleunigung und einem kürzeren Bremsweg.

Diese Beispiele mögen dir veranschaulichen, wie das zweite Newtonsche Gesetz im Alltag wirkt, indem es die Beziehung zwischen Kraft, Masse und Beschleunigung beschreibt. Das Gesetz ermöglicht es uns, die Bewegung von Objekten unter dem Einfluss von Kräften zu verstehen und mathematisch zu berechnen.

 

Newtonsches Grundgesetz – Formel

Das 2. Newtonsche Gesetz stellt einen Zusammenhang zwischen den physikalischen Größen Kraft F, Masse m und Beschleunigung a her. Die Formel lautet:

Newtonsches Grundgesetz

F = m \cdot a 

mit

m  Masse in kg

a  Beschleunigung in m/s²

 

Kraft F und Beschleunigung a sind gerichtete Größen und zeigen immer in dieselbe Richtung. Eine Kraft die eine Kiste horizontal nach rechts verschiebt, hat also eine nach rechts gerichtete Beschleunigung der Kiste zur Folge:

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Newtonsches Grundgesetz – gerichtete Größen

 

Die obige Kiste wird mittels einer Kraft F horizontal nach rechts geschoben und damit erfolgt die Beschleunigung a der Kiste ebenfalls horizontal nach rechts. Das Newtonsche Grundgesetz können wir im obigen Fall anwenden, um eine der drei Größen (F, m, a) zu berechnen, wenn die anderen beiden Größen gegeben sind.

Merk’s dir!

Ist die Beschleunigung hingegen Null, so ist auch die Kraft F Null und der betrachtete Körper (hier: Kiste) befindet sich in Ruhe. Hierbei ist zu beachten, dass F die resultierende Kraft ist, also die Summe aller an die Kiste angreifenden Kräfte.

 

Newtonsches Grundgesetz ohne Reibung

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Bewegung der Kiste bei glatter Oberfläche

 

Betrachten wir dazu eine Kiste mit der Masse m = 100 kg auf welche eine Kraft F = 250 N wirkt. Schneiden wir die Kiste frei, so müssen wir die Normalkraft FN abtragen, mit welcher die horizontale Ebene ersetzt wird:

 

Normalkraft – Formel

Wir tragen für die horizontale Ebene, auf welcher die Kiste steht, die Normalkraft FN an. Diese steht immer senkrecht zur Ebene. Die Normalkraft wird wie folgt berechnet:

Normalkraft

F_N = m \cdot g \cdot cos(\alpha)   

mit

m Masse [kg]

g Erdbeschleunigung [g = 9,81 m/s²]

\alpha  Neigungswinkel der Ebene in Grad     

 

Hierbei ist \alpha der Winkel von der Ebene zur Horizontalen. Im obigen Beispiel ist der Winkel Null, da die Ebene eine Horizontale ist. Damit ist \alpha = 0^\circ und \cos(0^\circ) = 1.

 

Normalkraft bei horizontaler Ebene

Es ergibt sich also für die Normalkraft bei einer horizontalen Ebene:

Normalkraft – horizontale Ebene

F_N = m \cdot g

 

Setzen wir die gegebene Werte ein, so erhalten wir für die Normalkraft:

F_N = 100 kg \cdot 9,81 \dfrac{m}{s^2} = 981 N

 

Da die Ebene glatt ist, entsteht zwischen Kiste und Ebene keine Reibung und somit tritt keine Reibungskraft auf. Insgesamt ergeben sich also die beiden Kräfte F_N und F. Die Beschleunigung der Kiste ist horizontal nach rechts angegeben. Für die Anwendung des Newtonschen Grundgesetzes dürfen nur Kräfte berücksichtigt werden, die horizontal wirken, also in Richtung der Bewegung oder eben genau entgegengesetzt zur Bewegung.

 

Beschleunigung berechnen

In Richtung der Bewegung zeigt die äußere Kraft F. Ansonsten wirken keine weiteren horizontalen Kräfte auf die Kiste. Somit ergibt sich für das Newtonsche Grundgesetz:

F = m \cdot a

250 N = 100 kg \cdot a

 

Hierbei ist a die Beschleunigung der Kiste entlang der horizontalen Ebene. Diese Beschleunigung wollen wir berechnen. Auflösen nach a:

a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{250 N}{100 kg} = 2,5 \dfrac{m}{s^2}

 

Die Beschleunigung der Kiste beträgt 2,5 m/s². Die Normalkraft FN ist für die Berechnung der Beschleunigung nicht relevant, da diese senkrecht zur Bewegung steht, also nicht in Richtung der Bewegung wirkt. Sie hat also keinen Einfluss auf die Bewegung.

 

Videos: Newtonsches Grundgesetz

Schauen wir uns zum Newtonschen Grundgesetz ohne Reibung mal die folgenden Videos an.

Lernclip
Newtonsches Grundgesetz – ohne Reibung

 

Newtonsches Grundgesetz ohne Reibung

 

Newtonsches Grundgesetz – Zwei Kräfte – ohne Reibung

 

Newtonsches Grundgesetz mit Reibung

Betrachten wir wieder die obige Kiste mit m = 100 kg und F = 250 N. Dieses Mal soll aber die Reibung zwischen Kiste und Ebene berücksichtigt werden (Gleitreibungskoeffizient: μ = 0,15):

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Kräfte an einer Kiste (mit Reibung)

 

Du kannst sofort an dem Gleitreibungskoeffizient μ erkennen, dass die horizontale Ebene rau ist und damit Reibung zwischen Kiste und Ebene auftritt.

Merk’s dir!

Es gibt zwei unterschiedliche Reibungskoeffizienten, die beide zu einer Reibungskraft F_R führen. Ist der Haftungskoeffizient \mu_0 gegeben, so befindet sich die Kiste in Ruhe und die Beschleunigung ist Null (a = 0). Ist der Gleitreibungskoeffizient \mu gegeben, so bewegt sich die Kiste.

 

Wir sehen in der obigen rechten Abbildung, dass die Reibungskraft FR infolge der rauen Ebene berücksichtigt werden muss. Die Reibungskraft wirkt immer entgegengesetzt zur Bewegung. Die obige Kiste wird horizontal nach rechts beschleunigt, damit muss die Reibungskraft horizontal nach links wirken.

Berechnet wird die Reibungskraft aus der Normalkraft, die nun einen indirekten Einfluss auf das Newtonschen Grundgesetz hat:

Reibungskraft

F_R = \mu \cdot F_N

mit

\mu Reibungskoeffizient

F_N Normalkraft

 

Beschleunigung berechnen

In der obigen rechten Grafik siehst du alle Kräfte, die auf die Kiste wirken. Wir betrachten nun alle Kräfte die entweder in Richtung der Bewegung oder genau entgegengesetzt zur Bewegung wirken. Die äußere Kraft F wirkt in Richtung der Bewegung, wird also positiv berücksichtigt. Die Reibungskraft wirkt genau entgegengesetzt zur Bewegung, wird also negativ berücksichtigt. Die Normalkraft wirkt senkrecht zur Bewegung, wird also innerhalb des Newtonschen Grundgesetzes nicht berücksichtigt, hat aber einen indirekten Einfluss auf die Berechnung, da die Reibungskraft aus der Normalkraft berechnet wird.

Das Newtonsche Grundgesetz ergibt sich wie folgt:

 

F - F_R = m \cdot a

 

Wir berechnen die Normalkraft und daraus die Reibungskraft:

F_N = m \cdot g = 100 kg \cdot 9,81 \dfrac{m}{s^2} = 981 N

F_R = \mu \cdot F_N = 0,15 \cdot 981 N = 147,15 N

 

Einsetzen in das Newtonsche Grundgesetz:

250 N - 147,15 N = 100 kg \cdot a

102,85 N = 100 kg \cdot a

 

Auflösen nach a:

a = \dfrac{102,85 N}{100 kg} = 1,03 \dfrac{m}{s^2}

 

Die Beschleunigung der Kiste entlang der horizontalen Ebene beträgt 1,03 m/s². Du siehst, dass die Beschleunigung beim Auftreten von Reibung geringer ausfällt als ohne Reibung, da die Reibung zwischen Kiste und Ebene die Bewegung abbremst.

 

Video: Newtonsches Grundgesetz mit Reibung

Schauen wir uns zum Newtonschen Grundgesetz ohne Reibung mal die folgende Video an.

 

Schauen wir uns zum Newtonschen Grundgesetz einige Beispiele an.

Berechnungsbeispiele: Newtonsches Grundgesetz

Wir betrachten einige Beispiele zum Newtonschen Grundgesetz. Versuche zunächst die Beispiele selbstständig zu lösen, bevor du die Lösungen zur Hilfe nimmst.

 

Beispiel 1 : Kraft berechnen

Aufgabenstellung

Dein Auto ist stehen geblieben. Du willst dein Auto (1,5 Tonnen) ein paar Meter weiter nach vorne schieben, da du eine Einfahrt behinderst. Gehe davon aus, dass keine Reibung zwischen Reifen und Boden auftritt.

Welche Kraft musst du aufwenden, damit dein Fahrzeug mit 0,5 m/s² beschleunigt wird?

 

Hier kommt das Newtonsche Grundgesetz ins Spiel. Du willst dein Auto horizontal verschieben, demnach benötigst du eine horizontale Kraft:

F = m \cdot a

 

Wir haben die Masse in Tonnen gegeben. Zunächst rechnen wir die Einheit in die SI-Einheiten kg um:

1,5 t \cdot 1.000 = 1.500 kg

 

Einsetzen der bekannten Werte:

F = 1.500 kg \cdot 0,56 m/s^2 = 840 N

Du musst eine horizontale Kraft von 840 N aufwenden, damit du dein Auto mit 0,56 m/s beschleunigst.

 

Beispiel 2: Beschleunigung berechnen

Aufgabenstellung

Gegeben sei die Kraft F = 200 N mit welcher die 5 kg schwere Kiste horizontal nach rechts geschoben wird. Vernachlässige die Reibung der Kiste auf der Oberfläche.

Welche Beschleunigung resultiert?

 

Wir haben die Kraft F und die Masse m gegeben. Berechnen wollen wir die resultierende Beschleunigung a. Dazu müssen wir das Newtonsche Grundgesetz nach a auflösen:

F = m \cdot a     |:m

\dfrac{F}{m} = a

 

Einsetzen der gegebenen Werte (sind in SI-Einheiten gegeben):

\dfrac{200 N}{5 kg} = 40 \dfrac{m}{s^2}

 

Die Kiste erfährt eine Beschleunigung von 40 m/s².

 

Beispiel 3 : Masse berechnen

Aufgabenstellung

Eine Kiste wird mit einer Kraft von 80 N auf 1,5 m/s² beschleunigt. Vernachlässige die Reibung der Kiste auf der Oberfläche.

Welche Masse weist die Kiste auf? 

 

Gegeben ist die Kraft F = 80 N und die Beschleunigung a = 1,5 \dfrac{m}{s^2}. Wir wollen die Masse der Kiste berechnen:

F = m \cdot a          |:a

\dfrac{F}{a} = m

 

Einsetzen der Werte:

\dfrac{80 N}{1,5 \dfrac{m}{s^2}} = 53,33 kg

 

Die Kiste weist eine Masse von 53,33 kg auf.

 

Beispiel 4 : Kraft berechnen

Aufgabenstellung

Welche Zugkraft benötigt eine Lokomotive einer Eisenbahn, wenn ein Güterzug mit einer Gesamtmasse von  350 Tonnen auf einer horizontalen Strecke mit 0,3 m/s² gleichmäßig beschleunigt wird. Der gesamte Fahrwiderstand beträgt \mu = 0,04.

 

In diesem Beispiel tritt die Reibungskraft F_R auf, da die Gleitreibungszahl \mu = 0,04 angegeben wird.

 

Wir berechnen also zunächst die Normalkraft, um daraus die Reibungskraft zu berechnen:

F_N = m \cdot g = 250.000 kg \cdot 9,81 \dfrac{m}{s^2} = 2.452.500 N

 

Die Reibungskraft berechnet sich dann aus der Normalkraft und dem Gleitreibungskoeffizienten:

F_R = \mu \cdot F_R = 0,04 \cdot 2.452.500 N = 98.100 N

 

Das Newtonsche Grundgesetz lautet:

F = m \cdot a

 

Wir müssen nun die Zugkraft F berechnen, welche die Lokomotive aufweisen muss, um den Güterzug aus dem Stand mit 0,3 m/s² gleichmäßig zu beschleunigen. Dabei muss natürlich der Fahrwiderstand, also die berechnete Reibungskraft, ebenfalls berücksichtigt werden, da diese die Bewegung abbremst. Die Zugkraft zeigt in Richtung der Bewegung, die Reibungskraft entgegengesetzt zur Bewegung:

F_{zug} - F_R = m \cdot a

F_{zug} - 98.100 N = 250.000 kg \cdot 0,3 \dfrac{m}{s^2}

 

Auflösen nach der Zugkraft, da wir diese suchen:

F_{zug} = 250.000 kg \cdot 0,3 \dfrac{m}{s^2} + 98.100 N

F_{zug} = 173.100 N

 

Die Lokomotive benötigt eine Zugkraft von 173,1 kN um den Güterzug aus dem Stand mit 0,3 m/s² gleichmäßig zu beschleunigen.

 

Was kommt als Nächstes?

Nachdem du nun das Newtonsches Grundgesetz kennst, schauen wir uns im nächsten Kurstext das 3. Newtonsche Gesetz (Wechselwirkungsprinzip) an.

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