(Ph4) Spannenergie berechnen [Grundlagen, Beispiele, Aufgaben]

In dieser Lerneinheit behandeln wir die Spannenergie.

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Physik findest du im Kurs: PH4-Kinetik

Spannenergie – Grundlagen

Merk’s dir!

Die Spannenergie ist eine Energieform, die in einem Körper aufgrund dessen elastischer Verformung steckt. Sie ist eine Unterform der potentiellen Energie. Die Spannenergie gibt an, wie viel Arbeit beispielsweise beim Spannen einer Feder verrichtet wurde.

Diese Energie tritt immer dann auf, wenn eine Feder gespannt oder gedehnt ist. Beim Spannen oder Dehnen einer Feder wird dieser Arbeit zugeführt (Spannarbeit). Diese zugeführte Arbeit wird dann innerhalb der Feder als Spannenergie gespeichert.

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Spannenergie – Formel / Einheit

Da die Spannenergie und die zugeführte Spannarbeit gleich groß sind, kannst du sie über die Gleichungen für die Spannarbeit berechnen:

$\boxed{E_{spann} = \dfrac{1}{2} \cdot D \cdot s^2}$

bzw.

$\boxed{E_{spann} = \dfrac{1}{2} \cdot F \cdot s}$

Die Einheit für Spannenergie ist Joule (J).

Merk’s dir!

Die durch Verlängerung oder Verkürzung einer Schraubenfeder zugeführte Energie bezeichnet man als Spannenergie E_spann.

Spannenergie – Beispiele im Alltag

Beispiel!

Hier sind einige Beispiele für die Nutzung von Spannenergie im Alltag:

Eine gespannte Feder: Eine Feder, die gedehnt oder komprimiert wird, speichert Spannenergie. Diese Energie kann freigesetzt werden, wenn die Feder losgelassen wird und sich wieder in ihre natürliche Form zurückbewegt. Spannenergie in Federn wird in verschiedenen Geräten genutzt, wie zum Beispiel in mechanischen Uhren, Federmäppchen oder in Stoßdämpfern von Fahrzeugen.
Ein gespannter Bogen: Wenn du einen Bogen spannst, wird Spannenergie in den Bogen und die Sehne gesteckt. Diese potentielle Energie wird freigesetzt, wenn du den Pfeil loslässt und sich der Bogen entspannt, was den Pfeil vorantreibt.
Ein gespanntes Gummiband: Wenn du ein Gummiband dehnst, wird Spannenergie in das Gummiband gespeichert. Wenn du das Gummiband loslässt, schnellt es zurück in seine ursprüngliche Form und gibt die gespeicherte Energie frei. Dies wird oft bei Gummitwist oder Spielzeugen mit Gummibandantrieb genutzt.
Spanngurte: Spanngurte, die verwendet werden, um Gegenstände zu sichern und zu transportieren, speichern ebenfalls Spannenergie. Wenn die Gurte festgezogen werden, wird Energie in die Gurte eingeführt, um die Spannung aufrechtzuerhalten und die Ladung zu halten.
Ein gespanntes Trampolin: Ein Trampolin, das gespannt ist, speichert Spannenergie in den Federn oder elastischen Bändern. Wenn jemand auf das Trampolin springt, wird die Spannenergie freigesetzt und verleiht dem Springer einen Auftrieb.

Diese sind nur einige Beispiele für die Nutzung von Spannenergie im Alltag. Die gespeicherte Spannenergie kann in verschiedenen Situationen genutzt werden, um Bewegung, Kraft oder eine Verbindung aufrechtzuerhalten.

Wie genau du die Spannenergie nutzen kannst, wollen wir dir in den folgenden Rechenbeispielen aufzeigen.

Beispiele zur Spannenergie

In den folgenden Beispielen zeigen wir dir, wie Berechnungen zur Spannenergie aussehen können. Versuche zunächst die Aufgaben selbstständig zu lösen und verwende dazu die obigen Gleichungen. Du solltest auch immer die Gleichungen aus den vorangegangenen Lerneinheiten zur Hand haben.

Klausuraufgabe 1: Spannenergie und kinetische Energie

Aufgabenstellung

Kinetische Energie und Spannenergie (Metallfeder)

Eine Feder wird mit einer Kraft von 250 N horizontal um 10 cm gespannt. Vor die gespannte Feder wird ein Gewicht mit der Masse von 10 kg gelegt. Danach wird die Feder wieder entspannt. Das Gewicht vor der Feder wird damit horizontal nach rechts bewegt. Wenn wir davon ausgehen, dass keinerlei Reibung gegeben ist, wie hoch ist dann die Geschwindigkeit des Gewichts nach dem vollständigen Entspannen der Feder?

Lösung

Die Spannenergie ist nichts anders als eine Form der potentiellen Energie, die solange in der Feder gespeichert ist, bis diese wieder entspannt wird. Wir betrachten zunächst die Spannenergie, welche die Feder im gespannten Zustand aufweist:

$E_{spann} = \dfrac{1}{2} \cdot D \cdot s^2$

Die Federkonstante D ist nicht gegeben, diese kannst du aber wie folgt berechnen:

$D = \dfrac{F}{s} = \dfrac{ 250 N}{0,1 m} = 2.500 N/m$

Wir können als nächstes die Spannenergie berechnen:

$E_{spann} = \dfrac{1}{2} \cdot 2.500 N/m \cdot (0,1m)^2 = 12,5 J$

Die gespeicherte Energie beträgt 12,5 J. Jetzt wird die Feder losgelassen und bewegt somit das Gewicht horizontal nach rechts. Nachdem die Feder sich vollständig entspannt hat, hat sich die Spannenergie komplett in kinetische Energie umgewandelt.

$E_{kin} = 12,5 J$

Die kinetische Energie wird von der Feder auf das Gewicht übertragen. Wir können nun also aus der Gleichung der kinetischen Energie die Geschwindigkeit berechnen:

$E_{kin} = \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$

$12,5 J = \dfrac{1}{2} \cdot 10 kg \cdot v^2$

Auflösen nach $v$ :

$v = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 12,5 J}{10 kg}} = 2,5 \dfrac{m}{s}$

Die Geschwindigkeit des Gewichts beträgt 2,5 m/s bzw. 9 km/h.

Klausuraufgabe 2: Spannenergie, kinetische und potentielle Energie

Aufgabenstellung

Eine Feder mit einer Federkonstanten von D = 20 N/cm wird um s = 10 cm gespannt.

a) Welche Spannenergie erhält sie dadurch?

b) Auf welche Geschwindigkeit kann sie eine Kugel mit einer Masse von m = 50 g beschleunigen, wenn die Spannenergie vollständig in kinetische Energie umgewandelt wird?

c) Wie hoch würde die Kugel bei senkrechtem Abschuss fliegen (Feder wäre dann senkrecht gerichtet)?

Lösung a) und b)

Lösung a) Spannenergie

Die Spannenergie wird berechnet zu:

$E_{spann}= \dfrac{1}{2} \cdot D \cdot s^2$

Bevor wir die Spannenergie berechnen können, müssen wir die gegebenen Werte zunächst in SI-Einheiten umrechnen:

$D = 20 \dfrac{N}{cm} = 20 \dfrac{N}{0,01 m} = 2.000 \dfrac{N}{m}$

$s = 10 cm = 10 \cdot 0,01 m = 0,1 m$

Einsetzen der Werte:

$E_{spann}= \dfrac{1}{2} \cdot 2.000 \dfrac{N}{m} \cdot (0,1m)^2 = 10 J$

Die Spannenergie beträgt 10 Joule.

Lösung b) Geschwindigkeit

Wird die Spannenergie vollständig in kinetische Energie umgewandelt, so gehen wir davon aus, dass keinerlei Reibung auftritt. Die Spannanergie und kinetische Energie sind dann gleich groß, nachdem die Feder vollständig entspannt ist:

$E_{kin} = E_{spann}$

Das ergibt mit der berechneten Spannenergie:

$E_{kin} = 10 J$

Die kinetische Energie können wir auf wie folgt ausdrücken:

$E_{kin} = \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$

Das ergibt dann:

$\dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = 10 J$

Umstellen nach der gesuchten Geschwindigkeit:

$\dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = 10 J$ | $\cdot 2$

$m \cdot v^2 = 20 J$ | $:m$

$v^2 = \dfrac{20 J}{m}$ | $\sqrt{}$

$v = \sqrt{\dfrac{20 J}{m} }$

Einsetzen der restlichen Werte führt zu:

$v = \sqrt{\dfrac{20 J}{0,05 kg} } = 20 \dfrac{m}{s}$

Die Kugel erreicht eine Geschwindigkeit von 20 m/s bzw. 72 km/h.

Hinweis!

Du kannst die Geschwindigkeit auch ohne vorherige Berechnung der Spannenergie bestimmen. Auch hier setzt du die kinetische Energie und die Spannenergie gleich:

$E_{kin} = E_{spann}$

Du setzt nun die Größen ein:

$\dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = \dfrac{1}{2} \cdot D \cdot s^2$

Umstellen nach der gesuchten Geschwindigkeit:

$\dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = \dfrac{1}{2} \cdot D \cdot s^2$ | $\cdot 2$

$m \cdot v^2 = D \cdot s^2$ | $:m$

$v^2 = \dfrac{D \cdot s^2}{m}$ | $\sqrt{}$

$v = \sqrt{\dfrac{D \cdot s^2}{m}}$

Da wir alle Werte auf der rechten Seite gegeben haben, können wir die Geschwindigkeit berechnen:

$v = \sqrt{\dfrac{2.000 \dfrac{N}{m} \cdot (0,1 m)^2}{0,05 kg}} = 20 \dfrac{m}{s}$

Lösung c) Höhe

Lösung c)

Die Spannenergie der Feder wandelt sich komplett in kinetische Energie um, da Reibung hier vernachlässigt wird. Also haben wir beim Abstoß der Kugel von der Feder kinetische Energie gegeben in Höhe von:

$E_{kin} = E_{spann} = \dfrac{1}{2} \cdot 2.000 \dfrac{N}{m} \cdot (0,1m)^2 = 10 J$

Nun wollen wir wissen wie hoch die Kugel fliegt. Wenn wir Luftreibung vernachlässigen, dann wandelt sich die kinetische Energie vollständig in potentielle Energie um. An ihrem höchsten Punkt “steht” die Kugel kurz in der Luft. Die potentielle Energie ist hier gleich der kinetischen Energie beim Abstoß der Kugel:

$E_{pot} = E_{kin}$

$m \cdot g \cdot h = 10 J$

Die obige Gleichung lösen wir nach der gesuchten Höhe h auf:

$m \cdot g \cdot h = 10 J$ | $:m$

$g \cdot h = \dfrac{10 J}{m}$ | $:g$

$h = \dfrac{10 J}{m \cdot g}$

Einsetzen der Werte:

$h = \dfrac{10 J}{0,05 kg \cdot 9,81 \dfrac{m}{s^2}} = 20,39 m$

Die Kugel erreicht ein Höhe von 20,39 m.

Was kommt als Nächstes?

In der folgenden Lerneinheit behandeln wir den Energieerhaltungssatz!

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