PH4 – Spannenergie berechnen [Definition, Beispiele, Aufgaben]

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Inhaltsverzeichnis:

Spannenergie ist eine Form von potentieller Energie, die in einem System gespeichert ist, wenn dieses deformiert oder verformt wird. 

Ein bekanntes Beispiel für elastische Spannenergie ist die Energie, die in einer gespannten oder gestreckten Feder gespeichert ist. Wenn eine Feder zusammengedrückt oder gestreckt wird, speichert sie potentielle Energie in Form von elastischer Verformung. Diese Energie kann freigesetzt werden, wenn die Feder losgelassen wird und sich wieder in ihre ursprüngliche Form zurückbewegt.

Spannenergie kann in kinetische Energie umgewandelt werden, wenn die Bedingungen dafür gegeben sind. Zum Beispiel wird die Spannenergie einer gespannten Feder in kinetische Energie umgewandelt, wenn die Feder losgelassen wird und sich schnell bewegt. Die Gesetze der Energieerhaltung stellen sicher, dass die Gesamtenergie des Systems konstant bleibt, auch wenn sie zwischen verschiedenen Formen der Energie umgewandelt wird.

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Kinetik findest du im Kurs: PH4-Kinetik.

 

Spannenergie – Definition

Spannenergie, gespannte Metallfedern, Feder, Federkonstante, Federsteifigkeit, Federweg, Auslenkung, Formel
Gespannte Metallfedern

 

Die Spannenergie ist eine Energieform, die in einem Körper aufgrund dessen elastischer Verformung steckt. Sie ist eine Unterform der potentiellen Energie. Sie gibt an, wie viel Arbeit beispielsweise beim Spannen einer Feder verrichtet wurde. 

Diese Energie tritt immer dann auf, wenn eine Feder gespannt oder gedehnt ist. Beim Spannen oder Dehnen einer Feder wird dieser Arbeit zugeführt (Spannarbeit). Diese zugeführte Arbeit wird dann innerhalb der Feder als potentielle Energie gespeichert.

Spannenergie, Feder, Federkonstante, Federsteifigkeit, Weg der Auslenkung, Auslenkung, Ruhelage, gespannte Feder
Schraubenfeder – Spannenergie

 

Spannenergie – Formel / Einheit

Da die Spannenergie und die zugeführte Spannarbeit gleich groß sind, kannst du sie über die Gleichungen für die Spannarbeit berechnen:

Spannenergie bzw. Spannarbeit

E_{spann} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2          

bzw.

E_{spann} = \frac{1}{2} \cdot F \cdot s          

Die abgeleitete SI-Einheit ist Joule (J).

 

Merk’s dir!

Die durch Verlängerung oder Stauchung einer Schraubenfeder zugeführte Energie bezeichnet man als Spannenergie Espann.

 

Spannenergie – Beispiele im Alltag

Hier sind einige Beispiele für die Nutzung von Spannenergie im Alltag:

  • Eine gespannte Feder: Eine Feder, die gedehnt oder komprimiert wird, speichert potentielle Energie. Diese Energie kann freigesetzt werden, wenn die Feder losgelassen wird und sich wieder in ihre natürliche Form zurückbewegt. Spannenergie in Federn wird in verschiedenen Geräten genutzt, wie zum Beispiel in mechanischen Uhren, Federmäppchen oder in Stoßdämpfern von Fahrzeugen.

  • Ein gespannter Bogen: Wenn du einen Bogen spannst, wird Spannenergie in den Bogen und die Sehne gesteckt. Diese potentielle Energie wird freigesetzt, wenn du den Pfeil loslässt und sich der Bogen entspannt, was den Pfeil vorantreibt.

  • Spanngurte: Spanngurte, die verwendet werden, um Gegenstände zu sichern und zu transportieren, speichern ebenfalls potentielle Energie. Wenn die Gurte festgezogen werden, wird Energie in die Gurte eingeführt, um die Spannung aufrechtzuerhalten und die Ladung zu halten.

  • Ein gespanntes Trampolin: Ein Trampolin, das gespannt ist, speichert Energie in den Federn oder elastischen Bändern. Wenn jemand auf das Trampolin springt, wird diese Energie freigesetzt und verleiht dem Springer einen Auftrieb.

Diese sind nur einige Beispiele für die Nutzung von Spannenergie im Alltag. Die gespeicherte Energie kann in verschiedenen Situationen genutzt werden, um Bewegung, Kraft oder eine Verbindung aufrechtzuerhalten.

 

Spannenergie Beispiele

In den folgenden Beispielen zeigen wir dir, wie Berechnungen zur Spannenergie aussehen können. Versuche zunächst die Aufgaben selbstständig zu lösen und verwende dazu die obigen Formeln. Du solltest auch immer die Gleichungen aus den vorangegangenen Lerneinheiten zur Hand haben.

 

Beispiel 1: Geschwindigkeit berechnen

Aufgabenstellung

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Beispiel: Geschwindigkeit berechnen

 

Eine Feder wird mit einer Kraft von 250 N horizontal um 10 cm gespannt. Vor die gespannte Feder wird ein Gewicht mit der Masse von 10 kg gelegt. Danach wird die Feder wieder entspannt. Das Gewicht vor der Feder wird damit horizontal nach rechts bewegt.

Wenn wir davon ausgehen, dass keinerlei Reibung gegeben ist, wie hoch ist dann die Geschwindigkeit des Gewichts nach dem vollständigen Entspannen der Feder?

 

Die Spannenergie ist nichts anders als eine Form der potentiellen Energie, die solange in der Feder gespeichert ist, bis diese wieder entspannt wird. Wir betrachten zunächst die Energie, welche die Feder im gespannten Zustand aufweist:

E_{spann} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2

 

Die Federkonstante D ist nicht gegeben, diese kannst du aber wie folgt berechnen:

D = \frac{F}{s} = \frac{ 250 N}{0,1 m} = 2.500 \frac{N}{m}

 

Wir können als nächstes die Spannenergie berechnen:

E_{spann} = \frac{1}{2} \cdot 2.500 \frac{N}{m} \cdot (0,1m)^2 = 12,5 J

 

Die gespeicherte Energie beträgt 12,5 J. Jetzt wird die Feder losgelassen und bewegt somit das Gewicht horizontal nach rechts. Nachdem die Feder sich vollständig entspannt hat, hat sich die gespeicherte Energie komplett in kinetische Energie umgewandelt.

E_{kin} = 12,5 J

 

Die kinetische Energie wird von der Feder auf das Gewicht übertragen. Wir können nun also aus der Gleichung der kinetischen Energie die Geschwindigkeit berechnen:

E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2

12,5 J =  \frac{1}{2} \cdot 10 kg \cdot v^2

 

Auflösen nach v:

v = \sqrt{\frac{2 \cdot 12,5 J}{10 kg}} = 2,5 \frac{m}{s}

 

Die Geschwindigkeit des Gewichts beträgt 2,5 m/s bzw. 9 km/h. 

 

Beispiel 2: Energie, Geschwindigkeit und Höhe

Aufgabenstellung

Eine Feder mit einer Federkonstanten von D = 20 N/cm wird um s = 10 cm gespannt.

a) Welche Spannenergie erhält sie dadurch?

b) Auf welche Geschwindigkeit kann sie eine Kugel mit einer Masse von m = 50 g beschleunigen, wenn die Spannenergie vollständig in kinetische Energie umgewandelt wird?

c) Wie hoch würde die Kugel bei senkrechtem Abschuss fliegen (Feder wäre dann senkrecht gerichtet)?

 

Lösung a) Spannenergie

Die Spannenergie wird berechnet zu:

E_{spann}=  \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2

 

Zunächst rechnen wir die gegebenen Werte in SI-Einheiten:

D = 20 \frac{N}{cm} = 20 \frac{N}{0,01 m} = 2.000 \frac{N}{m}

 

s = 10 cm = 10 \cdot 0,01 m = 0,1 m

 

Einsetzen der Werte:

E_{spann}=  \frac{1}{2} \cdot 2.000 \frac{N}{m} \cdot (0,1m)^2 = 10 J

Die Spannenergie beträgt 10 Joule.

 

Lösung b) Geschwindigkeit

Wird die gespeicherte Energie der Feder vollständig in kinetische Energie umgewandelt, so gehen wir davon aus, dass keinerlei Reibung auftritt. Die Spannenergie und kinetische Energie sind dann gleich groß, nachdem die Feder vollständig entspannt ist:

E_{kin} = E_{spann}

 

Das ergibt sich die kinetische Energie wie folgt:

E_{kin} = 10 J

 

Die kinetische Energie können wir auf wie folgt ausdrücken:

E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2

 

Das ergibt dann:

\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = 10 J

 

Umstellen nach der gesuchten Geschwindigkeit:

\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = 10 J       |\cdot 2

m \cdot v^2 = 20 J       |:m

v^2 = \frac{20 J}{m}       |\sqrt{}

v = \sqrt{\frac{20 J}{m} }

 

Einsetzen der restlichen Werte führt zu:

v = \sqrt{\frac{20 J}{0,05 kg} } = 20 \frac{m}{s}

Die Kugel erreicht eine Geschwindigkeit von 20 m/s bzw. 72 km/h.

 

Hinweis!

Du kannst die Geschwindigkeit auch ohne vorherige Berechnung der Spannenergie bestimmen. Auch hier setzt du die kinetische Energie und die Spannenergie gleich: 

E_{kin} = E_{spann}

 

Du setzt nun die Größen ein:

\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2
 

Umstellen nach der gesuchten Geschwindigkeit: 

\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2       |\cdot 2

m \cdot v^2 = D \cdot s^2       |:m

v^2 = \frac{D \cdot s^2}{m}       |\sqrt{}

v = \sqrt{\frac{D \cdot s^2}{m}}

 

Da wir alle Werte auf der rechten Seite gegeben haben, können wir die Geschwindigkeit berechnen:

v = \sqrt{\frac{2.000 \frac{N}{m} \cdot (0,1 m)^2}{0,05 kg}} = 20 \frac{m}{s}

 

Lösung c) Höhe

Die Spannenergie der Feder wandelt sich komplett in kinetische Energie um, da Reibung hier vernachlässigt wird. Also haben wir beim Abstoß der Kugel von der Feder kinetische Energie gegeben in Höhe von:

E_{kin} = E_{spann} = \frac{1}{2} \cdot 2.000 \frac{N}{m} \cdot (0,1m)^2 = 10 J

 

Nun wollen wir wissen wie hoch die Kugel fliegt. Wenn wir Luftreibung vernachlässigen, dann wandelt sich die kinetische Energie vollständig in potentielle Energie um. An ihrem höchsten Punkt “steht” die Kugel kurz in der Luft. Die potentielle Energie ist hier gleich der kinetischen Energie beim Abstoß der Kugel:

E_{pot} = E_{kin}

m \cdot g \cdot h = 10 J

 

Die obige Gleichung lösen wir nach der gesuchten Höhe h auf:

m \cdot g \cdot h = 10 J       |:m

g \cdot h = \frac{10 J}{m}      |:g

h = \frac{10 J}{m \cdot g}

 

Einsetzen der Werte:

h = \frac{10 J}{0,05 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}} = 20,39 m

 

Die Kugel erreicht ein Höhe von 20,39 m.

Was kommt als Nächstes?

In der folgenden Lerneinheit behandeln wir den Energieerhaltungssatz!

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