PH4 – Energieerhaltungssatz [Erklärung, Beispiel, Berechnung]

In dieser Lerneinheit behandeln wir den Energieerhaltungssatz der Mechanik.

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Physik findest du im Kurs: PH4-Kinetik

Energieerhaltungssatz – Definition

Der Energieerhaltungssatz der Mechanik besagt nichts anderes, als dass die Summe der potentiellen und kinetischen Energie in einem abgeschlossenen System konstant bleibt.

Von einem abgeschlossenen System wird gesprochen, wenn das System keine Wechselwirkung mit der Umgebung aufweist. Reibungskräfte werden in einem solchen Fall nicht berücksichtigt.

Grundsätzlich gilt, dass Energie weder erzeugt noch vernichtet werden. Sie kann nur von einer Form in andere Formen umgewandelt oder von einem Körper auf andere Körper übertragen werden.

Energieerhaltungssatz – Formel

Die Gesamtenergie in einem abgeschlossenen System (=isoliertes System) bleibt konstant. Damit ist die Summe aus potentieller und kinetischer Energie konstant:

Energieerhaltungssatz

$E_{kin} + E_{pot} = const$

Betrachten wir nun eine Zustandsänderung von einen Zustand 1 auf einen Zustand 2, so ist die Summe aus potentieller und kinetischer Energie in beiden Zuständen gleich groß:

Energieerhaltungssatz bei Zustandsänderung

$E_{kin,1} + E_{pot,1} = E_{kin,2} + E_{pot,2}$

Betrachten wir hierzu ein einfaches Beispiel.

Isoliertes System: Fallender Ball

Wir betrachten einen Ball (m = 1kg), den wir 1m über dem Boden in der Hand halten. Wir Vernachlässigen den Luftwiderstand und betrachten den Ball als isoliertes System. Im Zustand 1 weist dieser zum Boden potentielle Energie auf:

$E_{pot,1} = m \cdot g \cdot h = 1kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 1m = 9,81 J$

Die kinetische Energie ist Null, da der Ball in unserer Hand liegt und sich damit nicht bewegt:

$E_{kin,1} = 0$

Wir haben also eine Gesamtenergie im Zustand 1 gegeben von:

$E_{ges,1} = 9,81 J + 0 J = 9,81 J$

Wir lassen den Ball zu Boden fallen. Während des Fallens wandelt sich potentielle in kinetische Energie um. Die Gesamtenergie ändert sich dabei nicht. Unmittelbar vor dem Aufprall auf den Boden (= Zustand 2) besitzt der Ball keine potentielle Energie mehr, da kein Höhenunterschied mehr besteht. Wie hoch ist jetzt die kinetische Energie?

$E_{ges,2} = E_{ges,1}$

$E_{ges,2} = 9,81 J$

Die Gesamtenergie im Zustand 2 ist identisch mit der Gesamtenergie im Zustand 1:

$E_{ges,2} = E_{kin,2} + E_{pot,2}$

$9,81 J = E_{kin,2} +0 J$

Die kinetische Energie beträgt 9,81 J, da die Gesamtenergie sich nicht ändert und die potentielle Energie Null ist.

Anmerkung: Nachdem der Ball auf den Boden aufgeprallt ist, besitzt er weder kinetische noch potentielle Energie. Allerdings wandelt sich hier die kinetische Energie beim Aufprall in andere Energieformen wie Verformungsenergie oder Wärmeenergie um. Das isolierte System “Fallender Ball” ist damit aber nicht mehr gegeben.

Energieerhaltungssatz – Beispiele

Hier sind einige Beispiele für den Energieerhaltungssatz (unter Vernachlässigung von Reibungskräften wie z.B. Luftwiderstand):

Federpendel: Ein Federpendel schwingt hin und her zwischen maximaler kinetischer Energie (wenn es durch die maximale Auslenkung die höchste Geschwindigkeit erreicht) und maximaler potenzieller Energie (wenn es die maximale Auslenkung erreicht hat und die Feder gestreckt ist). Während dieser Schwingungen bleibt die Gesamtenergie des Systems, bestehend aus kinetischer und potenzieller Energie, konstant.
Fallender Körper: Ein Körper, der von einer bestimmten Höhe fällt, gewinnt aufgrund seiner Bewegung kinetische Energie. Gleichzeitig nimmt seine potenzielle Energie aufgrund des Falls ab. Die Gesamtenergie des fallenden Körpers (kinetische plus potenzielle Energie) bleibt konstant, solange keine äußeren Kräfte wie Luftwiderstand berücksichtigt werden.
Schwingender Pendel: Ein Pendel, das hin und her schwingt, wandelt kontinuierlich zwischen kinetischer Energie (wenn es sich am tiefsten Punkt der Schwingung mit maximaler Geschwindigkeit bewegt) und potenzieller Energie (wenn es am höchsten Punkt der Schwingung ist und die maximale Höhe erreicht hat) um. Die Gesamtenergie des Pendels bleibt erhalten.
Kollisionsprozesse: Bei elastischen Kollisionen zwischen Objekten bleibt die Gesamtenergie des Systems vor und nach der Kollision konstant. Ein Beispiel hierfür ist der Zusammenstoß zweier Billardkugeln auf einem Billardtisch, bei dem kinetische Energie von einer Kugel auf die andere übertragen wird, während die Gesamtenergie des Systems erhalten bleibt.

Beispiel 1: Energieerhaltungssatz (schiefe Ebene)

Damit du den Energieerhaltungssatz besser verstehst, schauen wir uns dazu mal ein ausführliches Beispiel an.

Rechenbeispiel!

Energieerhaltungssatz, Schiefe Ebene, Kiste, potentielle Energie, kinetische Energie, Gesamtsystem — Energieerhaltungssatz am Beispiel einer schiefen Ebene

Gegeben sei eine Kiste auf einer schiefen Ebene (1). Die Kiste befindet sich zunächst in Ruhe. Danach rutscht die Kiste die schiefe Ebene herab, bis sie die schiefe Ebene (2) verlässt.

Die Reibung zwischen Kiste und schiefer Ebene soll vernachlässigt werden.

Wir vernachlässigen in diesem Beispiel die Reibung zwischen der Kiste und der schiefen Ebene. Somit gehen wir davon aus, dass die Kiste keine Wechselwirkung mit der Umgebung aufweist. In einem solchen Fall gilt der Energieerhaltungssatz.

Schiefe Ebene – Punkt 1:

In diesem Punkt schauen wir uns die Summe aus potentieller und kinetischer Energie an. Diese Summe ist die Gesamtenergie der Kiste. Da der Energieerhaltungssatz gilt, bleibt diese Gesamtenergie konstant.

Die Kiste ruht in diesem Punkt, damit tritt keine kinetische Energie auf:

$E_{kin;1} = \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = 0$ Kinetische Energie im Punkt 1

Die Kiste weist zum Punkt 2 eine gewisse Höhe h = 5 m auf. Die Kiste besitzt also in Bezug auf den Punkt 2 potentielle Energie in Höhe von:

$E_{pot;1} = m \cdot g \cdot h = 100 kg \cdot 9,81 \dfrac{m}{s^2} \cdot 5m = 4.905 J$ Potentielle Energie im Punkt 1

Die Summe beider Energien ergibt die Gesamtenergie im Punkt 1:

$E_{ges;1} = E_{kin;1} + E_{pot;1} = 0 J + 4.905 J = 4.905 J$ Gesamtenergie im Punkt 1

Diese Gesamtenergie bleibt, wenn wir Reibung vernachlässigen, konstant. Das bedeutet also, dass die Summe aus kinetischer und potentieller Energie im Punkt 2 genau so groß sein muss.

Schiefe Ebene – Punkt 2:

Wir wissen, dass die Gesamtenergie im Punkt 2 genau 4.905 Joule entsprechen muss:

$E_{ges;2} = E_{kin;2} + E_{pot;2} = 4.905 J$ Gesamtenergie im Punkt 2

Wir wollen nun herausfinden, wie groß der Anteil der kinetischen und der Anteil der potentiellen Energie an der Gesamtenergie ist. Dazu schauen wir uns die Kiste im Punkt 2 genau an. Die Kiste weist nun keinerlei Höhe mehr auf, d.h. die potentielle Energie ist gleich Null:

$E_{pot;2} = 0$ Potentielle Energie im Punkt 2

Demnach muss die kinetische Energie 4.905 J betragen, da die Gesamtenergie sich nicht ändert:

$E_{kin;2} = 4.905 J$ Kinetische Energie im Punkt 2

Was ist passiert? Die potentielle Energie der Kiste im Punkt 1 hat sich vollständig in kinetische Energie im Punkt 2 umgewandelt. Dies ist nur dann möglich, wenn der Energieerhaltungssatz gilt, d.h. Reibung vernachlässigt wird.

Beispiel 2: Energieerhaltungssatz (Achterbahn)

Aufgabenstellung

Achterbahn, Energieerhaltungssatz, Beispiel, potentielle Energie, kinetische Energie, Gesamtenergie, konstant, isoliertes System, abgeschlossenes System — Beispiel: Achterbahnfahrt

Auf einer Achterbahn bewegt sich ein Wagen (Gesamtmasse: m = 800kg) mit der Geschwindigkeit 4 m/s durch den Punkt A und rollt dann ohne Antrieb über B nach C.

Wie groß ist die Geschwindigkeit des Wagens je im Punkt B und Punkt C unter Vernachlässigung von Reibungskräften?

Wir gehen hier davon aus, dass keine Reibung auftritt, weshalb der Energieerhaltungssatz gilt. Wir müssen zunächst für die Berechnung der potentiellen Energie ein Bezugsniveau festlegen. Hier starten wir mit der Höhenmessung. Dafür nehmen wir den niedrigsten Punkt, der in B gegeben ist.

Merk’s dir!

B ist unser Bezugsniveau mit h = 0.

Wir starten zunächst mit der Energiebetrachtung in Punkt A und Punkt B.

Lage – Punkt A

Zu Beginn weist der Wagen infolge der Geschwindigkeit von 4 m/s eine kinetische Energie im Punkt A auf von:

$E_{kin;A} = \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = \dfrac{1}{2} \cdot 800 kg \cdot (4 \dfrac{m}{s})^2 = 6.400 J$

Die potentielle Energie im Punkt A beträgt in Bezug auf den Punkt B (Höhendifferenz 20 m):

$E_{pot;A} = m \cdot g \cdot h = 800 kg \cdot 9,81 \dfrac{m}{s^2} \cdot 20 m = 156.960 J$

Insgesamt ergibt sich also eine Energie in Punkt A von:

$E_{ges;A} = E_{kin;A} + E_{pot;A} = 6.400 J + 156.960 J = 163.360 J$

Lage – Punkt B

Betrachten wir nun den Punkt B. Im Punkt B muss die Gesamtenergie genau so groß sein wie im Punkt A. Wir müssen nur noch bestimmen, welcher Anteil auf die kinetische und welcher Anteil auf die potentielle Energie entfällt.

Die potentielle Energie im Punkt B ist gleich Null, weil Punkt B das Bezugsniveau darstellt (hier beginnen wir sozusagen mit der Höhenmessung):

$E_{pot;B} = 0$

Die kinetische Energie muss demnach die Höhe der Gesamtenergie aufweisen, damit die Summe aus kinetischer und potentieller Energie im Punkt B konstant ist:

$E_{ges;B} = E_{kin;B} + E_{pot;B} = 163.360 J + 0J = 163.360 J$

Wir haben also die kinetische Energie im Punkt B gegeben und können damit die Geschwindigkeit berechnen:

$E_{kin;B} = \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = 163.360 J$

Auflösen nach $v$ :

$\dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = 163.360 J$ | $\cdot 2$

$m \cdot v^2 = 2 \cdot 163.360 J$ | $:m$

$v^2 = \dfrac{2 \cdot 163.360 J}{m}$ | $\sqrt{}$

$v = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 163.360 J}{m}}$

Einsetzen der gegebene Werte:

$v = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 163.360 J}{800 kg}} = 20,21 \dfrac{m}{s}$

Die Geschwindigkeit in Punkt B beträgt 20,21 m/s.

Als nächstes betrachten wir Punkt C und das Bezugsniveau, also Punkt B.

Lage – Punkt C

Die Gesamtenergie bleibt weiterhin konstant, wir müssen nun aber für die potentielle Energie das Bezugsniveau heranziehen. Die Höhe im Punkt C im Bezug auf Punkt B beträgt 8m. Demnach ergibt sich hier eine potentielle Energie von:

$E_{pot;C} = m \cdot g \cdot h = 800 kg \cdot 9,81 \dfrac{m}{s^2} \cdot 8m = 62.784 J$

Die kinetische Energie können wir bestimmen, indem wir die Differenz aus Gesamtenergie und potentieller Energie bilden:

$E_{kin;C} = E_{ges} - E_{pot;C} = 163.360 J - 62.784 J = 100.576 J$

Aus der Formel für die kinetische Energie können wir jetzt wieder die Geschwindigkeit berechnen. Die Umstellung der Gleichung erfolgt wie in Punkt B bereits gezeigt:

$v = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 100.576 J}{800 kg}} = 15,86 \dfrac{m}{s}$

Die Geschwindigkeit in Punkt C beträgt 15,86 m/s.

Was kommt als Nächstes?

Nachdem du jetzt auch den Energieerhaltungssatz kennst, stellen wir dir in der nachfolgenden Lerneinheit den Energieverlust infolge von Reibung detailliert vor.

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