(Ph4-18) Energieerhaltungssatz

Inhaltsverzeichnis

In dieser Lerneinheit behandeln wir den Energieerhaltungssatz der Mechanik.

 


Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.


 


Energieerhaltungssatz – Grundlagen


 

Energieerhaltungssatz, Nachhilfe, Techniker

 

Der Energieerhaltungssatz der Mechanik besagt nichts anderes, als dass die Summe der potentiellen und kinetischen Energie in einem abgeschlossenen System konstant bleibt. 

 

Von einem abgeschlossenen System wird gesprochen, wenn das System keine Wechselwirkung mit der Umgebung aufweist. Reibungskräfte werden in einem solchen Fall nicht berücksichtigt.

Grundsätzlich gilt, dass Energie weder erzeugt noch vernichtet werden. Sie kann nur von einer Form in andere Formen umgewandelt oder von einem Körper auf andere Körper übertragen werden.

 


Energieerhaltungssatz – Einführungsbeispiel


Damit du den Energieerhaltungssatz besser verstehst, schauen wir uns dazu mal ein ausführliches Beispiel an.

 

undefiniert
Beispiel: Energieerhaltungssatz

Energieerhaltungssatz schiefe Ebene

 

Gegeben sei eine Kiste auf einer schiefen Ebene (1). Die Kiste befindet sich zunächst in Ruhe. Danach rutscht die Kiste die schiefe Ebene herab, bis sie die schiefe Ebene (2) verlässt.

Die Reibung zwischen Kiste und schiefer Ebene soll vernachlässigt werden.

 

Wir vernachlässigen in diesem Beispiel die Reibung zwischen der Kiste und der schiefen Ebene. Somit gehen wir davon aus, dass die Kiste keine Wechselwirkung mit der Umgebung aufweist. In einem solchen Fall gilt der Energieerhaltungssatz. 

 


Betrachten wir zunächst den Punkt 1:


In diesem Punkt schauen wir uns die Summe aus potentieller und kinetischer Energie an. Diese Summe ist die Gesamtenergie der Kiste. Da der Energieerhaltungssatz gilt, bleibt diese Gesamtenergie konstant.

Die Kiste ruht in diesem Punkt, damit tritt keine kinetische Energie auf:

 

E_{kin;1} = \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = 0          Kinetische Energie im Punkt 1

 

Die Kiste weist zum Punkt 2 eine gewisse Höhe h = 5 m auf. Die Kiste besitzt also in Bezug auf den Punkt 2 potentielle Energie in Höhe von:

 

E_{pot;1} = m \cdot g \cdot h = 100 kg \cdot 9,81 \dfrac{m}{s^2} \cdot 5m = 4.905 J           Potentielle Energie im Punkt 1

 

Die Summe beider Energien ergibt die Gesamtenergie im Punkt 1:

 

E_{ges;1} = E_{kin;1} + E_{pot;1} = 0 J + 4.905 J = 4.905 J          Gesamtenergie im Punkt 1

 

Diese Gesamtenergie bleibt, wenn wir Reibung vernachlässigen, konstant. Das bedeutet also, dass die Summe aus kinetischer und potentieller Energie im Punkt 2 genau so groß sein muss.

 


Betrachten wir jetzt den Punkt 2:


Wir wissen, dass die Gesamtenergie im Punkt 2 genau 4.905 Joule entsprechen muss:

 

E_{ges;2} = E_{kin;2} + E_{pot;2} = 4.905 J          Gesamtenergie im Punkt 2

 

Wir wollen nun herausfinden, wie groß der Anteil der kinetischen und der Anteil der potentiellen Energie an der Gesamtenergie ist. Dazu schauen wir uns die Kiste im Punkt 2 genau an. Die Kiste weist nun keinerlei Höhe mehr auf, d.h. die potentielle Energie ist gleich Null:

 

E_{pot;2} = 0          Potentielle Energie im Punkt 2

 

Demnach muss die kinetische Energie 4.905 J betragen, da die Gesamtenergie sich nicht ändert:

 

E_{kin;2} = 4.905 J          Kinetische Energie im Punkt 2

 

Was ist passiert? Die potentielle Energie der Kiste im Punkt 1 hat sich vollständig in kinetische Energie im Punkt 2 umgewandelt. Dies ist nur dann möglich, wenn der Energieerhaltungssatz gilt, d.h. Reibung vernachlässigt wird.

 


Beispiel: Energieerhaltungssatz


Im folgenden Beispiel zeigen wir dir die Anwendung des Energieerhaltungssatzes auf. Versuche zunächst die Aufgabe selbstständig zu lösen, bevor du dir die Lösung anschaust.

 


Beispiel: Achterbahn


Aufgabenstellung

Energieerhaltungssatz, Achterbahn

Auf einer Achterbahn bewegt sich ein Wagen (Gesamtmasse: m = 800kg) mit der Geschwindigkeit 4 m/s durch den Punkt A und rollt dann ohne Antrieb über B nach C.

Wie groß ist die Geschwindigkeit des Wagens je im Punkt B und Punkt C unter Vernachlässigung von Reibungskräften?

 

Lösung

Wir gehen hier davon aus, dass keine Reibung auftritt, weshalb der Energieerhaltungssatz gilt. Wir müssen zunächst für die Berechnung der potentiellen Energie ein Bezugsniveau festlegen. Hier starten wir mit der Höhenmessung. Dafür nehmen wir den niedrigsten Punkt, der in B gegeben ist.

 

Merk's dir!
Merk's dir!

B ist unser Bezugsniveau mit h = 0.

 

Wir starten zunächst mit der Energiebetrachtung in Punkt A und Punkt B

 


Lage – Punkt A


Zu Beginn weist der Wagen infolge der Geschwindigkeit von 4 m/s eine kinetische Energie im Punkt A auf von:

 

E_{kin;A} = \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = \dfrac{1}{2} \cdot 800 kg \cdot (4 \dfrac{m}{s})^2 = 6.400 J

 

Die potentielle Energie im Punkt A beträgt in Bezug auf den Punkt B (Höhendifferenz 20 m):

 

E_{pot;A} = m \cdot g \cdot h = 800 kg \cdot 9,81 \dfrac{m}{s^2} \cdot 20 m = 156.960 J

 

Insgesamt ergibt sich also eine Energie in Punkt A von:

 

E_{ges;A} = E_{kin;A} + E_{pot;A} = 6.400 J + 156.960 J = 163.360 J

 


Lage – Punkt B


Betrachten wir nun den Punkt B. Im Punkt B muss die Gesamtenergie genau so groß sein wie im Punkt A. Wir müssen nur noch bestimmen, welcher Anteil auf die kinetische und welcher Anteil auf die potentielle Energie entfällt.

Die potentielle Energie im Punkt B ist gleich Null, weil Punkt B das Bezugsniveau darstellt (hier beginnen wir sozusagen mit der Höhenmessung):

 

E_{pot;B} = 0

 

Die kinetische Energie muss demnach die Höhe der Gesamtenergie aufweisen, damit die Summe aus kinetischer und potentieller Energie im Punkt B konstant ist:

 

E_{ges;B} = E_{kin;B} + E_{pot;B} = 163.360 J + 0J = 163.360 J

 

Wir haben also die kinetische Energie im Punkt B gegeben und können damit die Geschwindigkeit berechnen:

 

E_{kin;B} = \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = 163.360 J

 

Auflösen nach v:

 

\dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = 163.360 J   |\cdot 2

 

m \cdot v^2 = 2 \cdot 163.360 J   |:m

 

v^2 = \dfrac{2 \cdot 163.360 J}{m}   |\sqrt{}

 

v = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 163.360 J}{m}}

 

Einsetzen der gegebene Werte:

 

v = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 163.360 J}{800 kg}} = 20,21 \dfrac{m}{s}

 

Die Geschwindigkeit in Punkt B beträgt 20,21 m/s.

 

Als nächstes betrachten wir Punkt C und das Bezugsniveau, also Punkt B.

 


Lage – Punkt C


Die Gesamtenergie bleibt weiterhin konstant, wir müssen nun aber für die potentielle Energie das Bezugsniveau heranziehen. Die Höhe im Punkt C im Bezug auf Punkt B beträgt 8m. Demnach ergibt sich hier eine potentielle Energie von:

 

E_{pot;C} = m \cdot g \cdot h = 800 kg \cdot 9,81 \dfrac{m}{s^2} \cdot 8m = 62.784 J

 

Die kinetische Energie können wir bestimmen, indem wir die Differenz aus Gesamtenergie und potentieller Energie bilden:

 

E_{kin;C} = E_{ges} - E_{pot;C} = 163.360 J - 62.784 J = 100.576 J

 

Aus der Formel für die kinetische Energie können wir jetzt wieder die Geschwindigkeit berechnen. Die Umstellung der Gleichung erfolgt wie in Punkt B bereits gezeigt:

 

v = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 100.576 J}{800 kg}} = 15,86 \dfrac{m}{s}

 

Die Geschwindigkeit in Punkt C beträgt 15,86 m/s.

 


wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

Nachdem du jetzt auch den Energieerhaltungssatz kennst, stellen wir dir in der nachfolgenden Lerneinheit den Energieverlust infolge von Reibung detailliert vor.

 

Trainingsbereich

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