PH4 – Rotationsarbeit [Definition, Formel, Beispiele, Aufgaben]

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Rotationsarbeit ist die Arbeit, die geleistet wird, um einen Körper um einen bestimmten Winkel um seine Rotationsachse zu drehen oder zu beschleunigen. Sie tritt auf, wenn ein Drehmoment auf einen Körper wirkt und dieser dadurch rotiert oder beschleunigt wird. Die Rotationsarbeit hängt also vom Drehmoment und dem Winkel ab, um den der Körper gedreht wird. Wenn ein Moment auf einen Körper wirkt, um ihn zu drehen, wird Arbeit geleistet, um diese Rotation zu bewirken. 

In dieser Lerneinheit behandeln wir die Rotationsarbeit und zeigen dir, was die Rotationsarbeit ist, welche Formeln du benötigst und wie du diese berechnest.

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei ausführliche Rechenbeispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Kinetik findest du im Kurs: PH4-Kinetik

 

Rotationsarbeit – Definition

Um einen trägen Körper in Rotation zu versetzen, ist ein Drehmoment notwendig. Die Arbeit die hierbei verrichtet wird, bezeichnen wir als Rotationsarbeit.

Seilwinde, Rotationsarbeit

 

Rotationsarbeit – Beispiele im Alltag

Im Alltag gibt es viele Beispiele für Rotationsarbeit. Hier sind einige davon:

  • Tür öffnen: Wenn du eine Tür öffnest, erzeugst du eine Drehbewegung um die Scharniere. Die aufgewandte Kraft führt zur Rotationsarbeit, die benötigt wird, um die Tür zu öffnen.
  • Schraube eindrehen: Beim Eindrehen einer Schraube wird eine Rotationsarbeit verrichtet. Du wendest ein Drehmoment an, um die Schraube um ihre Achse zu drehen und sie im Material zu verankern.

  • Autofahren: Beim Fahren mit einem Auto erfolgt die Übertragung der Motorkraft auf die Räder über die Antriebswelle. Die Räder führen eine Drehbewegung aus, wodurch Rotationsarbeit geleistet wird.

  • Fahrradfahren: Beim Treten in die Pedale eines Fahrrads wird eine Rotationsarbeit verrichtet. Die Muskelkraft bewirkt eine Drehung des Tretlagers, die wiederum die Bewegung der Kette und der Räder antreibt.

  • Mixer verwenden: Wenn du einen Mixer verwendest, erzeugt der Motor eine Drehbewegung des Mixeraufsatzes. Die Rotationsarbeit wird hierbei geleistet, um die Lebensmittel zu zerkleinern oder zu vermischen.

  • Windmühle: Eine Windmühle nutzt die Windenergie, um Rotationsarbeit zu verrichten. Der Wind erzeugt eine Drehbewegung der Rotorblätter, die wiederum einen Generator antreiben und elektrische Energie erzeugen.

  • Schaukel: Wenn du auf einer Schaukel sitzt und hin und her schwingst, wird Rotationsarbeit verrichtet. Die Schaukelbewegung erfolgt um einen Fixpunkt und erfordert Kraft, um die Schaukel in Bewegung zu setzen und aufrechtzuerhalten.

Das sind nur einige Beispiele für Rotationsarbeit im Alltag. Es gibt jedoch viele weitere Situationen, in denen eine Drehbewegung um eine Achse stattfindet und dabei Rotationsarbeit verrichtet wird. 

 

Rotationsarbeit Formel

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Rotationsarbeit – Formel

 

Gegeben sei die obige Kurbel, die sich infolge der Kraft F in einer Rechtsdrehung um den Drehpunkt (in der Mitte) im Kreis dreht. Ein konstantes Drehmoment M verrichtet bei der Drehung eines Körpers um einen Winkel φ die folgende Dreharbeit:

W_{rot} = M  \cdot \varphi

 

Der Winkel muss hier bei der Berechnung in Radiant angegeben werden. Die Umrechnung kannst du wie folgt vornehmen:

\varphi [rad] = \varphi [Grad] \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ}

 

Einsetzen in die obige Gleichung führt zu:

Rotationsarbeit in Abhängigkeit vom Winkel

W_{rot} = M \cdot \varphi [Grad] \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ}

 

Das Drehmoment ist nichts anderes als Kraft mal Hebelarm. Der Hebelarm bei einem Kreis ist der Abstand von der Kraft zum Drehpunkt, also der Radius r:

M = F \cdot r

 

Demnach ergibt sich für die Arbeit auch:

Rotationsarbeit in Abhängigkeit vom Winkel

W_{rot} = F \cdot r \cdot \varphi [Grad] \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ} 

 

Rotationsarbeit über mechanische Arbeit

Wir können hier natürlich die Rotationsarbeit auch über die Gleichung für die mechanische Arbeit bestimmen:

W_{rot} = F \cdot s

 

Hierbei ist der Weg s nichts anderes als die Bogenlänge. Die Bogenlänge bei einer vollen Kreisumdrehung ist gegeben mit:

s = 2 \cdot \pi \cdot r

 

Betrachten wir hingegen mehrere Kreisumdrehungen u, so erhalten wird:

Bogenlänge bzw. Weg der Kurbel bei u-Kreisumdrehungen

s= 2 \cdot \pi \cdot r \cdot u

 

Einsetzen in die Arbeit führt zu:

Rotationsarbeit bei u-Kreisumdrehungen

W_{rot} = F \cdot 2 \cdot \pi \cdot r \cdot u}

 

Alle obigen Formeln sind zur Berechnung der Rotationsarbeit relevant, je nachdem welche Größen gegeben sind.

 

Schauen wir uns zum besseren Verständnis mal einige Beispiele an.

Beispiele: Rotationsarbeit

In den folgenden Beispielen betrachten lernst du die Anwendung der obigen Gleichungen. Wir gehen hier insbesondere auf Seilwinden ein, um zu zeigen, wie die obigen Formeln verwendet werden müssen. Wir betrachten hier Handwinden, die wie folgt aufgebaut sind:

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Handwinde und ihre Elemente

 

Beispiel 1 : Seilwinde und Rotationsarbeit

Aufgabenstellung

An einer Seilwinde mit Handkurbel wirkt ein Kurbeldrehmoment von 50 Nm. Es werden damit 130 Umdrehungen gemacht, und die Last wird um 30 m gehoben.

a) Berechne die Rotationsarbeit an der Kurbel,
b) Berechne den Betrag der Seilkraft.

 

Gegeben:

M = 50 Nm

u = 130

s = 30 m

Gesucht:

Wrot

 

Lösung a) Berechne die Rotationsarbeit an der Kurbel

Wir haben hier da Drehmoment M sowie den Weg s = 30 m und die Anzahl der Umdrehungen der Kurbelwelle gegeben. Wir können zum Beispiel die folgende Gleichung heranziehen:

II. W_{rot} = M \cdot \varphi [Grad] \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ}

 

Die Kurbelwelle dreht sich 130 mal im Kreis. Eine Kreisumdrehung weist 360° auf:

W_{rot} = 50 Nm \cdot 360^\circ \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ} = 314,16 J

 

Diese Arbeit wird bei einer Kreisumdrehung verrichtet. Nun sind aber 130 Kreisumdrehungen gegeben, weshalb wir diese Arbeit mit 130 multiplizieren müssen:

W_{rot} =  314,16 J \cdot 130 = 40.840,7 J

 

Die Rotationsarbeit beträgt 40.840,7 Joule.

 

Alternativ kannst du die Berechnung aber auch über die folgende Gleichung durchführen:

IV. W_{rot} = F \cdot 2 \cdot \pi \cdot r \cdot u 

 

Wir haben aber den Radius r nicht gegeben. Diesen können wir aber aus der Bogenlänge unter Berücksichtigung der Kreisumdrehungen berechnen:

s = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot u

 

Auflösen nach r:

r = \dfrac{s}{2 \cdot \pi \cdot u} = \dfrac{30 m}{2 \cdot \pi \cdot 130} = 0,037 m

 

Außerdem fehlt noch die Kraft F, die du aus dem Moment und dem Radius berechnen kannst:

M = F \cdot r

 

Auflösen nach F:

F = \dfrac{M}{r} = \dfrac{50 Nm}{0,037} = 1351,35 N

 

Und nun einsetzen in die obige Gleichung:

W_{rot} = 1351, 35 N \cdot 2 \cdot \pi \cdot 0,037 \cdot 130 = 40.840,7 J

 

Lösung b) Berechne den Betrag der Seilkraft

Die Kraft hast du bereits bei der obigen alternativen Berechnung bestimmt:

F = \dfrac{M}{r} = \dfrac{50 Nm}{0,037 m} = 1.351,35 N

 

Beispiel 2: Seilwinde und Rotationsarbeit 

Aufgabenstellung

Die Handkurbel einer Seilwinde wird mit einer Kraft von F = 500 N belastet, um eine schwere Kiste 5m anzuheben. Die Kurbelwelle, an welcher die Handkurbel befestigt wird, muss dafür 120 mal gedreht werden. Die Seiltrommel hat einen Radius von 30 cm.

a) Berechne die Rotationsarbeit an der Kurbel!
b) Wie viele Umdrehungen muss die Seiltrommel machen, um die Kiste 5m anzuheben?

 

Lösung a) Berechne die Rotationsarbeit an der Kurbel

Zunächst wollen wir die Arbeit an der Kurbel berechnen. Du solltest in jedem Fall wissen, dass die Kurbelwelle und die Seiltrommel zwei unterschiedliche Radien aufweisen. Wollen wir die Rotationsarbeit an der Kurbelwelle bestimmen und sind die Umdrehungen an der Kurbelwelle bzw. Kurbel gegeben, so benötigst du auch den Radius der Kurbelwelle und nicht den Radius der Seiltrommel.

 

Zur Berechnung der Rotationsarbeit wenden wir folgende Gleichung an: 

W_{rot} = F \cdot 2 \cdot \pi \cdot r \cdot u

 

Uns fehlt aber noch der Radius der Kurbelwelle. Diese können wir aus der folgenden Gleichung bestimmen:

s= 2 \cdot \pi \cdot r \cdot u 

 

Auflösen nach r:

r = \dfrac{s}{2 \cdot \pi \cdot u} = \dfrac{5m}{2 \cdot \pi \cdot 120} = 0,0066315 m

 

Als nächstes können wir die Rotationsarbeit an der Kurbel berechnen:

W_{rot} = 500 N \cdot 2 \cdot \pi \cdot 0,0066315 m \cdot 120 = 2500 J

 

Die Rotationsarbeit beträgt 2.500 Joule.

 

Lösung b) Wie viele Umdrehungen muss die Seiltrommel machen, um die Kiste 5m anzuheben?

Wir wollen hier berechnen, wie viele Umdrehungen die Seiltrommel benötigt, um die Kiste 5m anzuheben. Dazu wenden wir wieder die folgende Gleichung an:

s= 2 \cdot \pi \cdot r \cdot u 

 

Wir haben hier nun den Radius mit r = 30 cm = 0,3m gegeben und s = 5m und können die Gleichung nach der Anzahl der Umdrehungen u auflösen:

u = \dfrac{s}{2 \cdot \pi \cdot r} = \dfrac{5 m}{2 \cdot\pi \cdot 0,3m} = 2,6526

 

Die Seiltrommel muss 2,65 Umdrehungen machen, um die Kiste um 5m anzuheben.

 

Beispiel 3: Seilwinde und Umdrehungen

Aufgabenstellung

Eine Seiltrommel wird über ein Getriebe mit der Übersetzung i = 4 durch eine Handkurbel angetrieben. Das Drehmoment an der Kurbel beträgt 30 Nm, der Durchmesser
der Seiltrommel 230 mm.

a) Bestimme die Masse der Last, die gehoben werden kann!
b) Bestimme die Anzahl der Kurbelumdrehungen für 10 m Lastweg.

 

Lösung a) Masse der Last

Zunächst wollen wir die Masse der Last bestimmen, die gehoben werden kann. Wir haben das Drehmoment MK an der Kurbelwelle gegeben und  können mit dem Übersetzungsverhältnis das Drehmoment an der Seiltrommel MT bestimmen:

M_T = M_K \cdot i = 30 Nm \cdot 4 = 120 Nm

 

Die Hublast können wir dann aus dem folgenden Zusammenhang bestimmen:

M = F \cdot r

 

Hierbei ist r der Radius der Seiltrommel (d = 230 mm; r = 150 mm). Wir lösen die Gleichung nach der Kraft F auf und setzen die Werte ein:

F = \dfrac{M}{r} = \dfrac{120 Nm}{0,115 m} = 1.043,48 N

 

Wir suchen aber nicht die Kraft, sondern die Masse m und müssen demnach die Kraft durch die Fallbeschleunigung teilen, denn es gilt:

F_G = m \cdot g

m = \dfrac{F_G}{g} = \dfrac{1.043,48 N}{9,81 \frac{m}{s^2}} = 106,37 kg

 

Bei einem Drehmoment von 30 Nm an der Kurbel kann eine Masse von 106,37 kg gehoben werden.

 

Lösung b) Anzahl der Kurbelumdrehungen

Wir wollen als nächstes die Anzahl der Kurbelumdrehungen bestimmen, wenn die Last 10 m angehoben wird. Dazu benötigen wir die folgende Gleichung:

s = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot u

 

Gegeben haben wir s = 10m . Gesucht ist die Anzahl der Umdrehungen u. Wir stellen diese Gleichung also nach u um:

u = \dfrac{s}{2 \cdot \pi \cdot r}

 

Wir benötigen aber noch den Radius r der Kurbelwelle. Diesen können wir zunächst berechnen, indem wir den Durchmesser der Seiltrommel und die Übersetzung betrachten:

d = 230 mm : 4 = 57,5 mm

 

Der Radius beträgt demnach: 

r = 28,75 mm = 0,02875 m

 

Einsetzen in die obige Gleichung:

u = \dfrac{s}{2 \cdot \pi \cdot r} =  \dfrac{10m}{2 \cdot \pi \cdot 0,02875 m} = 55,36

 

Die Kurbelwelle muss 55,36 mal gedreht werden, um die Last 10 m anzuheben.

Was kommt als Nächstes?

In der nachfolgenden Lerneinheit betrachten wir die unterschiedlichen Energieformen.

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