[Ph4] Hubarbeit berechnen [Grundlagen, Beispiele, Videos, Aufgaben]

Innerhalb der Physik unterscheiden wir verschiedene Arten der mechanischen Arbeit die wir uns im Folgenden mal genauer anschauen wollen.

Wir wollen uns zunächst ansehen, wie wir die Hubarbeit berechnen.

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei Videoclips und zwei ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Physik findest du im Kurs: PH4-Kinetik

Hubarbeit – Grundlagen

Merk’s dir!

Von Hubarbeit ist die Rede, wenn ein Körper senkrecht angehoben wird.

Hubarbeit – Beispiele im Alltag

Hier sind einige Beispiele für Hubarbeit im Alltag:

Beispiel!

Heben eines Gewichts: Wenn du beispielsweise einen Koffer die Treppe hinaufträgst, verrichtest du Hubarbeit, um das Gewicht gegen die Schwerkraft anzuheben.
Hochziehen eines Eimers aus einem Brunnen: Wenn du einen Eimer an einer Schnur aus einem tiefen Brunnen hochziehst, musst du Hubarbeit leisten, um das Gewicht des Eimers entgegen der Schwerkraft zu überwinden.
Heben von Einkaufstaschen: Beim Tragen von schweren Einkaufstaschen aus dem Supermarkt oder beim Herausheben eines Gegenstands aus einem Regal verrichtest du Hubarbeit.
Bewegen von Möbeln: Wenn du beispielsweise einen Tisch anhebst, um ihn an einen anderen Ort zu bringen, oder eine schwere Couch schiebst, musst du Hubarbeit leisten, um das Gewicht gegen die Schwerkraft zu überwinden.
Aufhängen von Wäsche: Beim Anheben der Wäsche, um sie auf eine Wäscheleine zu hängen, verrichtest du Hubarbeit.
Öffnen eines Fensters: Beim Anheben eines Fensters verrichtest du Hubarbeit, um das Gewicht des Fensters entgegen der Schwerkraft zu überwinden.

Diese Beispiele zeigen, wie Hubarbeit im Alltag vorkommen kann, wenn Objekte gegen die Schwerkraft angehoben oder bewegt werden müssen.

Hubarbeit – Formel

Wird ein Körper mit der Masse m über eine Höhe h senkrecht nach oben angehoben, so ergibt sich für die Hubarbeit:

Hubarbeit

$\boxed{W = m \cdot g \cdot h}$

mit

$\boxed{h :}$ senkrechte Höhe

$\boxed{F_G = m \cdot g}$ : Gewichtskraft des Körpers

Die Hubarbeit ist nur von der zurückgelegten Höhe und von der Gewichtskraft abhängig.

📺 Videoclip 1: Hubarbeit – Erklärung und Beispiel

Lernclip

Hubarbeit

Klausuraufgabe 1 – Hubarbeit schiefe Ebene

Aufgabenstellung

Deine Freund und du wollt mal wieder rodeln. Dazu musst du deinen Schlitten zunächst den Hügel hinaufziehen. Der Weg beträgt s = 10 m die Neigung des Berges α = 10° zur Horizontalen und der Schlitten hat ein Gewicht von m = 10 kg.

a) Wie groß ist die Hubarbeit?

b) Welche konstante Kraft musst du aufbringen, um den Schlitten 10 m den Hügel hinaufzuziehen?

Lösung

a) Hubarbeit

Im obigen Beispiel ziehst du den Schlitten über den Weg s den Hügel hinauf und musst dafür eine gewisse Kraft F aufwenden. Da wir die Kraft F aber nicht kennen, können wir stattdessen die Hubarbeit berechnen, also die Kraft die notwendig ist, den Schlitten die Höhe h anzuheben. Die Arbeit ist in beiden Fällen identisch. Ob du nun also den Schlitten den schrägen Berg bis oben hinaufziehst oder ob du den Schlitten die Höhe h senkrecht nach oben anhebst: In beiden Fällen verrichtest du dieselbe Arbeit.

In der Aufgabestellung haben wir nun aber nicht die Kraft F gegeben, dafür aber das Gewicht des Schlittens und damit die Gewichtskraft sowie den Neigungswinkel und den Weg, aus welchen wir die Höhe h berechnen können (Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck).

Wir können den Sinus anwenden, um die Höhe h zu berechnen.

$\boxed{\sin(\alpha) = \dfrac{h}{s}}$

Aufgelöst nach der gesuchten Höhe h ergibt:

$\boxed{h = s \cdot \sin(\alpha)}$

Einsetzen der gegebenen Werte:

$\boxed{h = 10 m \cdot \sin(10^\circ) = 1,74 m}$

Wir können als nächstes die Hubarbeit berechnen:

$\boxed{W = m \cdot g \cdot h = 10 kg \cdot 9,81 \dfrac{m}{s^2} \cdot 1,74 m = 170,70 J}$

Die Hubarbeit beträgt 170,70 J. Das ist diejenige Arbeit die aufgewendet werden muss, um den Schlitten mit einem Gewicht von 10 kg insgesamt 1,74 m anzuheben. Dies aber auch gleichzeitig die Arbeit die du verrichten musst, um den Schlitten 10 m den Hügel hinaufzuziehen. Wie du letztlich die Höhendifferenz überwindest, ob über den längeren Weg mit der Steigung oder über den kürzeren Weg (Höhe h) entgegen der gesamten Gewichtskraft, ist für den Betrag der Arbeit unerheblich.

b) Kraft berechnen

Mit dem Wissen, dass du dieselbe Arbeit verrichtest, egal wie du die Höhendifferenz von 1,74 m überwindest, kannst du die Kraft berechnen, die du benötigst, um den Schlitten den Berg hinaufzuziehen. Die Arbeitsgleichung lautet:

$\boxed{W = F \cdot s}$

Wir suchen die Kraft F. Gegeben haben wir den Weg s = 10m sowie die verrichtete Arbeit 170,70 Joule. Wir können die obige Gleichung nach der Kraft F auflösen und erhalten:

$\boxed{F = \dfrac{W}{s}}$

Als nächstes können wir die gegebenen Werte einsetzen:

$\boxed{F = \dfrac{170,70 J}{10m} = 17,07 N}$

Du musst eine durchschnittliche Kraft von 17,07 N aufwenden, um den Schlitten den Berg hinaufzuziehen. Wichtig ist hierbei, dass die Kraft genau in die Richtung des Weges wirkt. Dein Kraftangriff muss also genau 10° zur Horizontalen betragen.

Vergleich Hubarbeit und Arbeit entlang der schiefen Ebene!

Zunächst einmal starten wir in beiden Fällen auf derselben Ausgangshöhe und wollen in beiden Fällen zur selben Endhöhe gelangen. Wir haben nun einmal die Möglichkeit den Hügel über das Hochziehen des Schlittens entlang des Weges s zu erreichen oder alternativ über das Hochheben des Schlittens über die Höhe h.

Anheben: Die Kraft, die du zum Anheben des Schlittens benötigst, ist nichts anderes als die gesamte Gewichtskraft des Schlittens (F_G = 98,1 N). Du musst also eine Kraft aufwenden, die genau so groß ist wie die Gewichtskraft des Schlittens ist. Hubkraft = Gewichtskraft!

Hochziehen: Wir befinden uns beim Hochziehen auf einer schiefen Ebene. Hier wirkt ein Teil der Gewichtskraft als Normalkraft F_N und drückt den Schlitten auf die Ebene und der andere Teil als Hangabtriebskraft F_H, die den Schlitten die schiefe Ebene nach unten zieht. Du benötigst zum Hochziehen des Schlittens also eine Kraft, welche der Hangabtriebskraft entgegenwirkt. Der andere Teil der Gewichtskraft drückt auf die schiefe Ebene, die den Schlitten auf der Ebene hält. Diese Kraft brauchst du also nicht aufwenden.

Das Fazit ist also, dass du beim Hochziehen des Schlittens eine geringere Kraft aufwenden musst, dafür aber einen längeren Weg zurücklegen musst, als beim senkrechten Anheben. Beim Anheben des Schlittens über die Höhe h musst du zwar einen kürzeren Weg zurücklegen, dafür aber eine größere Kraft aufwenden.

📺 Videoclip 2: Hubarbeit versus Arbeit

Lernclip

Hubarbeit vs. Arbeit

Klausuraufgabe 2 – Hubarbeit schiefe Ebene

Aufgabenstellung

Eine 50 kg schwere Kiste soll in ein 5 m höheres Stockwerk transportiert werden.

Berechne die Arbeit W₁, die verrichtet wird, wenn man die Kiste gegen die Gewichtskraft F_G senkrecht nach oben zieht und
die Arbeit W₂, wenn man die Kiste auf einer reibungsfreien schiefen Ebene mit 12° Steigung gegen die Hangabtriebskraft F_H um die Länge s der schiefen Ebene hochzieht!

Lösung

Ihr solltet aus dem obigen Text wissen, dass in beiden Situationen dieselbe Arbeit geleistet wird (sofern Reibung vernachlässigt wird). Denn das Anheben der Kiste entgegen der Gewichtskraft kostet mehr Kraft, dafür ist der Weg geringer. Das Hochziehen der Kiste entlang der schiefen Ebene kostet nicht so viel Kraft, weil nur ein Teil der Gewichtskraft aufgebracht werden muss, dafür ist der Weg länger. Am Ende resultiert dieselbe verrichtete Arbeit sofern die Reibung vernachlässigt wird.

Hubarbeit

Schauen wir uns das ganze mal rechnerisch an. Wir betrachten zunächst den Fall, dass die Kiste entgegen der Gewichtskraft über 5m senkrecht nach oben gehoben wird:

$\boxed{W = m \cdot g \cdot h = 50 kg \cdot 9,81 \dfrac{m}{s^2} \cdot 5m = 2.452 Nm}$

Arbeit entlang der schiefen Ebene

Jetzt schauen wir uns an, welche Arbeit verrichtet wird, wenn die Kiste die schiefe Ebene hochgezogen wird:

$\boxed{W = F \cdot s}$

Hierbei ist $F$ die Hangabtriebskraft. Wir müssen die Kiste dazu gegen die Hangabtriebskraft die schiefe Ebene hinaufziehen. Die Hangabtriebskraft ist ein Teil der Gewichtskraft und wird wie folgt berechnet:

$\boxed{F_H = m \cdot g \cdot \sin(\alpha) = 50 kg \cdot 9,81 \dfrac{m}{s^2} \cdot \sin(12^\circ) = 101,98 N}$

Es fehlt außerdem noch der Weg s, welcher in der Aufgabenstellung nicht angegeben ist. Wir können diesen aber berechnen, da wir aus der obigen schiefen Ebene ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren können:

Hubarbeit: Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck — Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

Wir können den Sinus anwenden, um die Strecke s zu berechnen:

$\boxed{\sin(12^\circ) = \dfrac{5m}{s}}$

Auflösen nach der gesuchten Strecke s:

$\boxed{s = \dfrac{5m}{\sin(12^\circ)} = 24,05 m}$

Die Strecke s beträgt 24m. Wir können nun die Arbeit berechnen, welche gegen die Hangabtriebskraft entlang der Strecke s verrichtet wird:

$\boxed{W = 101,98 N \cdot 24,05 m = 2.452,62 Nm}$

Beide Arbeiten weisen einen identischen Wert auf. Es ist also für die Arbeit im physikalischen Sinn unerheblich, ob du die Kiste entgegen der Gewichtskraft über eine kurze Strecke anhebst oder ob du diese entgegen der Hangabtriebskraft über eine längere Strecke die schiefe Ebene hochziehst. Dieser Fall ist nur dann gegeben, wenn Reibungskräfte vernachlässigt werden.

Was kommt als Nächstes?

In der folgenden Lerneinheit behandeln wir die Spannarbeit.

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