(Ph4) Impulserhaltungssatz [Grundlagen, Beispiele, Videos, Aufgaben]

In dieser Lerneinheit betrachten wir den Impulserhaltungssatz.

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei Videoclips und zwei ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Physik findest du im Kurs: PH4-Kinetik

Impulserhaltungssatz – Grundlagen

Merk’s dir!

Der Impulserhaltungssatz besagt, dass der Gesamtimpuls eines mechanisch abgeschlossenen Systems konstant ist. Von einem mechanisch abgeschlossenen System ist die Rede, wenn das System nicht in Wechselwirkung mit seiner Umgebung steht.

Impulserhaltungssatz – Beispiele im Alltag

Hier sind einige Beispiele für den Impulserhaltungssatz im Alltag:

Beispiele!

Billardspiel: Beim Stoßen eines Billardballs gegen einen anderen Ball beobachten wir, dass der Gesamtimpuls des Systems aus beiden Bällen vor und nach der Kollision konstant bleibt. Der Impuls wird zwischen den Bällen übertragen, sodass der Gesamtimpuls erhalten bleibt.
Raketenstart: Beim Start einer Rakete wird Treibstoff mit großer Geschwindigkeit nach unten ausgestoßen. Gemäß dem Impulserhaltungssatz bewirkt die nach unten gerichtete Ausstoßgeschwindigkeit des Treibstoffs eine nach oben gerichtete Beschleunigung der Rakete.
Ballfangtrick: Bei einem Trick, bei dem eine Person einen Ball fängt, während sie auf einem drehbaren Stuhl sitzt und diesen in entgegengesetzter Richtung dreht, kann der Impulserhaltungssatz beobachtet werden. Wenn die Person den Ball fängt, dreht sich der Stuhl in die entgegengesetzte Richtung, um den Impuls auszugleichen.
Skaten: Beim Skaten oder Rollschuhfahren auf einer ebenen Oberfläche bewirkt das Abstoßen mit den Beinen nach hinten eine nach vorne gerichtete Beschleunigung. Der Impulserhaltungssatz besagt, dass der Impuls, der auf die Beine ausgeübt wird, gleich und entgegengesetzt zum Impuls ist, den der Körper in die entgegengesetzte Richtung erhält.
Rückstoß von Schusswaffen: Beim Abfeuern einer Schusswaffe wird ein Projektil mit hoher Geschwindigkeit nach vorne geschossen. Gemäß dem Impulserhaltungssatz erfährt die Waffe einen Rückstoß in entgegengesetzter Richtung.

Diese Beispiele zeigen Situationen im Alltag, in denen der Impulserhaltungssatz beobachtet werden kann. Der Impulserhaltungssatz ist ein fundamentales Konzept in der Physik und ermöglicht die Untersuchung von Bewegungen und Kollisionen in verschiedenen Systemen.

Impulserhaltungssatz – Formel

Betrachten wir zwei Körper, die aufeinander einwirken, bleibt der Gesamtimpuls beider Körper (Summe der Impulse beider Körper) konstant. Der Impuls jedes einzelnen Körpers kann sich dabei ändern, die Summe der Einzelimpulse hingegen ist konstant.

Impulserhaltungssatz

$\boxed{p_1 + p_2 = const}$

mit: $p = m \cdot v$

folgt

$\boxed{m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = const}$

Dabei ist p₁ der Impuls des Körpers 1 und p₂ der Impuls des Körpers 2.

Eindimensionaler Stoß zweier Körper

Betrachten wir mal ein Beispiel, um den Impulserhaltungssatz zu verstehen. Nehmen wir einmal an, zwei Körper bewegen sich eindimensional (auf einer Linie) mit einer konstanten Geschwindigkeit aufeinander zu. Wir betrachten der Einfachheit halber zwei Massenpunkte. Der Massenpunkt 1 weist eine Geschwindigkeit v₁ auf, der Massenpunkt 2 eine Geschwindigkeit v₂. Beide Massenpunkte prallen zusammen und stoßen sich dann voneinander ab, so dass die beiden Massenpunkte sich nach dem Zusammenstoß in entgegengesetzter Richtung mit den Geschwindigkeiten u₁ und u₂ weiter bewegen.

Impulserhaltungssatz: Stoß zweier Massenpunkte

In der obigen Grafik ist das Beispiel aufgezeigt. Wir haben hier einmal die Geschwindigkeiten v₁ und v₂ vor dem Aufprall gegeben und außerdem die Geschwindigkeiten u₁ und u₂ nach dem Aufprall. Der Impulserhaltungssatz ergibt sich in diesem Fall wie folgt:

$m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot u_1 + m_2 \cdot u_2$

Die Summe der beiden Impulse vor dem Stoß ist gleich der Summe der beiden Impulse nach dem Stoß.

Beispiel: Billiard!

Dazu stellen wir uns einen Stoß zweier Körper vor. Wir können uns das ganze am Beispiel Billard vorstellen. Das Spiel nutzt den Impuls einer Kugel, um diesen auf eine andere Kugel zu übertragen. Der Gesamtimpuls beider Kugeln ist vor und nach dem Zusammenstoß gleich groß (wenn wir die Reibung zwischen Kugel und Billardtisch vernachlässigen). Allerdings haben sich die Einzelimpulse der beiden Kugeln verändert. Trifft die angestoßene Kugel auf eine andere Kugel, dann gibt diese einen Teil ihres Impulses an die andere Kugel ab. Die Summe der beiden Impulse entspricht aber der Summe der Impulse vor dem Stoß.

Auch hier gehen wir wieder davon aus, dass sämtliche Reibungskräfte vernachlässigt werden.

Videoclips: Impulserhaltungssatz

Schauen wir uns mal die folgenden Videos zum Impulserhaltungssatz an.

Lernclip

Impulserhaltungssatz

📺 Videoclip 1: Impulserhaltungssatz – Erklärung

📺 Videoclip 2: Impulserhaltungssatz – Beispielaufgabe

Schauen wir uns zum Impulserhaltungssatz mal einige Beispiele an.

Beispiele zum Impulserhaltungssatz

Wir betrachten als nächstes einige Beispiele zum Impulserhaltungssatz. Versuche zunächst die Aufgaben selbstständig zu lösen, bevor die die Lösungen zur Hilfe nimmst.

Beispiel 1 : Kugel und Kiste

Aufgabenstellung

Eine Kugel mit der Masse von 8 g trifft mit einer Geschwindigkeit von 350 m/s auf eine ruhende Kiste mit der Masse von 2 kg und bleibt darin stecken.

Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich Kugel und Kiste nach dem Zusammentreffen weiter?

Lösung

Impuls vor dem Zusammenstoß

Wir müssen in diesem Beispiel den Impulserhaltungssatz anwenden. Wir schauen uns zunächst die beiden Einzelimpulse von Kugel und Kiste an. Die Kugel hat ein Gewicht von 8 g und bewegt sich vor dem Zusammenprall mit einer Geschwindigkeit von 350 m/s. Wählen wir die Kugel als Körper 1, dann gilt:

$p_1 = m_1 \cdot v_1 = 0,008 kg \cdot 350 \dfrac{m}{s} = 2,8 Ns$

Der Impuls der Kugel beträgt vor dem Zusammentreffen 2,8 Ns. Die Kiste besitzt eine Masse von 2 kg und weist vor dem Zusammenprall keine Geschwindigkeit auf. Es gilt:

$p_2 = m_2 \cdot v_2 = 2 kg \cdot 0 \dfrac{m}{s} = 0$

Die Kiste weist demnach einen Impuls von Null auf, da sie sich in Ruhe befindet.

Der Gesamtimpuls ist jetzt die Summe der Einzelimpulse:

$p_1 + p_2 = 2,8 Ns + 0 Ns = 2,8 Ns$

Der Gesamtimpuls beträgt 2,8 Ns.

Impuls nach dem Zusammenstoß

Was passiert nach dem Zusammenstoß? Beide Körper (Kugel und Kiste) sind zu einem Körper verschmolzen, da die Kugel in der Kiste steckt. Dieser Körper muss den Impuls von 2,8 Ns aufweisen, da der Gesamtimpuls konstant bleibt. Die Masse des Körpers ist nichts anderes, als die Summe der beiden Massen (m = 2,008 kg). Die Geschwindigkeit, mit welcher sich dieser Körper bewegt soll berechnet werden:

$p = m \cdot v$

Der Impuls ist der Gesamtimpuls vor dem Stoß mit 2,8 Ns, die Masse ist die Summe der Masse beider Körper:

$2,8 Ns = 2,008 kg \cdot v$

Die Gleichung lösen wir nach der gesuchten Geschwindigkeit auf:

$v = \dfrac{2,8 Ns}{2,008 kg} = 1,39 \dfrac{m}{s}$

Die Kiste mit der Kugel weist nach dem Zusammenstoß eine Geschwindigkeit von 1,39 m/s auf. Dies entspricht einer Geschwindigkeit von 5 km/h (= 1,39 · 3,6).

Beispiel 2: Waggons

Aufgabenstellung

Ein Waggon mit einer Masse von 10 Tonnen fährt mit 10 km/h und stößt dabei auf einen zweiten Waggon mit der Masse von 15 Tonnen. Der zweite Waggon bewegt sich in die gleich Richtung, hat aber nur eine Geschwindigkeit von 4 km/h.

Mit welcher Geschwindigkeit fahren beide Waggons nach dem Zusammenprall weiter?

Lösung

Diese Aufgabe ist fast identisch zur oberen Aufgabe. Dieses Mal weisen aber beide Körper (Waggons) eine Geschwindigkeit auf und fahren in dieselbe Richtung auf derselben Schiene. Da der hintere Waggon aber schneller ist, stößt er irgendwann gegen den vorderen Waggon. Wir starten damit den Gesamtimpuls der beiden Waggons vor dem Stoß zu bestimmen. Du musst vorher noch die Einheiten umrechnen:

Geschwindigkeiten

10 km/h = 10 : 3,6 = 2,78 m/s

4 km/h = 4 : 3,6 = 1,11 m/s

Massen

10 t = 10.000 kg

15 t = 15.000 kg

Als nächstes berechnen wir die Einzelimpulse der beiden Waggons:

Hinterer Waggon: $p_1 = m_1 \cdot v_1 = 10.000 kg \cdot 2,78 \dfrac{m}{s} = 27.800 Ns$

Vorderer Waggon: $p_2 = m_2 \cdot v_2 = 15.000 kg \cdot 1,11 \dfrac{m}{s} = 16.650 Ns$

Der Gesamtimpuls ist nichts anderes als die Summe der beiden Einzelimpulse:

$p_1 + p_2 = 27.800 Ns + 16.650 Ns = 44.450 Ns$

Dieser Gesamtimpuls ist auch nach dem Stoß vorhanden. Wir wissen, dass beide Waggons sich gemeinsam bewegen, also eine Geschwindigkeit aufweisen. Du kannst also nach dem Stoß die beiden Körper als ein Körper betrachten, der die Masse der beiden Waggons aufweist:

$p = (m_1 + m_2) \cdot v$

Und damit gilt:

$44.450 Ns = (10.000 kg + 15.000 kg) \cdot v$

Wir lösen die Gleichung nach $v$ auf und erhalten:

$v = \dfrac{44.450 Ns}{ (10.000 kg + 15.000 kg)} = 1,8 \dfrac{m}{s}$

Die beiden Waggons fahren mit einer Geschwindigkeit von 1,8 m/s gemeinsam weiter.

Schnellere Variante

Die schnellere Berechnungsvariante ergibt sich aus der obigen Formeln für den Impulserhaltungssatz:

$m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot u_1 + m_2 \cdot u_2$

Da sich beide Waggons nach dem Stoß mit einer Geschwindigkeit (nennen wir sie u) bewegen, gilt:

$m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot u + m_2 \cdot u$

Wir können die Geschwindigkeit u auf der rechten Seite ausklammern und erhalten:

$m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = u (m_1 + m_2 )$

Danach teilen wir durch die Klammer, damit u alleine steht:

$\dfrac{m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2}{ (m_1 + m_2 )} = u$

Jetzt können wir alle Werte eingeben und erhalten:

$\dfrac{10.000 kg \cdot 2,78 \dfrac{m}{s} + 15.000 kg \cdot 1,11 \dfrac{m}{s}}{ (10.000 kg + 15.000 kg )} = u$

$u = 1,78 \dfrac{m}{s} \approx 1,8 \dfrac{m}{s}$

Wir erhalten natürlich dieselbe Geschwindigkeit nach dem Stoß.

Was kommt als Nächstes?

In der nachfolgenden Lerneinheit schauen wir uns den Kraftstoß an.

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