(Ph4-24) Impulserhaltungssatz

Inhaltsverzeichnis

In dieser Lerneinheit betrachten wir den Impulserhaltungssatz.

 


Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei Videoclips und zwei ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.


 


Impulserhaltungssatz – Grundlagen


Impulserhaltungssatz: Billard

 

Der Impulserhaltungssatz besagt, dass der Gesamtimpuls  eines mechanisch abgeschlossenen Systems  konstant ist. Von einem mechanisch abgeschlossenen System ist die Rede, wenn das System nicht in Wechselwirkung mit seiner Umgebung steht.

Betrachten wir zwei Körper, die aufeinander einwirken, bleibt der Gesamtimpuls beider Körper (Summe der Impulse beider Körper) konstant. Der Impuls jedes einzelnen Körpers kann sich dabei ändern, die Summe der Einzelimpulse hingegen ist konstant.

 

 \boxed{p_1 + p_2 = const}          Impulserhaltungssatz

mit:  p = m \cdot v

folgt

 \boxed{m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = const}

 

Dabei ist p1 der Impuls des Körpers 1 und p2 der Impuls des Körpers 2.

 


Eindimensionaler Stoß zweier Körper


Betrachten wir mal ein Beispiel, um den Impulserhaltungssatz zu verstehen. Nehmen wir einmal an, zwei Körper bewegen sich eindimensional (auf einer Linie) mit einer konstanten Geschwindigkeit aufeinander zu. Wir betrachten der Einfachheit halber zwei Massenpunkte. Der Massenpunkt 1 weist eine Geschwindigkeit v1 auf, der Massenpunkt 2 eine Geschwindigkeit v2. Beide Massenpunkte prallen zusammen und stoßen sich dann voneinander ab, so dass die beiden Massenpunkte sich nach dem Zusammenstoß in entgegengesetzter Richtung mit den Geschwindigkeiten u1 und u2 weiter bewegen.

 

Impulserhaltungssatz: Stoß zweier Massenpunkte

 

 

In der obigen Grafik ist das Beispiel aufgezeigt. Wir haben hier einmal die Geschwindigkeiten v1 und v2 vor dem Aufprall gegeben und außerdem die Geschwindigkeiten u1 und u2 nach dem Aufprall.  Der Impulserhaltungssatz ergibt sich in diesem Fall wie folgt:

 

m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot u_1 + m_2 \cdot u_2

 

Die Summe der beiden Impulse vor dem Stoß ist gleich der Summe der beiden Impulse nach dem Stoß.

 

undefiniert
Beispiel: Billard

Dazu stellen wir uns einen Stoß zweier Körper vor. Wir können uns das ganze am Beispiel Billard vorstellen. Das Spiel nutzt den Impuls einer Kugel, um diesen auf eine andere Kugel zu übertragen. Der Gesamtimpuls beider Kugeln ist vor und nach dem Zusammenstoß gleich groß (wenn wir die Reibung zwischen Kugel und Billardtisch vernachlässigen). Allerdings haben sich die Einzelimpulse der beiden Kugeln verändert. Trifft die angestoßene Kugel auf eine andere Kugel, dann gibt diese einen Teil ihres Impulses an die andere Kugel ab. Die Summe der beiden Impulse entspricht aber der Summe der Impulse vor dem Stoß.

Auch hier gehen wir wieder davon aus, dass sämtliche Reibungskräfte vernachlässigt werden.

 


>>Videoclip: Impulserhaltungssatz


Schauen wir uns mal die folgenden Videos zum Impulserhaltungssatz an.


Lernclip
Impulserhaltungssatz

 


Videoclip 1: Impulserhaltungssatz – Erklärung


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Videoclip 2: Impulserhaltungssatz – Beispielaufgabe


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Schauen wir uns zum Impulserhaltungssatz mal einige Beispiele an.


Beispiele zum Impulserhaltungssatz


Wir betrachten als nächstes einige Beispiele zum Impulserhaltungssatz. Versuche zunächst die Aufgaben selbstständig zu lösen, bevor die die Lösungen zur Hilfe nimmst.

 


Beispiel 1 : Kugel und Kiste


Aufgabenstellung

 

Impulserhaltungssatz: Kugel und Kiste

 

Eine Kugel mit der Masse von 8 g trifft mit einer Geschwindigkeit von 350 m/s auf eine ruhende Kiste mit der Masse von 2 kg und bleibt darin stecken.

Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich Kugel und Kiste nach dem Zusammentreffen weiter? 

 

Lösung

 


Impuls vor dem Zusammenstoß


Wir müssen in diesem Beispiel den Impulserhaltungssatz anwenden. Wir schauen uns zunächst die beiden Einzelimpulse von Kugel und Kiste an. Die Kugel hat ein Gewicht von 8 g und bewegt sich vor dem Zusammenprall mit einer Geschwindigkeit von 350 m/s. Wählen wir die Kugel als Körper 1, dann gilt:

 

p_1 = m_1 \cdot v_1 = 0,008 kg \cdot 350 \dfrac{m}{s} = 2,8 Ns

 

Der Impuls der Kugel beträgt vor dem Zusammentreffen 2,8 Ns. Die Kiste besitzt eine Masse von 2 kg und weist vor dem Zusammenprall keine Geschwindigkeit auf. Es gilt:

 

p_2 = m_2 \cdot v_2 = 2 kg \cdot 0 \dfrac{m}{s} = 0

 

Die Kiste weist demnach einen Impuls von Null auf, da sie sich in Ruhe befindet.

 

Der Gesamtimpuls ist jetzt die Summe der Einzelimpulse:

 

p_1 + p_2 = 2,8 Ns + 0 Ns = 2,8 Ns

 

Der Gesamtimpuls beträgt 2,8 Ns.

 


Impuls nach dem Zusammenstoß


Was passiert nach dem Zusammenstoß? Beide Körper (Kugel und Kiste) sind zu einem Körper verschmolzen, da die Kugel in der Kiste steckt. Dieser Körper muss den Impuls von 2,8 Ns aufweisen, da der Gesamtimpuls konstant bleibt. Die Masse des Körpers ist nichts anderes, als die Summe der beiden Massen (m = 2,008 kg). Die Geschwindigkeit, mit welcher sich dieser Körper bewegt soll berechnet werden:

 

p = m \cdot v

 

Der Impuls ist der Gesamtimpuls vor dem Stoß mit 2,8 Ns, die Masse ist die Summe der Masse beider Körper:

 

2,8 Ns = 2,008 kg \cdot v

 

Die Gleichung lösen wir nach der gesuchten Geschwindigkeit auf:

 

v = \dfrac{2,8 Ns}{2,008 kg} = 1,39 \dfrac{m}{s}

 

Die Kiste mit der Kugel weist nach dem Zusammenstoß eine Geschwindigkeit von 1,39 m/s auf. Dies entspricht einer Geschwindigkeit von 5 km/h (= 1,39 · 3,6).

 

 


Beispiel 2: Waggons


Aufgabenstellung

Ein Waggon mit einer Masse von 10 Tonnen fährt mit 10 km/h und stößt dabei auf einen zweiten Waggon mit der Masse von 15 Tonnen. Der zweite Waggon bewegt sich in die gleich Richtung, hat aber nur eine Geschwindigkeit von 4 km/h.

Mit welcher Geschwindigkeit fahren beide Waggons nach dem Zusammenprall weiter?

 

Lösung

Diese Aufgabe ist fast identisch zur oberen Aufgabe. Dieses Mal weisen aber beide Körper (Waggons) eine Geschwindigkeit auf und fahren in dieselbe Richtung auf derselben Schiene. Da der hintere Waggon aber schneller ist, stößt er irgendwann gegen den vorderen Waggon. Wir starten damit den Gesamtimpuls der beiden Waggons vor dem Stoß zu bestimmen. Du musst vorher noch die Einheiten umrechnen:

 

Geschwindigkeiten

10 km/h = 10 : 3,6 = 2,78 m/s

4 km/h = 4 : 3,6 = 1,11 m/s

 

Massen

10 t = 10.000 kg

15 t = 15.000 kg

 

Als nächstes berechnen wir die Einzelimpulse der beiden Waggons:

 

Hinterer Waggon: p_1 = m_1 \cdot v_1 = 10.000 kg \cdot 2,78 \dfrac{m}{s} = 27.800 Ns

Vorderer Waggon: p_2 = m_2 \cdot v_2 = 15.000 kg \cdot 1,11 \dfrac{m}{s} = 16.650 Ns

 

Der Gesamtimpuls ist nichts anderes als die Summe der beiden Einzelimpulse:

 

p_1 + p_2 = 27.800 Ns + 16.650 Ns = 44.450 Ns

 

Dieser Gesamtimpuls ist auch nach dem Stoß vorhanden. Wir wissen, dass beide Waggons sich gemeinsam bewegen, also eine Geschwindigkeit aufweisen. Du kannst also nach dem Stoß die beiden Körper als ein Körper betrachten, der die Masse der beiden Waggons aufweist:

 

p = (m_1 + m_2) \cdot v

 

Und damit gilt:

 

44.450 Ns = (10.000 kg + 15.000 kg) \cdot v

 

Wir lösen die Gleichung nach v auf und erhalten:

 

v = \dfrac{44.450 Ns}{ (10.000 kg + 15.000 kg)} = 1,8 \dfrac{m}{s}

 

Die beiden Waggons fahren mit einer Geschwindigkeit von 1,8 m/s gemeinsam weiter.

 


Schnellere Variante


Die schnellere Berechnungsvariante ergibt sich aus der obigen Formeln für den Impulserhaltungssatz:

 

m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot u_1 + m_2 \cdot u_2

 

Da sich beide Waggons nach dem Stoß mit einer Geschwindigkeit (nennen wir sie u) bewegen, gilt:

 

m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot u + m_2 \cdot u

 

Wir können die Geschwindigkeit u auf der rechten Seite ausklammern und erhalten:

 

m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = u (m_1 + m_2 )

 

Danach teilen wir durch die Klammer, damit u alleine steht:

 

\dfrac{m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2}{ (m_1 + m_2 )} = u

 

Jetzt können wir alle Werte eingeben und erhalten:

 

\dfrac{10.000 kg \cdot 2,78 \dfrac{m}{s} + 15.000 kg \cdot 1,11 \dfrac{m}{s}}{ (10.000 kg + 15.000 kg )} = u

 

u = 1,78 \dfrac{m}{s} \approx 1,8 \dfrac{m}{s}

 

Wir erhalten natürlich dieselbe Geschwindigkeit nach dem Stoß.

 

 


wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

In der nachfolgenden Lerneinheit schauen wir uns den Kraftstoß an.

 

Trainingsbereich

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