PH4 – Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt [Erklärungen, Formeln, Beispiele, Aufgaben]

Die Zentripetalkraft ist die Kraft, die einen Körper dazu zwingt, sich in einer gekrümmten Bahn zu bewegen, anstatt in einer geraden Linie fortzufahren. Wenn ein Körper sich in einer Kreisbewegung befindet, wirkt auf diesen eine Kraft, die ihn zur Mitte des Kreises zieht. Diese Kraft wird als Zentripetalkraft bezeichnet.

In dieser Lerneinheit betrachten wir die Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt. Das Thema Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt taucht immer wieder in der Physik auf. Besonders im Bereich der Fahrzeugtechnik.

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei ausführliche Beispiele zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Kinetik findest du im Kurs: PH4-Kinetik.

Zentripetalkraft – Beispiel

Ein einfaches Beispiel für die Zentripetalkraft ist das Drehen eines Steins an einem Seil, wie es oft beim Schleudern praktiziert wird. Stell dir vor, du hältst ein Seil in der Hand, an dessen Ende ein Stein befestigt ist. Wenn du den Stein in einer Kreisbewegung um deinen Körper herum schleuderst, erlebst du die Zentripetalkraft.

Die Zentripetalkraft ist die Kraft, die das Seil auf den Stein ausübt, um ihn auf seiner kreisförmigen Bahn zu halten. Sie zieht den Stein zur Mitte des Kreises, während er sich um dich herum bewegt. Wenn du das Seil loslassen würdest, würde der Stein geradlinig fliegen, aber die Zentripetalkraft zwingt ihn dazu, in der Kreisbahn zu bleiben.

Je schneller du den Stein schleuderst oder je kürzer das Seil ist, desto stärker ist die Zentripetalkraft, die erforderlich ist, um den Stein in der Kreisbahn zu halten.

Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt

Fährt ein Fahrzeug (Auto, Fahrrad, LKW etc.) durch eine Kurve, dann wird die dafür notwendige Zentripetalkraft (die das Fahrzeug in der Kurve hält) durch die Reibung zwischen Reifen und Boden aufgebracht.

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Infolge der Reibung zwischen den Reifen des Fahrzeugs mit dem Boden, ergibt sich eine Haftreibungskraft F_H, die dafür sorgt, dass das Fahrzeug nicht ins rutschen kommt, sondern auf dem Boden haftet. Diese Haftreibungskraft sorgt dafür, dass die Zentripetalkraft eintritt, die das Fahrzeug in der Kurve hält.

Es gilt also:

$F_H = F_Z$

Die Haftreibungskraft F_Hkannst du – wie bereits in den vorangegangenen Lerneinheiten zur schiefen Ebene gezeigt – aus der Normalkraft F_N bestimmen, welche wiederum aus der Gewichtskraft F_G berechnet wird:

$F_{H} = \mu_0 \cdot F_N = \mu_0 \cdot F_G \cdot \cos(\alpha)$

Wir gehen im Weiteren von einer horizontalen Kurve aus, d.h. die Straße weist keine Neigung auf und damit ist der Neigungswinkel Null. Damit wird cos(0) = 0 und wir erhalten:

$F_R = \mu_0 \cdot F_N = \mu_0 \cdot F_G$

Dabei ist μ₀ der Haftreibungskoeffizient und F_G = m· g die Gewichtskraft. Der Haftreibungskoeffizient ist abhängig von den beiden Reibungspartnern und deren Materialien (hier: Straße und Reifen).

Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt – Beispiele im Alltag

Hier sind einige Beispiele für die Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt im Alltag:

Autofahren: Wenn du mit deinem Auto eine Kurve fährst, wirkt die Zentripetalkraft auf das Auto und zieht es zur Mitte der Kurve. Diese Kraft ermöglicht es dem Auto, die Kurve zu durchfahren, ohne geradeaus zu fahren.
Fahrradfahren: Beim Fahrradfahren auf einer kurvigen Straße wirkt die Zentripetalkraft auf das Fahrrad und hält es in der Kurve. Ohne diese Kraft würde das Fahrrad in einer geraden Linie weiterfahren.
Achterbahnfahrt: In einer Achterbahn erfährst du die Zentripetalkraft, wenn du durch enge Kurven fährst. Die Zentripetalkraft zieht dich zur Mitte der Kurve und sorgt dafür, dass du auf der Schiene bleibst.
Skifahren: Beim Skifahren in einem Slalomkurs wirkt die Zentripetalkraft auf die Skifahrer. Sie ermöglicht es den Skifahrern, die engen Kurven zu durchfahren, indem sie sie zur Mitte der Kurve zieht.
Karussellfahren: Beim Karussellfahren wirkt die Zentripetalkraft auf die Fahrgäste und zieht sie zur Mitte des Karussells. Ohne diese Kraft würden die Fahrgäste in gerader Linie weitergehen.
Eishockeyspiel: Beim Eishockey wirkt die Zentripetalkraft auf die Spieler, wenn sie in einer Kurve um das Spielfeld gleiten. Diese Kraft ermöglicht es ihnen, die Kurven zu nehmen, während sie ihre Geschwindigkeit beibehalten.

Diese Beispiele verdeutlichen, wie die Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt im Alltag wirkt. Sie ist eine wichtige Kraft in der Physik und ermöglicht es Objekten, in Kurven zu bleiben und ihre Bahn zu halten, anstatt in gerader Linie weiterzugehen.

Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt – Haftreibungskoeffizient

Schauen wir uns mal zu dem Thema Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt einige Haftreibungskoeffizienten für verschiedene Bodenbeschaffenheiten an:

Reifen auf trockenem Asphalt	μ = 1,0 (optimaler Wert)
Reifen auf nassem Asphalt	μ = 0,8
Reifen auf vereister Fahrbahn	μ = 0,2

Je kleiner der Haftreibungskoeffizient ist, desto weniger Haftung ist zwischen Reifen und Boden gegeben und desto schneller beginnt das Fahrzeug mit zunehmender Geschwindigkeit zu rutschen.

Stellen wir uns nun mal vor ein Fahrzeug fährt mit einer sehr hohen Geschwindigkeit in eine Kurve. Es kann dann passieren, dass die Haftreibungskraft nicht mehr ausreicht, um die notwendige Zentripetalkraft aufzubringen. Die Zentripetalkraft ist aber notwendig dafür, dass sich das Fahrzeug in einer Kurve bewegt, da diese Kraft das Fahrzeug zum Kurvenmittelpunkt “zieht”. Fährt das Fahrzeug also zu schnell in die Kurve und geht damit die Haftung verloren, so gerät das Fahrzeug ins rutschen und damit tritt die Gleitreibungskraft auf, die kleiner als die Haftreibungskraft ist.

Zentripetalkraft bei Kurvenfahrt: Fahrtrichtung bei Haftung und ohne — Zentripetalkraft – Fahrtrichtung mit und ohne Haftung

Was passiert dann? Wir haben nun eine kleinere Kraft – die Gleitreibungskraft – gegeben. Damit ist die notwendige Zentripetalkraft nicht mehr gegeben und somit bewegt sich das Fahrzeug nicht mehr in einer Kurve sondern tangential zum Kreisbogen, wie in der obigen Grafik ersichtlich wird. Erst wenn die Geschwindigkeit wieder so klein ist, dass die Haftung eintritt, kann das Fahrzeug die Kurvenfahrt fortsetzen, da nun die notwendige Zentripetalkraft wieder wirkt.

Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt – Geschwindigkeit

Wir wissen nun, dass die Zentripetalkraft durch die Haftreibungskraft aufgebracht wird, also gilt:

Zentripetalkraft

$F_Z = F_R$

mit

$F_R = \mu_0 \cdot m \cdot g$

Die Zentripetalkraft können wir auch mittels der Geschwindigkeit v ausdrücken (siehe vorherige Lerneinheit):

$F_Z = \dfrac{m \cdot v^2}{r}$

Einsetzen führt uns zu:

$\dfrac{m \cdot v^2}{r} = \mu_0 \cdot m \cdot g$

Wir suchen die Geschwindigkeit, deswegen lösen wir die obige Gleichung nach der Geschwindigkeit $v$ auf:

$\dfrac{m \cdot v^2}{r} = \mu_0 \cdot m \cdot g$ | $\cdot r$

$m \cdot v^2 = \mu_0 \cdot m \cdot g \cdot r$ | $: m$

$v^2 = \dfrac{\mu_0 \cdot m \cdot g \cdot r}{m}$ |m kürzen

$v^2 = \mu_0 \cdot g \cdot r$ |Wurzel ziehen

$v = \sqrt{\mu_0 \cdot g \cdot r}$

Die maximale Geschwindigkeit mit welcher ein Fahrzeug durch eine Kurven fahren kann, so dass gerade noch Haftung besteht ist abhängig von der Haftreibungszahl μ₀, der Erdbeschleunigung g und dem Radius r:

Maximale Geschwindigkeit

$v = \sqrt{\mu_0 \cdot g \cdot r}$

Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt: Winkel

Betrachten wir die Kurvenfahrt am Beispiel eines Motorrads. Du hast sicherlich schon gesehen, dass ein Motorradfahrer bei einer Kurvenfahrt das Fahrzeug zur Kurveninnenseite neigt.

Warum neigt er das Fahrzeug zur Kurveninnenseite?

Das liegt daran, dass das Motorrad so im Gleichgewicht bleibt. Denn die Bodendruckkraft F_B, mit welcher das Motorrad auf die Straße gedrückt wird, muss durch den Schwerpunkt des Motorrads verlaufen. Das wird dann erreicht, wenn sich das Motorrad in die Schräglage begibt:

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In der obigen Grafik siehst du ein Motorrad, welches durch eine Kurve fährt. Das Motorrad ist in Richtung Kurveninnenseite geneigt. Die Bodendruckkraft F_B (die Kraft, die das Motorrad auf die Straße drückt), ist die Resultierende aus der Fliehkraft F_F und der Gewichtskraft F_G.

Der Neigungswinkel α des Motorrads zur Vertikalen muss so gewählt werden, dass die Bodendruckkraft F_B genau durch den Schwerpunkt des Motorrads verläuft. Betrachtest du nun die obigen Kräfte so kannst du den Winkel mittels Tangens wie folgt bestimmen:

$\tan (\alpha) = \dfrac{F_F}{F_G}$

Es gilt:

$F_F = F_Z = m \cdot \dfrac{v_U^2}{r}$

Einsetzen in die obige Gleichung führt uns zu:

$\tan (\alpha) = \dfrac{ m \cdot \dfrac{v_U^2}{r}}{m \cdot g}$

mit

$v_U = v$ : $\tan (\alpha) = \dfrac{v^2}{g \cdot r}$

Fährst du mit einem Auto durch eine Kurve, dann kann das Auto nicht geneigt werden. Damit die Zentripetalkraft F_Z aufgebracht wird, muss hier die Fahrbahn schräg zum Kurvenmittelpunkt unter dem oben angegebenen Winkel α gebaut werden.

Zentripetalkraft, Kurvenfahrt, schräge Fahrbahn, geneigte Fahrbahn, — Schräge Fahrbahn bei Kurvenfahrt

Schauen wir uns im folgenden mal ein Beispiel an, in denen wir die Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt berechnen wollen.

Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt: Beispiel

Aufgabenstellung

Eine Fahrbahn soll in einer Kurve mit einem Radius von 300 m bei einem Auto mit der Masse von 1.000 kg eine Geschwindigkeit von 120 km/h ermöglichen, ohne dass auf das Fahrwerk des Fahrzeugs seitliche Kräfte wirken.

a) Wie groß ist die Zentripetalkraft?

b) Unter welchem Winkel muss die Straße gebaut werden, damit die Zentripetalkraft aufgebracht wird?

c) Mit welcher maximalen Geschwindigkeit darf das Fahrzeug bei horizontaler Fahrbahn fahren, damit es bei einer Haftreibung $\mu_0 = 0,3$ nicht zu rutschen beginnt?

Gegeben:

$m = 1.000 kg$

$r= 300 m$

$v = 120\frac{km}{h}$

a) Zentripetalkraft berechnen

Zunächst benötigen wir die Größe der Zentripetalkraft, also derjenigen Kraft, die verhindert, dass das Auto seitlichen Kräften ausgesetzt und damit aus der Kurve “geworfen” wird. Die Zentripetalkraft soll das Auto also in der Spur halten, indem es die seitlichen Kräfte ausgleicht.

$F_Z = m \cdot \dfrac{v^2}{r}$

Wir müssen zunächst in SI-Einheiten umrechnen, da die Geschwindigkeit in km/h Stunde gegeben ist und wir m/s benötigen. Her verwenden wir wieder den Faktor 3,6:

$120 : 3,6 = 33,33 \dfrac{m}{s}$

Wir können nun alle Werte in die Gleichung einsetzen:

$F_Z = 1.000 kg \cdot \dfrac{(33,33 \frac{m}{s})^2}{300 m} = 3.702,96 N$

Die Zentripetalkraft muss 3.702,96 N betragen, damit das das obige Auto keine seitlichen Kräfte wirken, die das Auto aus der Kurve “werfen” bzw. damit das Auto in der Kurve verbleibt.

b) Winkel berechnen

Für die Berechnung des Winkels können wir die folgende Gleichung heranziehen:

$\tan (\alpha) = \dfrac{F_Z}{F_G}$

Die Gewichtskraft $F_G$ berechnen wir mittels der Masse des Autos:

$F_G = m \cdot g = 1.000 kg \cdot 9,81 \dfrac{m}{s^2} = 9.810 N$

Einsetzen in die obige Gleichung:

$\tan (\alpha) = \dfrac{3.702,96 N}{9.810 N}$

Auflösen nach dem Winkel α mittels Umkehrfunktion des Tangens, den Arkustangens (arctan oder tan^-1):

$\alpha = tan^{-1} (\dfrac{3.702,96 N}{9.810 N}) = 20,68^\circ$

Die Straße muss unter einem Winkel von 20,68° gebaut werden, damit die Zentripetalkraft aufgebracht wird.

c) Maximale Geschwindigkeit

Zur Berechnung der maximalen Geschwindigkeit können wir die Gleichung weiter oben auf der Seite anwenden:

$v = \sqrt{\mu_0 \cdot g \cdot r}$

Einsetzen der Werte führt uns auf:

$v = \sqrt{0,3 \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 300 m} = 29,71 \dfrac{m}{s}$

Die maximale Geschwindigkeit, die ein Fahrzeug bei einer Kurve mit dem Kurvenradius 300m und einem Haftungskoeffizienten zwischen Reifen und Boden aufbringen darf, damit dieses weiterhin in der Kurve verbleibt, beträgt 29,71 Meter pro Sekunde, also 106,96 Kilometer pro Stunde.

Was kommt als Nächstes?

Nachdem wir nun über das Thema Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt gesprochen haben, behandeln wir in der folgenden Lerneinheit behandeln wir das Thema: Impuls.

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