(Ph4-07) Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt

Inhaltsverzeichnis

In dieser Lerneinheit betrachten wir die Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt. Das Thema Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt taucht immer wieder in der Physik auf. Besonders im Bereich der Fahrzeugtechnik.

 


Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei ausführliche Beispiele zu dem Thema.


 

 


Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt: Grundlagen


Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt
Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt

 

Fährt ein Fahrzeug (Auto, Fahrrad, LKW etc.) durch eine Kurve, dann wird die dafür notwendige Zentripetalkraft (die das Fahrzeug in der Kurve hält) durch die Reibung zwischen Reifen und Boden aufgebracht.

 

Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt
Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt

 

Infolge der Reibung zwischen den Reifen des Fahrzeugs mit dem Boden, ergibt sich eine Haftreibungskraft FH, die dafür sorgt, dass das Fahrzeug nicht ins rutschen kommt, sondern auf dem Boden haftet. Diese Haftreibungskraft sorgt dafür, dass die Zentripetalkraft eintritt, die das Fahrzeug in der Kurve hält.

 

Es gilt also:

 

F_H = F_Z

 

Die Haftreibungskraft FH kannst du – wie bereits in den vorangegangenen Lerneinheiten zur schiefen Ebene gezeigt – aus der Normalkraft FN bestimmen, welche wiederum aus der Gewichtskraft FG berechnet wird:

 

F_{H} = \mu_0 \cdot F_N = \mu_0 \cdot F_G \cdot \cos(\alpha)

 

Wir gehen im Weiteren von einer horizontalen Kurve aus, d.h. die Straße weist keine Neigung auf und damit ist der Neigungswinkel Null. Damit wird cos(0) = 0 und wir erhalten:

 

F_R = \mu_0 \cdot F_N = \mu_0 \cdot F_G

 

Dabei ist μ0 der Haftreibungskoeffizient und FG = m· g die Gewichtskraft. Der Haftreibungskoeffizient ist abhängig von den beiden Reibungspartnern und deren Materialien (hier: Straße und Reifen).

 


Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt: Haftreibungskoeffizient


Schauen wir uns mal zu dem Thema Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt einige Haftreibungskoeffizienten für verschiedene Bodenbeschaffenheiten an:

Reifen auf trockenem Asphalt μ = 1,0   (optimaler Wert)
Reifen auf nassem Asphalt μ  = 0,8
Reifen auf vereister Fahrbahn μ  = 0,2
 

Je kleiner der Haftreibungskoeffizient ist, desto weniger Haftung ist zwischen Reifen und Boden gegeben und desto schneller beginnt das Fahrzeug mit zunehmender Geschwindigkeit zu rutschen.

 

Stellen wir uns nun mal vor ein Fahrzeug fährt mit einer sehr hohen Geschwindigkeit in eine Kurve. Es kann dann passieren, dass die Haftreibungskraft nicht mehr ausreicht, um die notwendige Zentripetalkraft aufzubringen. Die Zentripetalkraft ist aber notwendig dafür, dass sich das Fahrzeug in einer Kurve bewegt, da diese Kraft das Fahrzeug zum Kurvenmittelpunkt “zieht”. Fährt das Fahrzeug also zu schnell in die Kurve und geht damit die Haftung verloren, so gerät das Fahrzeug ins rutschen und damit tritt die Gleitreibungskraft auf, die kleiner als die Haftreibungskraft ist.

Zentripetalkraft bei Kurvenfahrt: Fahrtrichtung bei Haftung und ohne
Zentripetalkraft – Fahrtrichtung mit und ohne Haftung

 

Was passiert dann? Wir haben nun eine kleinere Kraft – die Gleitreibungskraft – gegeben. Damit ist die notwendige Zentripetalkraft nicht mehr gegeben und somit bewegt sich das Fahrzeug nicht mehr in einer Kurve sondern tangential zum Kreisbogen,  wie in der obigen Grafik ersichtlich wird. Erst wenn die Geschwindigkeit wieder so klein ist, dass die Haftung eintritt, kann das Fahrzeug die Kurvenfahrt fortsetzen, da nun die notwendige Zentripetalkraft wieder wirkt.

 


Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt: Geschwindigkeit


Wir wissen nun, dass die Zentripetalkraft durch die Haftreibungskraft aufgebracht wird, also gilt:

 

F_Z = F_R

mit

F_R = \mu_0 \cdot m \cdot g

 

Die Zentripetalkraft können wir auch mittels der Geschwindigkeit v ausdrücken (siehe vorherige Lerneinheit):

 

F_Z = \dfrac{m \cdot v^2}{r}

 

Einsetzen führt uns zu:

 

\dfrac{m \cdot v^2}{r} = \mu_0 \cdot m \cdot g

 

Wir suchen die Geschwindigkeit, deswegen lösen wir die obige Gleichung nach der Geschwindigkeit v auf:

 

\dfrac{m \cdot v^2}{r} = \mu_0 \cdot m \cdot g                      |\cdot r

 

m \cdot v^2 = \mu_0 \cdot m \cdot g \cdot r                |: m

 

v^2 = \dfrac{\mu_0 \cdot m \cdot g \cdot r}{m}                        |m kürzen

 

v^2 = \mu_0 \cdot g \cdot r                                   |Wurzel ziehen

 

v = \sqrt{\mu_0 \cdot g \cdot r}

 

Die maximale Geschwindigkeit mit welcher ein Fahrzeug durch eine Kurven fahren kann, so dass gerade noch Haftung besteht ist abhängig von der Haftreibungszahl μ0, der Erdbeschleunigung g und dem Radius r:

 

 \boxed{v = \sqrt{\mu_0 \cdot g \cdot r}}         Maximale Geschwindigkeit

 


Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt: Winkel


Betrachten wir die Kurvenfahrt am Beispiel eines Motorrads. Du hast sicherlich schon gesehen, dass ein Motorradfahrer bei einer Kurvenfahrt das Fahrzeug zur Kurveninnenseite neigt.

 

Warum neigt er das Fahrzeug zur Kurveninnenseite?

 

Das liegt daran, dass das Motorrad so im Gleichgewicht bleibt. Denn die Bodendruckkraft F_B, mit welcher das Motorrad auf die Straße gedrückt wird, muss durch den Schwerpunkt des Motorrads verlaufen. Das wird dann erreicht, wenn sich das Motorrad in die Schräglage begibt:

 

Zentripetalkraft - Winkel
Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt

 

In der obigen Grafik siehst du ein Motorrad, welches durch eine Kurve fährt. Das Motorrad ist in Richtung Kurveninnenseite geneigt. Die Bodendruckkraft FB (die Kraft, die das Motorrad auf die Straße drückt), ist die Resultierende aus der Fliehkraft FF und der Gewichtskraft FG.

Der Neigungswinkel α des Motorrads zur Vertikalen muss so gewählt werden, dass die Bodendruckkraft FB genau durch den Schwerpunkt des Motorrads verläuft. Betrachtest du nun die obigen Kräfte so kannst du den Winkel mittels Tangens wie folgt bestimmen:

 

\tan (\alpha) = \dfrac{F_F}{F_G}

Es gilt:

F_F = F_Z = m \cdot \dfrac{v_U^2}{r}

 

\tan (\alpha) = \dfrac{ m \cdot \dfrac{v_U^2}{r}}{m \cdot g}

mit

v_U = v:   \tan (\alpha) = \dfrac{v^2}{g \cdot r}

 

Fährst du mit einem Auto durch eine Kurve, dann kann das Auto nicht geneigt werden. Damit die Zentripetalkraft FZ aufgebracht wird, muss hier die Fahrbahn schräg zum Kurvenmittelpunkt unter dem oben angegebenen Winkel α gebaut werden.

 

Zentripetalkraft
Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt – Schräge Kurve

 

Schauen wir uns im folgenden mal ein Beispiel an, in denen wir die Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt berechnen wollen.


Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt: Beispiel


Aufgabenstellung

Eine Fahrbahn soll in einer Kurve mit einem Radius von 300 m bei einem Auto mit der Masse von 1.000 kg eine Geschwindigkeit von 120 km/h ermöglichen, ohne dass auf das Fahrwerk des Fahrzeugs seitliche Kräfte wirken.

a) Wie groß ist die Zentripetalkraft?

b) Unter welchem Winkel muss die Straße gebaut werden, damit die Zentripetalkraft aufgebracht wird?

c) Mit welcher maximalen Geschwindigkeit darf das Fahrzeug bei horizontaler Fahrbahn fahren, damit es bei einer Haftreibung \mu_0 = 0,3 nicht zu rutschen beginnt?

 

 

Lösung

Gegeben:

m = 1.000 kg

r= 300 m

v = 120\frac{km}{h}

 

a) Gesucht: FZ  Zentripetalkraft

Zunächst benötigen wir die Größe der Zentripetalkraft, also derjenigen Kraft, die verhindert, dass das Auto seitlichen Kräften ausgesetzt und damit aus der Kurve “geworfen” wird. Die Zentripetalkraft soll das Auto also in der Spur halten, indem es die seitlichen Kräfte ausgleicht.

 

F_Z = m \cdot \dfrac{v^2}{r}

 

Wir müssen zunächst in SI-Einheiten umrechnen, da die Geschwindigkeit in km/h Stunde gegeben ist und wir m/s benötigen. Her verwenden wir wieder den Faktor 3,6:

 

120 : 3,6 = 33,33 \dfrac{m}{s}

 

Wir können nun alle Werte in die Gleichung einsetzen:

 

F_Z = 1.000 kg \cdot \dfrac{(33,33 \frac{m}{s})^2}{300 m} = 3.702,96 N

 

Die Zentripetalkraft muss 3.702,96 N betragen, damit das das obige Auto keine seitlichen Kräfte wirken, die das Auto aus der Kurve “werfen” bzw. damit das Auto in der Kurve verbleibt.

 

b) Gesucht: α

Für die Berechnung des Winkels können wir die folgende Gleichung heranziehen:

 

\tan (\alpha) = \dfrac{F_Z}{F_G}

 

Die Gewichtskraft F_G berechnen wir mittels der Masse des Autos:

 

F_G = m \cdot g = 1.000 kg \cdot 9,81 \dfrac{m}{s^2} = 9.810 N

 

Einsetzen in die obige Gleichung:

 

\tan (\alpha) = \dfrac{3.702,96 N}{9.810 N}

 

Auflösen nach dem Winkel α mittels Umkehrfunktion des Tangens, den Arkustangens (arctan oder tan-1):

 

\alpha = tan^{-1} (\dfrac{3.702,96 N}{9.810 N}) = 20,68^\circ

 

Die Straße muss unter einem Winkel von 20,68° gebaut werden, damit die Zentripetalkraft aufgebracht wird.

 

c) Gesucht: vmax

Zur Berechnung der maximalen Geschwindigkeit können wir die Gleichung weiter oben auf der Seite anwenden:

 

v = \sqrt{\mu_0 \cdot g \cdot r}

 

Einsetzen der Werte führt uns auf:

 

v = \sqrt{0,3 \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 300 m} = 29,71 \dfrac{m}{s}

 

Die maximale Geschwindigkeit, die ein Fahrzeug bei einer Kurve mit dem Kurvenradius 300m und einem Haftungskoeffizienten zwischen Reifen und Boden aufbringen darf, damit dieses weiterhin in der Kurve verbleibt, beträgt 29,71 Meter pro Sekunde, also 106,96 Kilometer pro Stunde.

 

 

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

Nachdem wir nun über das Thema Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt gesprochen haben, behandelnt wir in der folgenden Lerneinheit behandeln wir das Thema: Impuls.

 

Trainingsbereich

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