(Ph4-06) Zentripetalkraft

Inhaltsverzeichnis

 “Die Zentripetalkraft (bzw. Radialkraft) ist die äußere Kraft, die auf einen Körper wirken muss, damit sich dieser im Inertialsystem auf einer gekrümmten Bahn bewegt.”


Für ein optimales Verständnis helfen dir drei unterschiedliche Beispiele zu dem Thema.


 


Zentripetalkraft – Grundlagen


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Die Zentripetalkraft ist die äußere Kraft, die auf einen Körper wirken muss, damit sich dieser auf einer gekrümmten Bahn bewegt (zum Beispiel im Kreis oder auf in einer Kurve). Die Zentripetalkraft ist radial gerichtet, d.h. sie zeigt zum Mittelpunkt des Krümmungskreises und steht senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor \vec{v}.

 

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In der obigen Grafik siehst du auf den Kreismittelpunkt gerichtete Zentripetalkraft FZ. Diese Kraft sorgt dafür, dass sich der Körper auf einer Kreisbahn bewegt. Das bedeutet für den Geschwindigkeitsvektor, dass dieser ständig seine Richtung ändern muss. Bevor wir mit der Berechnung der Zentripetalkraft beginnen, schauen wir uns zunächst einmal an, wie eine Bewegung auf einer Kreisbahn aussieht.

 


Bewegung auf einer Kreisbahn


Das erste Newtonsche Gesetz – das Trägheitsgesetz – lässt sich auch bei einer Kreisbewegung anwenden. Dazu betrachten wir einen Körper, der sich mit einer gleichförmigen (= konstanten) Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn bewegt.

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Gleichförmige Kreisbewegung

 

In der obigen Grafik siehst du einen Körper, welcher sich gleichförmig mit der Winkelgeschwindigkeit \omega in einer Linksdrehung auf einer Kreisbahn bewegt. Zum Zeitpunkt t_1 weist er einen bestimmten Geschwindigkeitsvektor auf, der sich vom Geschwindigkeitsvektor zum Zeitpunkt t_2 in seiner Richtung unterscheidet. Der Betrag der Geschwindigkeit, also die Umfangsgeschwindigkeit v_U bleibt hingegen konstant.

Im Gegensatz zur gleichförmigen Bewegung bleibt bei der gleichförmigen Kreisbewegung der Geschwindigkeitsvektor \vec{v} nicht konstant, da zwar sein Betrag (= Umfangsgeschwindigkeit) konstant bleibt, seine Richtung sich aber ständig ändert.

Um das zu verstehen, betrachten wir mal die Beschleunigungen, die auftreten können.

 


Zentripetalbeschleunigung und Tangentialbeschleunigung


Bei einer Kreisbewegung können wir eine Beschleunigung tangential und radial zur Kreisbahn betrachten.

Die Tangentialbeschleunigung  bestimmt dabei die Veränderung des Betrags der Geschwindigkeit (=Umfangsgeschwindigkeit). Die radiale Beschleunigung ist verantwortlich dafür, dass sich der Körper nicht auf einer Geraden bewegt, sondern sich die Richtung der Geschwindigkeit ändert. Sie wird auch als Zentripetalbeschleunigung bezeichnet.

 

Zentripetalbeschleunigung - Zentripentalkraft

 

Ist eine Beschleunigung gegeben, so ändert sich die Geschwindigkeit. Ist keine Beschleunigung gegeben, so bleibt die Geschwindigkeit konstant.

Im Falle der gleichförmigen Kreisbewegung bleibt also der Betrag der Geschwindigkeit konstant, weil keine Tangentialbeschleunigung gegeben ist. Da aber eine Zentripetalbeschleunigung wirkt, ist die Richtung der Geschwindigkeit nicht konstant, sondern ändert sich ständig.

 

In der Umgangssprache wird die Beschleunigung grundsätzlich als “Temposteigerung” verstanden, also als Steigerung des Betrags der Geschwindigkeit. Innerhalb der Physik hingegen ist aber jede Änderung der Bewegung eine Beschleunigung, also auch eine Richtungsänderung des Geschwindigkeitsvektors.

 


Beispiel: Richtungsänderung


undefiniert
Beispiel: Richtungsänderung

Damit du weißt wovon wir eigentlich sprechen stelle dir einfach vor, dass du mit deinen Freunden eine Schlittenfahrt machst. Du ziehst deinen Kumpel auf dem Schlitten mit einer gewissen Beschleunigung gradlinig den Berg hinauf. Hier änderst du deine Richtung nicht, du wendest aber deine Muskelkraft auf, um ihn den Berg hochzuziehen. Bei dieser Bewegung handelt es sich um eine beschleunigte Bewegung. Die Beschleunigung ergibt sich, weil auf den Schlitten eine Kraft (deine Muskelkraft) wirkt.

Nun bist du oben angekommen und ihr wollt gemeinsam den Berg hinunterfahren. Dafür musst du den Schlitten wenden. Um den Schlitten zu wenden, also seine Richtung zu ändern, musst du ebenfalls deine Muskelkraft aufwenden. Der Schlitten weist in dem Sinne keine Geschwindigkeit auf, da er sich nicht von der Stelle bewegt (wenn du nur den Schwerpunkt betrachtest). Für die Richtungsänderung benötigst du aber wieder eine Kraft (deine Muskelkraft) und damit ist physikalisch auch wieder eine Beschleunigung gegeben.

 


Berechnung der Zentripetalbeschleunigung


Die Zentripetalbeschleunigung, die für die Richtungsänderung der Geschwindigkeit verantwortlich ist, wird wie folgt berechnet:

 

 \boxed{a_Z = \dfrac{v_U^2}{r}}          Zentripetalbeschleunigung

 

Die Umfangsgeschwindigkeit v_U berechnet sich zu:

 

 \boxed{v_U = \omega \cdot r}

 

Damit ergibt sich für die Zentripetalbeschleunigung:

 

 \boxed{a_Z = \omega^2 \cdot r}          Zentripetalbeschleunigung

mit:

 \boxed{\omega = \dfrac{\varphi}{t}}

 


Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft


Wir können nun aus der Zentripetalbeschleunigung die Zentripetalkraft berechnen. Die Ursache einer Beschleunigung ist nach dem Newtonschen Grundgesetz (2. Newtonsches Gesetz) immer eine Krafteinwirkung:

 

 \boxed{F = m \cdot a}          Newtonsches Grundgesetz

 

Ist ein rotierendes System gegeben, so wird diese Kraft als Zentripetalkraft bezeichnet. Zur Berechnung der Zentripetalkraft F_Z setzen wir die Zentripetalbeschleunigung a_z in das Newtonsche Grundgesetz ein:

 

 \boxed{F_Z = m \cdot a_Z = m \cdot \dfrac{v_U^2}{r} = m \cdot r \cdot \omega^2}          Zentripetalkraft

 

Die Zentripetalkraft steht im Gleichgewicht mit der Zentrifugalkraft, welche die Trägheitskraft des rotierenden Körpers darstellt.

 

Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft

 

Bei der Zentrifugalkraft -auch als Fliehkraft bezeichnet- handelt es sich um eine Trägheitskraft, die bei Dreh- und Kreisbewegungen auftritt. Die Zentrifugalkraft nimmt ein Beobachter wahr, der sich in einem rotierenden Bezugssystem befindet. Bewegst du dich also zusammen mit dem Körper im Kreis, dann spürst du die Zentrifugalkraft.

 


Beispiel: Karussellfahrt


undefiniert
Beispiel: Karussellfahrt

Diese Fliehkraft spürst du, wenn du zum Beispiel auf der Kirmes im Musikexpress sitzt. Durch die Zentrifugalkraft wirst du nach außen gedrückt. Zu zweit macht die Fahrt im Musikexpress dann besonders viel Spaß, wenn der Partner links von dir nicht genügend Kraft besitzt um sich festzuhalten und dieser dann auf deinem Schoß sitzt.

Die Zentripetalkraft steht im Gleichgewicht mit der Zentrifugalkraft. Die Berechnung der Zentrifugalkraft erfolgt damit identisch zur Berechnung der Zentripetalkraft.

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Fassen wir das Ganze nochmal zusammen:

  • Zentripetalbeschleunigung: Radial gerichtete Beschleunigung, die dafür sorgt, dass sich die Richtung der Geschwindigkeit ständig ändert.
  • Zentrifugalkraft: Die Kraft, die den Körper auf einer Kreisbahn hält.
  • Zentrifugalkraft: Hierbei handelt es sich um diejenige Fliehkraft, die den Körper bei einer Kreisbewegung nach außen drückt.

 


Zentripetalkraft berechnen


Aufgabenstellung

Eine Person hält einen 1,5 Meter langen Faden, an dessen Ende eine Kugel mit der Masse von 2 kg befestigt ist. Die Person dreht die Kugel mit einer Drehzahl von 120 min-1 horizontal in einer Kreisbahn um sich selbst.

Welche Kraft muss diese Person aufwenden? 

 

Lösung

Gegeben:

r= 1,5m

n = 120 \dfrac{1}{min}

m = 2 kg

 

Gesucht:

F_Z   Zentripetalkraft

 

Wir können die Zentripetalkraft über die folgende Formel berechnen:

 

 \boxed{F_Z = m \cdot r \cdot \omega^2}

 

Einsetzen der gegebenen Werte:

 

 \boxed{F_Z = 2 kg \cdot 1,5 m \cdot \omega^2}

 

Winkelgeschwindigkeit

Es fehlt noch die Winkelgeschwindigkeit \omega (die Gleichungen für die Gleichförmige Kreisbewegung kennst du aus dem Kurs (Ph3) – Grundlagen der Kinematik):

 

 \boxed{\omega = 2 \pi \cdot f}

 

Die Frequenz f ist gleich der Drehzahl:

 

 \boxed{f = n = 120 \dfrac{1}{min}}

 

Die Drehzahl ist in 1/min angegeben. Wir müssen diese in ihre SI-Einheit 1/s umrechnen. Mit 1 min = 60 Sekunden erhalten wir dann:

 

 \boxed{n = 120 \dfrac{1}{60 s} = 2 \dfrac{1}{s}}

 

Jetzt können wir die Winkelgeschwindigkeit berechnen:

 

 \boxed{\omega = 2 \pi \cdot 2 \dfrac{1}{s} = 12,57  \dfrac{1}{s}}

 

Zentripetalkraft

Danach berechnen wir die Zentripetalkraft:

 

 \boxed{F_Z = 2 kg \cdot 1,5 m \cdot (12,57  \dfrac{1}{s})^2 = 474,01 N}

 

Die Person muss eine Kraft von 474,01 N aufwenden, um eine Kugel (2 kg) an einem 1,5 Meter langen Faden mit einer Drehzahl von 120 min-1 (Umdrehungen pro Minuten) horizontal in einer Kreisbahn um sich selbst zu drehen.

 


wie gehts weiter?
In der folgenden Lerneinheit schauen wir uns die Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt mal genauer.

 

Trainingsbereich

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