PH4 – Zentripetalkraft berechnen [Erklärungen, Formeln, Beispiele, Aufgaben]

In diesem Kursabschnitt befassen wir uns mit der Zentripetalkraft.

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei unterschiedliche Beispiele zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Kinetik findest du im Kurs: PH4-Kinetik.

Zentripetalkraft – Definition

Die Zentripetalkraft ist die Kraft, die einen Körper dazu zwingt, sich in einer gekrümmten Bahn zu bewegen, anstatt in einer geraden Linie fortzufahren. Wenn ein Körper sich in einer Kreisbewegung befindet, wirkt eine Kraft auf ihn, die ihn zur Mitte des Kreises zieht. Diese Kraft wird als Zentripetalkraft bezeichnet.

Beim Wurfhammer (siehe im Bild oben), einer Disziplin in der Leichtathletik, tritt die Zentripetalkraft auf.

Der Athlet hält den Draht in den Händen, an dessen Ende die Metallkugel befestigt ist. Während er die Metallkugel in einer Kreisbewegung im seinen Körper herum schleudert, erfährt die Metallkugel die Zentripetalkraft.

Die Zentripetalkraft ist die Kraft, die der Draht auf die Kugel ausübt, um diese auf der kreisförmigen Bahn zu halten. Der Draht zieht die Kugel zur Mitte des Kreises, während er sich um den Athleten herum bewegt. Erst wenn der Athlet den Draht loslässt, fliegt die Kugel gradlinig davon. Es wirkt dann keine Zentripetalkraft mehr auf die Kugel.

Die Größe der Zentripetalkraft hängt von der Geschwindigkeit ab, mit der die Kugel gedreht wird, und von der Krümmung der Bahn, welche die Kugel beschreibt. Je schneller die Kugel gedreht wird oder je enger die Bahn ist, desto größer ist die Zentripetalkraft, die erforderlich ist, um sie auf der Bahn zu halten.

Die Zentripetalkraft ist die äußere Kraft, die auf einen Körper wirken muss, damit sich dieser auf einer gekrümmten Bahn bewegt (zum Beispiel im Kreis oder auf in einer Kurve). Die Zentripetalkraft ist radial gerichtet, d.h. sie zeigt zum Mittelpunkt des Krümmungskreises und steht senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor $\vec{v}$ .

Zentripetalkraft, Geschwindigkeit, Mittelpunkt, — Zentripetalkraft

In der obigen Grafik siehst du auf den Kreismittelpunkt gerichtete Zentripetalkraft F_Z. Diese Kraft sorgt dafür, dass sich der Körper auf einer Kreisbahn bewegt. Das bedeutet für den Geschwindigkeitsvektor, dass dieser ständig seine Richtung ändern muss. Bevor wir mit der Berechnung der Zentripetalkraft beginnen, schauen wir uns zunächst einmal an, wie eine Bewegung auf einer Kreisbahn aussieht.

Zentripetalkraft – Beispiele im Alltag

Hier sind einige Beispiele für die Zentripetalkraft im Alltag:

Waschmaschine: Wenn eine Waschmaschine im Schleudergang ist, erzeugt die Zentripetalkraft die notwendige Zentrifugalkraft, um das Wasser aus den Kleidungsstücken zu entfernen. Die Kleidungsstücke werden gegen die Innenwand der Trommel gedrückt, da die Zentripetalkraft sie zur Mitte der Trommel zieht.
Karussell: Beim Fahren auf einem Karussell wirkt die Zentripetalkraft auf die Fahrgäste und zieht sie nach innen, in Richtung der Mitte des Karussells. Die Fahrgäste spüren eine nach innen gerichtete Kraft, die sie in der Kreisbahn hält.
Kurvenfahrt mit dem Auto: Wenn du mit deinem Auto eine Kurve fährst, wirkt die Zentripetalkraft auf das Auto und zieht es zur Mitte der Kurve. Diese Kraft ermöglicht es dem Auto, die Kurve zu durchfahren, ohne geradeaus zu fahren.
Eislaufen: Beim Eislaufen auf einer Kurve wirkt die Zentripetalkraft auf die Schlittschuhläufer und zieht sie in Richtung der Kurvenmitte. Die Schlittschuhläufer nutzen diese Kraft, um die Kurve zu nehmen und ihre Bahn zu halten.
Flugzeugkurven: Bei einem Flugzeug, das eine Kurve fliegt, wirkt die Zentripetalkraft auf das Flugzeug und zieht es zur Mitte der Kurve. Der Pilot muss die richtige Balance zwischen Geschwindigkeit und Neigung des Flugzeugs finden, um die Zentripetalkraft zu kontrollieren.

Diese Beispiele verdeutlichen, wie die Zentripetalkraft im Alltag wirkt, um Objekte in einer Kreisbewegung zur Mitte der Kreisbahn zu ziehen. Die Zentripetalkraft ermöglicht es uns, Kurven zu nehmen, und ist ein wichtiges Konzept in der Physik der Kreisbewegung.

Bewegung auf einer Kreisbahn

Das erste Newtonsche Gesetz – das Trägheitsgesetz – lässt sich auch bei einer Kreisbewegung anwenden. Dazu betrachten wir einen Körper, der sich mit einer gleichförmigen (= konstanten) Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn bewegt.

Gleichförmige Kreisbewegung, Zentripetalkraft, Geschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit, Winkel, Radius — Gleichförmige Kreisbewegung

In der obigen Grafik siehst du einen Körper, welcher sich gleichförmig mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ in einer Linksdrehung auf einer Kreisbahn bewegt. Zum Zeitpunkt $t_1$ weist er einen bestimmten Geschwindigkeitsvektor auf, der sich vom Geschwindigkeitsvektor zum Zeitpunkt $t_2$ in seiner Richtung unterscheidet. Der Betrag der Geschwindigkeit, also die Umfangsgeschwindigkeit $v_U$ bleibt hingegen konstant.

Im Gegensatz zur gleichförmigen Bewegung bleibt bei der gleichförmigen Kreisbewegung der Geschwindigkeitsvektor $\vec{v}$ nicht konstant, da zwar sein Betrag (= Umfangsgeschwindigkeit) konstant bleibt, seine Richtung sich aber ständig ändert.

Um das zu verstehen, betrachten wir mal die Beschleunigungen, die auftreten können.

Zentripetalbeschleunigung und Tangentialbeschleunigung

Bei einer Kreisbewegung können wir eine Beschleunigung tangential und radial zur Kreisbahn betrachten.

Die Tangentialbeschleunigung bestimmt dabei die Veränderung des Betrags der Geschwindigkeit (=Umfangsgeschwindigkeit). Die radiale Beschleunigung ist verantwortlich dafür, dass sich der Körper nicht auf einer Geraden bewegt, sondern sich die Richtung der Geschwindigkeit ändert. Sie wird auch als Zentripetalbeschleunigung bezeichnet.

Tangentialbeschleunigung, Zentripetalbeschleunigung, gleichförmige Kreisbewegung — Zentripetalbeschleunigung, Tangentialbeschleunigung

Ist eine Beschleunigung gegeben, so ändert sich die Geschwindigkeit. Ist keine Beschleunigung gegeben, so bleibt die Geschwindigkeit konstant.

Im Falle der gleichförmigen Kreisbewegung bleibt also der Betrag der Geschwindigkeit konstant, weil keine Tangentialbeschleunigung gegeben ist. Da aber eine Zentripetalbeschleunigung wirkt, ist die Richtung der Geschwindigkeit nicht konstant, sondern ändert sich ständig.

In der Umgangssprache wird die Beschleunigung grundsätzlich als “Temposteigerung” verstanden, also als Steigerung des Betrags der Geschwindigkeit. Innerhalb der Physik hingegen ist aber jede Änderung der Bewegung eine Beschleunigung, also auch eine Richtungsänderung des Geschwindigkeitsvektors.

Beispiel: Richtungsänderung

Damit du weißt wovon wir eigentlich sprechen stelle dir einfach vor, dass du mit deinen Freunden eine Schlittenfahrt machst. Du ziehst deinen Kumpel auf dem Schlitten mit einer gewissen Beschleunigung gradlinig den Berg hinauf. Hier änderst du deine Richtung nicht, du wendest aber deine Muskelkraft auf, um ihn den Berg hochzuziehen. Bei dieser Bewegung handelt es sich um eine beschleunigte Bewegung. Die Beschleunigung ergibt sich, weil auf den Schlitten eine Kraft (deine Muskelkraft) wirkt.

Nun bist du oben angekommen und ihr wollt gemeinsam den Berg hinunterfahren. Dafür musst du den Schlitten wenden. Um den Schlitten zu wenden, also seine Richtung zu ändern, musst du ebenfalls deine Muskelkraft aufwenden. Der Schlitten weist in dem Sinne keine Geschwindigkeit auf, da er sich nicht von der Stelle bewegt (wenn du nur den Schwerpunkt betrachtest). Für die Richtungsänderung benötigst du aber wieder eine Kraft (deine Muskelkraft) und damit ist physikalisch auch wieder eine Beschleunigung gegeben.

Berechnung der Zentripetalbeschleunigung

Die Zentripetalbeschleunigung, die für die Richtungsänderung der Geschwindigkeit verantwortlich ist, wird wie folgt berechnet:

Zentripetalbeschleunigung

$a_Z = \dfrac{v_U^2}{r}$

Die Umfangsgeschwindigkeit $v_U$ berechnet sich zu:

Umfangsgeschwindigkeit

$v_U = \omega \cdot r$

Damit ergibt sich für die Zentripetalbeschleunigung:

Zentripetalbeschleunigung

$a_Z = \omega^2 \cdot r$

mit:

$\omega = \dfrac{\varphi}{t}$

Zentripetalkraft: Formel

Wir können nun aus der Zentripetalbeschleunigung die Zentripetalkraft berechnen. Die Ursache einer Beschleunigung ist nach dem Newtonschen Grundgesetz (2. Newtonsches Gesetz) immer eine Krafteinwirkung:

Newtonsches Grundgesetz

$F = m \cdot a$

Ist ein rotierendes System gegeben, so wird diese Kraft als Zentripetalkraft bezeichnet. Zur Berechnung der Zentripetalkraft $F_Z$ setzen wir die Zentripetalbeschleunigung $a_z$ in das Newtonsche Grundgesetz ein:

Zentripetalkraft

$F_Z = m \cdot a_Z = m \cdot \dfrac{v_U^2}{r} = m \cdot r \cdot \omega^2$

Zentrifugalkraft: Formel

Die Zentripetalkraft steht im Gleichgewicht mit der Zentrifugalkraft, welche die Trägheitskraft des rotierenden Körpers darstellt.

Zentripetalkraft, Zentrifugalkraft, Fliehkraft, gleichförmige Kreisbewegung, — Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft

Bei der Zentrifugalkraft -auch als Fliehkraft bezeichnet- handelt es sich um eine Trägheitskraft, die bei Dreh- und Kreisbewegungen auftritt. Die Zentrifugalkraft nimmt ein Beobachter wahr, der sich in einem rotierenden Bezugssystem befindet. Bewegst du dich also zusammen mit dem Körper im Kreis, dann spürst du die Zentrifugalkraft.

Beispiel: Karussellfahrt

Diese Fliehkraft spürst du, wenn du zum Beispiel auf der Kirmes im Musikexpress sitzt. Durch die Zentrifugalkraft wirst du nach außen gedrückt. Zu zweit macht die Fahrt im Musikexpress dann besonders viel Spaß, wenn der Partner links von dir nicht genügend Kraft besitzt um sich festzuhalten und dieser dann auf deinem Schoß sitzt.

Die Zentripetalkraft steht im Gleichgewicht mit der Zentrifugalkraft. Die Berechnung der Zentrifugalkraft erfolgt damit identisch zur Berechnung der Zentripetalkraft.

Merk’s dir!

Fassen wir das Ganze nochmal zusammen:

Zentripetalbeschleunigung: Radial gerichtete Beschleunigung, die dafür sorgt, dass sich die Richtung der Geschwindigkeit ständig ändert.
Zentrifugalkraft: Die Kraft, die den Körper auf einer Kreisbahn hält.
Zentrifugalkraft: Hierbei handelt es sich um diejenige Fliehkraft, die den Körper bei einer Kreisbewegung nach außen drückt.

Beispiel: Zentripetalkraft berechnen

Aufgabenstellung

Eine Person hält einen 1,5 Meter langen Faden, an dessen Ende eine Kugel mit der Masse von 2 kg befestigt ist. Die Person dreht die Kugel mit einer Drehzahl von 120 min^-1 horizontal in einer Kreisbahn um sich selbst.

Welche Kraft muss diese Person aufwenden?

Gegeben:

$r= 1,5m$

$n = 120 \dfrac{1}{min}$

$m = 2 kg$

Gesucht:

$F_Z$ Zentripetalkraft

Wir können die Zentripetalkraft über die folgende Formel berechnen:

$F_Z = m \cdot r \cdot \omega^2$

Einsetzen der gegebenen Werte:

$F_Z = 2 kg \cdot 1,5 m \cdot \omega^2$

Winkelgeschwindigkeit

Es fehlt noch die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ (die Gleichungen für die Gleichförmige Kreisbewegung kennst du aus dem Kurs (Ph3) – Grundlagen der Kinematik):

$\omega = 2 \pi \cdot f$

Die Frequenz $f$ ist gleich der Drehzahl:

$f = n = 120 \dfrac{1}{min}$

Die Drehzahl ist in 1/min angegeben. Wir müssen diese in ihre SI-Einheit 1/s umrechnen. Mit 1 min = 60 Sekunden erhalten wir dann:

$n = 120 \dfrac{1}{60 s} = 2 \dfrac{1}{s}$

Jetzt können wir die Winkelgeschwindigkeit berechnen:

$\omega = 2 \pi \cdot 2 \dfrac{1}{s} = 12,57 \dfrac{1}{s}$

Zentripetalkraft

Danach berechnen wir die Zentripetalkraft:

$F_Z = 2 kg \cdot 1,5 m \cdot (12,57 \dfrac{1}{s})^2 = 474,01 N$

Die Person muss eine Kraft von 474,01 N aufwenden, um eine Kugel (2 kg) an einem 1,5 Meter langen Faden mit einer Drehzahl von 120 min^-1 (Umdrehungen pro Minuten) horizontal in einer Kreisbahn um sich selbst zu drehen.

Was kommt als Nächstes?

In der folgenden Lerneinheit schauen wir uns die Zentripetalkraft bei einer Kurvenfahrt mal genauer.

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