PH4 – Newtonsche Grundgesetz und schiefe Ebene [Prüfungsaufgabe]

In dieser Lerneinheit betrachten wir Anwendung des Newtonschen Grundgesetzes F = m · a an der schiefen Ebene. Wir wollen zeigen, wie die Beschleunigung eines Körpers auf der schiefen Ebene berechnet wird und daraus die Geschwindigkeit nach einer bestimmten Zeit bzw. nach einer bestimmten Wegstrecke berechnen.

Wir wollen uns in diesem Abschnitt mit einer prüfungsrelevanten Aufgabe zum Thema Newtonsches Grundgesetz und schiefe Ebene befassen.

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Kinetik findest du im Kurs: PH4-Kinetik.

Newtonsche Grundgesetz und schiefe Ebene – Übersicht

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Hierbei handelt es sich um einen Körper (im Bild: Fahrrad + Bike), welcher sich auf einer schiefen Ebene befindet und diese herabrutscht.

Du sollst hier u.a. berechnen, welche Beschleunigung der Körper aufweist und wie groß die Geschwindigkeit nach einem bestimmten Weg oder einer bestimmten Zeit ist.

Mehr Aufgaben zu den Kräften auf der schiefen Ebene!

Du solltest bereits wissen, wie die Hangabtriebskraft $F_H$ , die Normalkraft $F_N$ sowie die Reibungskraft $F_R$ für einen ruhenden Körper auf der schiefen Ebene berechnet wird. Diese ausführlichen Berechnung haben wir bereits in unserem Onlinekurs PH2 – Grundlagen der Statik vorgenommen.

Außerdem solltest du die Gleichung der gleichmäßig beschleunigten Bewegung für die Berechnung von Geschwindigkeit, Weg und Zeit kennen.

Mehr Aufgaben zu den Kräften auf der schiefen Ebene!

Nähere Informationen zu den Gleichungen der gleichförmigen Bewegung und gleichmäßig beschleunigten Bewegung findest du in unserem Onlinekurs Kinematik: PH3-Kinematik .

Wir führen hier aber alle Gleichungen auf, die du für diese Aufgabe benötigst und werden auch den Fall betrachten, wenn sich die Kiste in Ruhe befindet.

Newtonsche Grundgesetz und schiefe Ebene – Formeln

Neben dem Newtonschen Grundgesetz benötigst du die Formeln der gleichmäßig beschleunigten Bewegung sowie die Formeln für die schiefe Ebene.

Newtonsches Grundgesetz: Formel

Newtonsches Grundgesetz

$F = m \cdot a$

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: Formeln

Schiefe Ebene: Formeln

Ist der gegebene Winkel $\alpha$ zwischen schiefer Ebene und der Horizontalen größer als der Haftungswinkel $\alpha_0$ , so würde die Kiste anfangen zu rutschen, da sich das System nicht mehr im Gleichgewicht befindet. Der Haftreibungskoeffizient $\mu_0$ (wenn Körper in Ruhe) ist größer als der Gleitreibungskoeffizient $\mu$ .

Für die folgenden Berechnungen sind die obigen Formeln relevant.

Prüfungsaufgabe: Kiste auf schiefer Ebene

Aufgabenstellung

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Ein Körper mit der Masse m = 30 kg liegt auf einer schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel von $\alpha = 25^\circ$ . Die Haftreibungszahl zwischen Körper und Ebene beträgt $\mu_0 = 0,8$ ; die Gleitreibungszahl $\mu = 0,3$ . Die Erdbeschleunigung beträgt 9,81 m/s².

a) Berechne $F_G$ , $F_N$ und $F_R$ unter der Annahme, dass der Körper nicht rutscht.

b) Ab welchen Winkel $\alpha_0$ rutscht der Körper von alleine?

c) Es gilt $F_A = F_H - F_R$ . Der Winkel ändert sich auf α=50°. Der Körper rutscht. Berechne a!

d) In welcher Zeit erreicht der Körper das Rutschende (6m)?

e) Welche Geschwindigkeit hat der Körper am Ende der schiefen Ebene?

f) Welche Geschwindigkeit hat der Körper nach 0,5s?

a) Kräfte an der schiefen Ebene

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Zunächst tragen wir die relevanten Kräfte der Übersicht halber an. Für die Prüfung musst du das nicht unbedingt machen, weil du innerhalb der Prüfung wenig Zeit haben wirst. Trotzdem wollen wir uns mal anschauen, welche Kräfte hier wirken.

An die Kiste greifen, infolge der Gewichtskraft $F_G = m \cdot g$ der Kiste: die Hangabtriebskraft $F_H$ in Richtung der Bewegung sowie die Normalkraft $F_N$ , welche die schiefe Ebene auf die Kiste ausübt. Außerdem wirkt, infolge der rauen Ebene die Reibungskraft $F_R$ genau entgegengesetzt zur Bewegung.

Wir betrachten zunächst den Fall, dass die Kiste nicht rutscht. In der Aufgabenstellung ist der Winkel $\alpha = 25°$ gegeben sowie die Masse der Kiste mit $m = 30 kg$ und der Haftreibungskoeffizient $\mu_0 = 0,8$ . Wir berechnen als nächstes $F_H$ , $F_N$ und $F_R$ mit den Gleichungen aus der obigen Tabelle:

$F_H = m \cdot g \cdot \sin(\alpha) = 30 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot \sin(25^\circ) = 124,38 N$

$F_N = m \cdot g \cdot \cos(\alpha) = 30 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot \cos(25^\circ) = 266,73 N$

$F_R = \mu_0 \cdot F_N = 0,8 \cdot 266,73 N = 213,38 N$

Beachte hier bitte, dass der Körper haftet, also nicht rutscht. Demnach wird die Reibungskraft mit dem Haftungskoeffizienten $\mu_0$ berechnet.

b) Haftungswinkel berechnen

Wir berechnen hier den Winkel, bei welchem die Kiste gerade noch haftet. Ist der Winkel größer als der hier berechnete, so rutscht die Kiste von alleine. Aus der obigen Tabelle können wir die Berechnung des Haftungswinkels entnehmen:

$\alpha_0 = \tan^{-1}(\mu_0) = \tan^{-1} (0,8) = 38,66^\circ$

Ist der Winkel zwischen der schiefen Ebene und der Horizontalen größer als 38,66°, dann rutscht die Kiste die schiefe Ebene herab.

c) Beschleunigung berechnen

Die Kiste rutscht die schiefe Ebene herunter. Für $F_A$ benötigen wir zunächst $F_H$ und $F_R$ und für $F_R$ benötigen wir $F_N$ . Wir berechnen also zunächst wieder $F_H$ , $F_N$ und $F_R$ . Der Winkel beträgt $\alpha = 50°$ und der Gleitreibungskoeffizient $\mu = 03$ (!!!).

$F_H = m \cdot g \cdot \sin(\alpha) = 30 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot \sin(50^\circ) = 225,45 N$

$F_N = m \cdot g \cdot \cos(\alpha) = 30 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot \cos(50^\circ) = 189,17 N$

$F_R = \mu_0 \cdot F_N = 0,3 \cdot 189,17 N = 56,75 N$

Wir berechnen als nächstes $F_A$ :

$F_A = F_H - F_R = 225,45 N - 56,75 N = 168,7 N$

Für die Berechnung der Beschleunigung wenden wir das Newtonsche Grundgesetz an:

$F = m \cdot a$

Dabei erfolgt die Beschleunigung parallel zur schiefen Ebene. Wir müssen für $F$ nun alle Kräfte berücksichtigen, die parallel zur schiefen Ebene liegen, da nur diese einen Einfluss auf die Bewegung haben. Dabei berücksichtigen wir Kräfte die in Richtung der Bewegung zeigen positiv und Kräfte die entgegengesetzt zur Bewegung zeigen negativ.

Die Hangabtriebskraft $F_H$ zeigt in Richtung der Bewegung, wird demnach positiv berücksichtigt. Die Reibungskraft $F_R$ zeigt immer genau entgegengesetzt zur Bewegung, wird also negativ berücksichtigt:

$F_H - F_R = m \cdot a$

Wir haben die linke Differenz schon in $F_A = F_H - F_R$ berechnet:

$F_A = 168,7 N$

Es gilt also:

$F_A = m \cdot a$

Einsetzen der Werte:

$168,7 N = 30 kg \cdot a$

Auflösen nach $a$ :

$a = \frac{168,7 N}{30 kg} = 5,62 \frac{m}{s^2}$

Die Kiste weist eine konstante Beschleunigung von 5,62 m/s² auf.

d) Zeit berechnen

Die schiefe Ebene besitzt laut der Aufgabenstellung d) eine Länge von 6m. Die Kiste legt also insgesamt 6m auf der schiefen Ebene zurück. Für die Berechnung der Zeit müssen wir die Gleichungen der Kinematik für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung heranziehen:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot s}{a}}$

Wir haben hier alle Werte gegeben. Der Weg beträgt s = 6m und die Beschleunigung a = 5,62 m/s²:

$t =\sqrt{\frac{2 \cdot s}{a}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 6m}{5,62 \frac{m}{s^2}}} = 1,46s$

Die Kiste legt einen Weg von 6m in einer Zeit von 1,46 Sekunden zurück.

e) Geschwindigkeit berechnen

Für die Berechnung der Geschwindigkeit ziehen wir wieder die Gleichungen der Kinematik heran. Wir können hier zwei Gleichungen verwenden:

$v = a \cdot t + v_0$

$v = \sqrt{2 \cdot a \cdot s + v_0^2}$

Für das Ende der schiefen Ebene legt die Kiste einen Weg von s = 6m in einer Zeit von t = 1,46s zurück. Die Kiste rutscht aus dem Ruhezustand die Ebene herunter, d.h. die Anfangsgeschwindigkeit ist Null: $v_0 = 0$

$v = a \cdot t + v_0 = 5,62 \frac{m}{s^2} \cdot 1,46 s + 0 = 8,21 \frac{m}{s}$

$v = \sqrt{2 \cdot a \cdot s + v_0^2} = \sqrt{2 \cdot 5,62 \frac{m}{s^2} \cdot 6m + 0^2} = 8,21 \frac{m}{s}$

Die Geschwindigkeit der Kiste beträgt am Ende der schiefen Ebene 8,21 m/s. Die Kiste bewegt sich dann auf horizontaler Ebene weiter und damit wird die Beschleunigung zu Null, da die Beschleunigung auf der schiefen Ebene durch die Gewichtskraft der Kiste verursacht wurde.

f) Geschwindigkeit nach Zeit

Wir wollen noch die Geschwindigkeit nach einer bestimmten Zeit bestimmen:

$v = a \cdot t + v_0 = 5,62 \frac{m}{s^2} \cdot 0,5s + 0 = 2,81 \frac{m}{s}$

Nach 0,5s Sekunden weist die Kiste eine Beschleunigung von 2,81 m/s² auf.

Was kommt als Nächstes?

Nachdem du jetzt eine typische Prüfungsaufgabe zu Newtonsche Grundgesetz und schiefe Ebene kennengelernt hast, betrachten wir im nachfolgenden Kurstext weitere Aufgaben zum Newtonschen Grundgesetz in Verbindung mit den Gleichungen der gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Die obige Aufgabe zur schiefen Ebene ist in jedem Fall relevant für dich, da eine solche Berechnung schon einige Male in der staatlichen Technikerprüfung dran gekommen ist.

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$s = v_0 \cdot t + \frac{a}{2} \cdot t^2$	Berechnung des Weges
$v = a \cdot t + v_0$	Berechnung der Geschwindigkeit
$v = \sqrt{2 \cdot a \cdot s + v_0^2}$	Berechnung der Geschwindigkeit über den Weg
$a = \frac{v - v_0}{t}$	Berechnung der Beschleunigung nach der Zeit
$a = \frac{v^2 - v_0^2}{2 \cdot s}$	Berechnung der Beschleunigung nach dem Weg
$t = \frac{v - v_0}{a}$	Berechnung der Zeit über die Geschwindigkeit
$t = \sqrt{\frac{2 \cdot s}{a}}$	Berechnung der Zeit über den Weg

$F_H = m \cdot g \cdot \sin(\alpha)$	Hangabtriebskraft
$F_N = m \cdot g \cdot \cos(\alpha)$	Normalkraft
$F_R = \mu_0 \cdot F_R$	Haftreibungskraft, wenn Körper in Ruhe
$F_R = \mu \cdot F_R$	Gleitreibungskraft, wenn Körper rutscht
$\mu_0 = \tan(\alpha_0)$	Haftreibungskoeffizient
$\alpha_0 = \tan^{-1}(\mu_0)$	Haftungswinkel