(Ph4-13) Newtonsche Grundgesetz und schiefe Ebene

Inhaltsverzeichnis

Wir wollen uns in diesem Abschnitt mit einer prüfungsrelevanten Aufgabe befassen.

 


Die nachfolgende Aufgabe zur schiefen Ebene ist in jedem Fall relevant für dich, da eine solche Berechnung schon einige Male in der staatlichen Technikerprüfung dran gekommen ist.


 


Newtonsche Grundgesetz und schiefe Ebene – Übersicht


Hierbei handelt es sich um einen Körper, welcher sich auf einer schiefen Ebene befindet und diese herabrutscht.

Du sollst hier u.a. berechnen, welche Beschleunigung der Körper aufweist und wie groß die Geschwindigkeit nach einem bestimmten Weg oder einer bestimmten Zeit ist.

 

Merk's dir!

Diese Aufgabe wird dir nochmals nach den den Kurstexten zur potentiellen und kinetischen Energie begegnen.

 

Du solltest bereits wissen, wie die Hangabtriebskraft F_H, die Normalkraft F_N sowie die Reibungskraft F_R für einen ruhenden Körper auf der schiefen Ebene berechnet wird.

 

undefiniert
Mehr zu den Kräften auf der schiefen Ebene!

Nähere Informationen zu den Kräften auf der schiefen Ebene findest du in unserem  Onlinekurs Statik https://technikermathe.de/course/statik/ ).  

 

Außerdem solltest du die Gleichung der gleichmäßig beschleunigten Bewegung für die Berechnung von Geschwindigkeit, Weg und Zeit kennen.

 

Du solltest bereits wissen, wie die Hangabtriebskraft F_H, die Normalkraft F_N sowie die Reibungskraft F_R für einen ruhenden Körper auf der schiefen Ebene berechnet wird.

 

undefiniert
Mehr zu den Kräften auf der schiefen Ebene!

Nähere Informationen zu den Gleichungen der gelichförmigen und gleichmäßig beschleunigten Bewegung findest du in unserem  Onlinekurs Kinematik https://technikermathe.de/course/kinematik/

 

Wir führen hier aber alle Gleichungen auf, die du für diese Aufgabe benötigst und werden auch den Fall betrachten, wenn sich die Kiste in Ruhe befindet.


Newtonsche Grundgesetz und schiefe Ebene  – Gleichungen für die schiefe Ebene


Neben dem Newtonschen Grundgesetz:

 

 \boxed{F = m \cdot a}

 


Gleichungen der gleichmäßig beschleunigten Bewegung


benötigst du die Gleichungen der gleichmäßig beschleunigten Bewegung (Kurs Kinematik):

s = v_0 \cdot t + \frac{a}{2} \cdot t^2 Berechnung des Weges
v = a \cdot t + v_0Berechnung der Geschwindigkeit
v = \sqrt{2 \cdot a \cdot s + v_0^2}Berechnung der Geschwindigkeit über den Weg
a = \frac{v - v_0}{t}Berechnung der Beschleunigung nach der Zeit
a = \frac{v^2 - v_0^2}{2 \cdot s}Berechnung der Beschleunigung nach dem Weg
t = \frac{v - v_0}{a}Berechnung der Zeit über die Geschwindigkeit
t = \sqrt{\frac{2 \cdot s}{a}}Berechnung der Zeit über den Weg

 


Gleichungen für die schiefe Ebene


Sowie die Gleichungen für die schiefe Ebene (Kurs Statik):

F_H = m \cdot g \cdot \sin(\alpha)Hangabtriebskraft
F_N = m \cdot g \cdot \cos(\alpha)Normalkraft
F_R = \mu_0 \cdot F_RHaftreibungskraft, wenn Körper in Ruhe
F_R = \mu \cdot F_RGleitreibungskraft, wenn Körper rutscht
\mu_0 = \tan(\alpha_0)Haftreibungskoeffizient
\alpha_0 = \tan^{-1}(\mu_0)Haftungswinkel

 

Ist der gegebene Winkel \alpha zwischen schiefer Ebene und der Horizontalen größer als der Haftungswinkel \alpha_0, so würde die Kiste anfangen zu rutschen, da sich das System nicht mehr im Gleichgewicht befindet. Der Haftreibungskoeffizient \mu_0 (wenn Körper in Ruhe) ist größer als der Gleitreibungskoeffizient \mu.

 

Für die folgenden Berechnungen sind die obigen Gleichungen relevant. Es handelt sich bei der nachfolgenden Aufgabe um eine gestellte Prüfungsaufgabe. Die Werte haben wir geändert.


Newtonsche Grundgesetz und schiefe Ebene – Prüfungsaufgabe: Kiste auf schiefer Ebene


Ein Körper mit der Masse m = 30 kg liegt auf einer schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel von \alpha = 25^\circ. Die Haftreibungszahl zwischen Körper und Ebene beträgt \mu_0 = 0,8; die Gleitreibungszahl \mu = 0,3. Die Erdbeschleunigung beträgt 9,81 m/s².

Prüfungsaufgabe Newtonsche Grundgesetz und schiefe Ebene
Newtonsche Grundgesetz und schiefe Ebene
Prüfungsaufgabe

a)  Berechne F_G, F_N und F_R unter der Annahme, dass der Körper nicht rutscht.

 

b) Ab welchen Winkel \alpha_0 rutscht der Körper von alleine?

 

c)  Es gilt F_A = F_H - F_R. Der Winkel ändert sich auf α=50°. Der Körper rutscht. Berechne a!

 

d)  In welcher Zeit erreicht der Körper das Rutschenende (6m)?

 

e) Welche Geschwindigkeit hat der Körper am Ende der schiefen Ebene?

 

f) Welche Geschwindigkeit hat der Körper nach 0,5s?

 


Newtonsche Grundgesetz und schiefe Ebene – Lösung der Aufgabe: Kiste auf schiefer Ebene


 


a) Berechne F_G, F_N und F_R unter der Annahme, dass der Körper nicht rutscht.


Zunächst tragen wir die relevanten Kräfte der Übersicht halber an. Für die Prüfung musst du das nicht unbedingt machen, weil du innerhalb der Prüfung wenig Zeit haben wirst. Trotzdem wollen wir uns mal anschauen, welche Kräfte hier wirken. An die Kiste greifen, infolge der Gewichtskraft F_G = m \cdot g der Kiste: die Hangabtriebskraft F_H in Richtung der Bewegung sowie die Normalkraft F_N, welche die schiefe Ebene auf die Kiste ausübt. Außerdem wirkt, infolge der rauen Ebene die Reibungskraft F_R genau entgegengesetzt zur Bewegung.

Prüfungsaufgabe Newtonsche Grundgesetz und schiefe Ebene
Newtonsche Grundgesetz und schiefe Ebene


Wir betrachten zunächst den Fall, dass die Kiste nicht rutscht. In der Aufgabenstellung ist der Winkel \alpha = 25° gegeben sowie die Masse der Kiste mit m = 30 kg und der Haftreibungskoeffizient \mu_0 = 0,8. Wir berechnen als nächstes F_H, F_N und F_R mit den Gleichungen aus der obigen Tabelle:

 

F_H = m \cdot g \cdot sin(\alpha) = 30 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot sin(25°) = 124,38 N

F_N = m \cdot g \cdot cos(\alpha) = 30 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot cos(25°) = 266,73 N

F_R = \mu_0 \cdot F_N = 0,8 \cdot 266,73 N = 213,38 N

 

Beachte hier bitte, dass der Körper haftet, also nicht rutscht. Demnach wird die Reibungskraft mit dem Haftungskoeffizienten mu_0 berechnet.

 


b) Ab welchen Winkel \alpha_0 rutscht der Körper von alleine?


Dazu verwenden wir die folgende Gleichung aus der obigen Tabelle:

\alpha_0 = tan^{-1}(\mu_0) = tan^{-1} (0,8) = 38,66°

Ist der Winkel zwischen der schiefen Ebene und der Horizontalen größer als 38,66°, dann rutscht die Kiste die schiefe Ebene herab.

 


c)  Es gilt F_A = F_H - F_R. Der Winkel ändert sich auf α=50°. Der Körper rutscht. Berechne a!


Die Kiste rutscht die schiefe Ebene herunter. Für F_A benötigen wir zunächst F_H und F_R und für F_R benötigen wir F_N. Wir berechnen also zunächst wieder F_H, F_N und F_R. Der Winkel beträgt \alpha = 50° und der Gleitreibungskoeffizient \mu = 03 (!!!).

F_H = m \cdot g \cdot sin(\alpha) = 30 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot sin(50°) = 225,45 N

F_N = m \cdot g \cdot cos(\alpha) = 30 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot cos(50°) = 189,17 N

F_R = \mu_0 \cdot F_N = 0,3 \cdot 189,17 N = 56,75 N

 

Wir berechnen als nächstes F_A:

F_A = F_H - F_R = 225,45 N - 56,75 N = 168,7 N

 

Für die Berechnung der Beschleunigung wenden wir das Newtonsche Grundgesetz an:

F = m \cdot a

Dabei erfolgt die Beschleunigung parallel zur schiefen Ebene. Wir müssen für F nun alle Kräfte berücksichtigen, die parallel zur schiefen Ebene liegen, da nur diese einen Einfluss auf die Bewegung haben. Dabei berücksichtigen wir Kräfte die in Richtung der Bewegung zeigen positiv und Kräfte die entgegengesetzt zur Bewegung zeigen negativ. Die Hangabtriebskraft F_H zeigt in Richtung der Bewegung, wird demnach positiv berücksichtigt. Die Reibungskraft F_R zeigt immer genau entgegengesetzt zur Bewegung, wird also negativ berücksichtigt:

F_H - F_R = m \cdot a

 

Wir haben die linke Differenz schon in F_A = F_H - F_R berechnet:

F_A = 168,7 N

Es gilt also:

F_A = m \cdot a

Einsetzen der Werte:

168,7 N = 30 kg \cdot a

Auflösen nach a:

a = \frac{168,7 N}{30 kg} = 5,62 \frac{m}{s^2}

Die Kiste weist eine konstante Beschleunigung von 5,62 m/s² auf.

 


d)  In welcher Zeit erreicht der Körper das Rutschenende (6m)?


Die schiefe Ebene besitzt laut der Aufgabenstellung d) eine Länge von 6m. Die Kiste legt also insgesamt 6m auf der schiefen Ebene zurück. Für die Berechnung der Zeit müssen wir die Gleichungen der Kinematik für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung heranziehen:

t = \sqrt{\frac{2 \cdot s}{a}}

Wir haben hier alle Werte gegeben. Der Weg beträgt s = 6m und die Beschleunigung a = 5,62 \frac{m}{s^2}:

t =\sqrt{\frac{2 \cdot s}{a}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 6m}{5,62 \frac{m}{s^2}}} = 1,46s

Die Kiste legt einen Weg von s = 6m in einer Zeit von t = 1,46s zurück.

 


e) Welche Geschwindigkeit hat der Körper am Ende der schiefen Ebene?


Für die Berechnung der Geschwindigkeit ziehen wir wieder die Gleichungen der Kinematik heran. Wir können hier zwei Gleichungen verwenden:

v = a \cdot t + v_0

v = \sqrt{2 \cdot a \cdot s + v_0^2}

Für das Ende der schiefen Ebene legt die Kiste einen Weg von s = 6m in einer Zeit von t = 1,46s zurück. Die Kiste rutscht aus dem Ruhezustand die Ebene herunter, d.h. die Anfangsgeschwindigkeit ist Null: v_0 = 0

v = a \cdot t + v_0 = 5,62 \frac{m}{s^2} \cdot 1,46 s + 0 = 8,21 \frac{m}{s}

v = \sqrt{2 \cdot a \cdot s + v_0^2} = \sqrt{2 \cdot 5,62 \frac{m}{s^2} \cdot 6m + 0^2} = 8,21 \frac{m}{s}

Die Geschwindigkeit der Kiste beträgt am Ende der schiefen Ebene 8,21 m/s. Die Kiste bewegt sich dann auf horizontaler Ebene weiter und damit wird die Beschleunigung zu Null, da die Beschleunigung auf der schiefen Ebene durch die Gewichtskraft der Kiste verursacht wurde.

 


f) Welche Geschwindigkeit hat der Körper nach 0,5s?


Wir wollen noch die Geschwindigkeit nach einer bestimmten Zeit bestimmen:

v = a \cdot t + v_0 = 5,62 \frac{m}{s^2} \cdot 0,5s + 0 = 2,81 \frac{m}{s}

Nach 0,5s Sekunden weist die Kiste eine Beschleunigung von 2,81 \frac{m}{s} auf.

 

 


Wie geht's weiter?
Nachdem du jetzt eine typische Prüfungsaufgabe zu Newtonsche Grundgesetz und schiefe Ebene kennengelernt hast, betrachten wir im nachfolgenden Kurstext weitere Aufgaben zum Newtonschen Grundgesetz in Verbindung mit den Gleichungen der gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Die obige Aufgabe zur schiefen Ebene ist in jedem Fall relevant für dich, da eine solche Berechnung schon einige Male in der staatlichen Technikerprüfung dran gekommen ist.

 

Trainingsbereich

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