(Ph4-03) 2. Newtonsches Gesetz (Newtonsches Grundgesetz)

Inhaltsverzeichnis

In dieser Lerneinheit behandeln wir das zweite Newtonsche Gesetz, welches auch als Newtonsches Grundgesetz bezeichnet wird.

 


Für ein optimales Verständnis helfen dir drei  Videos und vier unterschiedliche Beispiele zu dem Thema.


 


Newtonsches Grundgesetz – Grundlagen


 

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Aus der vorherigen Lerneinheit weißt du bereits, dass der Bewegungszustand (Ruhe oder gleichförmige Bewegung) eines Körpers solange erhalten bleibt, solange keine äußeren Kräfte auf den Körper einwirken bzw. die Summe aller auf den Körper wirkenden Kräfte gleich Null ist.

Das wiederum bedeutet, dass der Körper seinen Bewegungszustand ändert, wenn eine Kraft auf ihn einwirkt bzw. die Summe der Kräfte nicht mehr gleich Null ist.

 

undefiniert
Das passiert wenn eine Kraft auf den Körper wirkt:
  • Der Körper ändert seine Geschwindigkeit (wird langsamer oder schneller).
  • Der Körper ändert seine Richtung.

 

Wirkt also eine äußere Kraft auf den Körper, so ändert dieser seinen Bewegungszustand. Ändert der Körper seine Geschwindigkeit, so spricht man von einer beschleunigten Bewegung, welche dir bereits aus der Kinematik bekannt sein sollte (Onlinekurs: Ph3 – Grundlagen der Kinematik).

 

Das 2. Newtonsche Gesetz, auch als Newtonsches Grundgesetz bezeichnet, stellt einen Zusammenhang zwischen den physikalischen Größen Kraft F, Masse m und Beschleunigung a her. Die Gleichung lautet:

 

 \boxed{F = m \cdot a}          Newtonsches Grundgesetz

 

Kraft F und Beschleunigung a sind gerichtete Größen und zeigen immer in dieselbe Richtung. Eine Kraft die eine Kiste horizontal nach rechts verschiebt, hat also eine nach rechts gerichtete Beschleunigung der Kiste zur Folge:

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Newtonsches Grundgesetz

 

Die obige Kiste wird mittels einer Kraft F horizontal nach rechts geschoben und damit erfolgt die Beschleunigung a der Kiste ebenfalls horizontal nach rechts. Das Newtonsche Grundgesetz können wir im obigen Fall anwenden, um eine der drei Größen (F, m, a) zu berechnen, wenn die anderen beiden Größen gegeben sind.

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Ist die Beschleunigung hingegen Null, so ist auch die Kraft F Null und der betrachtete Körper (hier: Kiste) befindet sich in Ruhe. Hierbei ist zu beachten, dass F die resultierende Kraft ist, also die Summe aller an die Kiste angreifenden Kräfte.

 


Newtonsches Grundgesetz ohne Reibung


Newtonsches Grundgesetz
Grafik 1: Kiste mit Kraft F; Grafik 2: Freischnitt

 

Betrachten wir dazu eine Kiste mit der Masse m = 100 kg auf welche eine Kraft F = 250 N wirkt. Schneiden wir die Kiste frei, so müssen wir die Normalkraft FN abtragen, mit welcher die horizontale Ebene ersetzt wird:

 


Normalkraft – Formel


Wir tragen für die horizontale Ebene, auf welcher die Kiste steht, die Normalkraft FN an. Diese steht immer senkrecht zur Ebene. Die Normalkraft wird wie folgt berechnet:

 

 \boxed{F_N = m \cdot g \cdot cos(\alpha)}         

 

 

Hierbei ist \alpha der Winkel von der Ebene zur Horizontalen. Im obigen Beispiel ist der Winkel Null, da die Ebene eine Horizontale ist. Damit ist \alpha = 0^\cric und \cos(0^\circ) = 1.

 


Normalkraft bei horizontaler Ebene


Es ergibt sich also für die Normalkraft bei einer horizontalen Ebene:

 

 \boxed{F_N = m \cdot g}        

 

Setzen wir die gegebene Werte ein, so erhalten wir für die Normalkraft:

 

F_N = 100 kg \cdot 9,81 \dfrac{m}{s^2} = 981 N

 

Da die Ebene glatt ist, entsteht zwischen Kiste und Ebene keine Reibung und somit tritt keine Reibungskraft auf. Insgesamt ergeben sich also die beiden Kräfte F_N und F. Die Beschleunigung der Kiste ist horizontal nach rechts angegeben. Für die Anwendung des Newtonschen Grundgesetzes dürfen nur Kräfte berücksichtigt werden, die horizontal wirken, also in Richtung der Bewegung oder eben genau entgegengesetzt zur Bewegung.

 


Beschleunigung berechnen


In Richtung der Bewegung zeigt die äußere Kraft F. Ansonsten wirken keine weiteren horizontalen Kräfte auf die Kiste. Somit ergibt sich für das Newtonsche Grundgesetz:

 

F = m \cdot a

250 N = 100 kg \cdot a

 

Hierbei ist a die Beschleunigung der Kiste entlang der horizontalen Ebene. Diese Beschleunigung wollen wir berechnen. Auflösen nach a:

 

a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{250 N}{100 kg} = 2,5 \dfrac{m}{s^2}

 

Die Beschleunigung der Kiste beträgt 2,5 m/s². Die Normalkraft FN ist für die Berechnung der Beschleunigung nicht relevant, da diese senkrecht zur Bewegung steht, also nicht in Richtung der Bewegung wirkt. Sie hat also keinen Einfluss auf die Bewegung.

 


Videoclips: Newtonsches Grundgesetz


Schauen wir uns zum Newtonschen Grundgesetz ohne Reibung mal die folgenden Videos an.


Lernclip
Newtonsches Grundgesetz – ohne Reibung

 


Videoclip: Newtonsches Grundgesetz ohne Reibung


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Videoclips: Newtonsches Grundgesetz – Zwei Kräfte – ohne Reibung


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Newtonsches Grundgesetz mit Reibung


Betrachten wir wieder die obige Kiste mit m = 100 kg und F = 250 N. Dieses Mal soll aber die Reibung zwischen Kiste und Ebene berücksichtigt werden (Gleitreibungskoeffizient: μ = 0,15):

Newtonsches Grundgesetz mit Reibung
Newtonsches Grundgesetz mit Reibung

 

Du kannst sofort an dem Gleitreibungskoeffizient μ erkennen, dass die horizontale Ebene rau ist und damit Reibung zwischen Kiste und Ebene auftritt.

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Es gibt zwei unterschiedliche Reibungskoeffizienten, die beide zu einer Reibungskraft F_R führen. Ist der Haftungskoeffizient \mu_0 gegeben, so befindet sich die Kiste in Ruhe und die Beschleunigung ist Null (a = 0). Ist der Gleitreibungskoeffizient \mu gegeben, so bewegt sich die Kiste.

 

Wir sehen in der obigen rechten Abbildung, dass die Reibungskraft FR infolge der rauen Ebene berücksichtigt werden muss. Die Reibungskraft wirkt immer entgegengesetzt zur Bewegung. Die obige Kiste wird horizontal nach rechts beschleunigt, damit muss die Reibungskraft horizontal nach links wirken.

Berechnet wird die Reibungskraft aus der Normalkraft, die nun einen indirekten Einfluss auf das Newtonschen Grundgesetz hat:

 

 \boxed{F_R = \mu \cdot F_N}          Reibungskraft

 


Beschleunigung berechnen


In der obigen rechten Grafik siehst du alle Kräfte, die auf die Kiste wirken. Wir betrachten nun alle Kräfte die entweder in Richtung der Bewegung oder genau entgegengesetzt zur Bewegung wirken. Die äußere Kraft F wirkt in Richtung der Bewegung, wird also positiv berücksichtigt. Die Reibungskraft wirkt genau entgegengesetzt zur Bewegung, wird also negativ berücksichtigt. Die Normalkraft wirkt senkrecht zur Bewegung, wird also innerhalb des Newtonschen Grundgesetzes nicht berücksichtigt, hat aber einen indirekten Einfluss auf die Berechnung, da die Reibungskraft aus der Normalkraft berechnet wird.

Das Newtonsche Grundgesetz ergibt sich wie folgt:

 

F - F_R = m \cdot a

 

Wir berechnen die Normalkraft und daraus die Reibungskraft:

 

F_N = m \cdot g = 100 kg \cdot 9,81 \dfrac{m}{s^2} = 981 N

F_R = \mu \cdot F_N = 0,15 \cdot 981 N = 147,15 N

 

Einsetzen in das Newtonsche Grundgesetz:

 

250 N - 147,15 N = 100 kg \cdot a

102,85 N = 100 kg \cdot a

 

Auflösen nach a:

 

a = \dfrac{102,85 N}{100 kg} = 1,03 \dfrac{m}{s^2}

 

Die Beschleunigung der Kiste entlang der horizontalen Ebene beträgt 1,03 m/s². Du siehst, dass die Beschleunigung beim Auftreten von Reibung geringer ausfällt als ohne Reibung, da die Reibung zwischen Kiste und Ebene die Bewegung abbremst.

 


Videoclip: Newtonsches Grundgesetz mit Reibung


Schauen wir uns zum Newtonschen Grundgesetz ohne Reibung mal die folgende Video an.


Lernclip
Newtonsches Grundgesetz – mit Reibung
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Schauen wir uns zum Newtonschen Grundgesetz einige Beispiele an.

 


Beispiele - Newtonsches Grundgesetz


Wir betrachten einige Beispiele zum Newtonschen Grundgesetz. Versuche zunächst die Beispiele selbstständig zu lösen, bevor du die Lösungen zur Hilfe nimmst.

 


Beispiel 1 : Kraft berechnen


Aufgabenstellung

Dein Auto ist stehen geblieben. Du willst dein Auto (1,5 Tonnen) ein paar Meter weiter nach vorne schieben, da du eine Einfahrt behinderst. Gehe davon aus, dass keine Reibung zwischen Reifen und Boden auftritt.

Welche Kraft musst du aufwenden, damit dein Fahrzeug mit 0,5 m/s² beschleunigt wird?

 

Lösung

Hier kommt das Newtonsche Grundgesetz ins Spiel. Du willst dein Auto horizontal verschieben, demnach benötigst du eine horizontale Kraft:

F = m \cdot a

 

Wir haben die Masse in Tonnen gegeben. Zunächst rechnen wir die Einheit in die SI-Einheiten kg um:

1,5 t \cdot 1.000 = 1.500 kg

 

Einsetzen der bekannten Werte:

F = 1.500 kg \cdot 0,56 m/s^2 = 840 N

Du musst eine horizontale Kraft von 840 N aufwenden, damit du dein Auto mit 0,56 m/s beschleunigst.

 


Beispiel 2: Beschleunigung berechnen


Aufgabenstellung

Gegeben sei die Kraft F = 200 N mit welcher die 5 kg schwere Kiste horizontal nach rechts geschoben wird. Vernachlässige die Reibung der Kiste auf der Oberfläche.

Welche Beschleunigung resultiert?

 

Lösung

Wir haben die Kraft F und die Masse m gegeben. Berechnen wollen wir die resultierende Beschleunigung a. Dazu müssen wir das Newtonsche Grundgesetz nach a auflösen:

 

F = m \cdot a     |:m

 

 \boxed{\dfrac{F}{m} = a}

 

Einsetzen der gegebenen Werte (sind in SI-Einheiten gegeben):

\dfrac{200 N}{5 kg} = 40 \dfrac{m}{s^2}

 

Die Kiste erfährt eine Beschleunigung von 40 m/s².

 


Beispiel 3 : Masse berechnen


Aufgabenstellung

Eine Kiste wird mit einer Kraft von 80 N auf 1,5 m/s² beschleunigt. Vernachlässige die Reibung der Kiste auf der Oberfläche.

Welche Masse weist die Kiste auf? 

 

Lösung

Gegeben ist die Kraft F = 80 N und die Beschleunigung a = 1,5 \dfrac{m}{s^2}. Wir wollen die Masse der Kiste berechnen:

 

F = m \cdot a          |:a

 

 \boxed{\dfrac{F}{a} = m}

 

Einsetzen der Werte:

\dfrac{80 N}{1,5 \dfrac{m}{s^2}} = 53,33 kg

 

Die Kiste weist eine Masse von 53,33 kg auf.

 


Beispiel 4 : Kraft berechnen


Aufgabenstellung

Welche Zugkraft benötigt eine Lokomotive einer Eisenbahn, wenn ein Güterzug mit einer Gesamtmasse von  350 Tonnen auf einer horizontalen Strecke mit 0,3 m/s² gleichmäßig beschleunigt wird. Der gesamte Fahrwiderstand beträgt \mu = 0,04.

 

Lösung

In diesem Beispiel tritt die Reibungskraft F_R auf, da die Gleitreibungszahl \mu = 0,04 angegeben wird.

 

Wir berechnen also zunächst die Normalkraft, um daraus die Reibungskraft zu berechnen:

F_N = m \cdot g = 250.000 kg \cdot 9,81 \dfrac{m}{s^2} = 2.452.500 N

 

Die Reibungskraft berechnet sich dann aus der Normalkraft und dem Gleitreibungskoeffizienten:

F_R = \mu \cdot F_R = 0,04 \cdot 2.452.500 N = 98.100 N

 

Das Newtonsche Grundgesetz lautet:

F = m \cdot a

 

Wir müssen nun die Zugkraft F berechnen, welche die Lokomotive aufweisen muss, um den Güterzug aus dem Stand mit 0,3 m/s² gleichmäßig zu beschleunigen. Dabei muss natürlich der Fahrwiderstand, also die berechnete Reibungskraft, ebenfalls berücksichtigt werden, da diese die Bewegung abbremst. Die Zugkraft zeigt in Richtung der Bewegung, die Reibungskraft entgegengesetzt zur Bewegung:

F_{zug} - F_R = m \cdot a

F_{zug} - 98.100 N = 250.000 kg \cdot 0,3 \dfrac{m}{s^2}

 

Auflösen nach der Zugkraft, da wir diese suchen:

F_{zug} = 250.000 kg \cdot 0,3 \dfrac{m}{s^2} + 98.100 N

F_{zug} = 173.100 N

 

Die Lokomotive benötigt eine Zugkraft von 173,1 kN um den Gützerzug aus dem Stand mit 0,3 m/s² gleichmäßig zu beschleunigen.

 

wie gehts weiter
Wie geht's weiter?

Nachdem du nun das Newtonsches Grundgesetz kennst, schauen wir uns im nächsten Kurstext das 3. Newtonsche Gesetz (Wechselwirkungsprinzip) an.

 

Trainingsbereich

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