PH3 – Winkelmaße [Gradmaß, Bogenmaß, Gon] – Definition und Umrechnung

In einem Kreis sind Winkelmaße eine grundlegende Methode zur Messung und Beschreibung von Winkeln entlang des Umfangs eines Kreises. Diese Maßeinheiten ermöglichen es, Positionen auf dem Kreis zu bestimmen, Bewegungen zu quantifizieren und geometrische Beziehungen zwischen verschiedenen Punkten zu analysieren.

Winkelmaße in einem Kreis sind in vielen Bereichen der Mathematik, Naturwissenschaften und Ingenieurwissenschaften von Bedeutung. Sie werden häufig verwendet, um Rotationsbewegungen, wie die Bewegung eines Zeigers auf einer Uhr oder die Rotation von Planeten um ihre Achsen, zu beschreiben.

In der Trigonometrie und Geometrie helfen sie bei der Berechnung von Abständen, Flächeninhalten und Volumina von Kreisen und Kreisabschnitten. In der Physik sind Winkelmaße entscheidend, um die Bewegung von Objekten in Kreisbahnen zu verstehen, wie z.B. die Rotation von Rädern oder die Flugbahn eines Projektils.

In dieser Lerneinheit betrachten wir das Winkelmaß: Bogenmaß, Gradmaß und Gon. Wir zeigen dir die Unterschiede auf und wie du Winkelmaße umrechnest.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs PH3 – Einführung in die Kinematik.

Winkelmaße

Winkelmaß, Kreis, Beispiel, Winkel, Gradmaß, Bogenmaß — Winkel im Kreis

Die Größe eines Winkels $\varphi$ kann auf drei verschiedene Arten angegeben werden. Hierzu gehören das Gradmaß, das Bogenmaß und das Gon (früher: Neugrad).

Wir betrachten für die Definitionen der Winkelmaße zunächst einen Einheitskreis. Dieser zeichnet sich dadurch aus, dass der Radius des Einheitskreises r=1 beträgt.

Die gesamte Umdrehung in einem Kreis wird als Vollwinkel bezeichnet.

Gradmaß

Das Gradmaß [SI-Einheit] hat einen Vollwinkel von 360°, d.h. der Einheitskreis wird in 360 gleich große Teile zerlegt. Die Angabe eines Winkels in Gradmaß erfolgt mit der Einheit Grad (engl. Degrees) [°].

Betrachten wir einen Kuchen, so wird dieser beim Gradmaß in 360 gleich große Kuchenstücke geteilt. In der nachfolgenden Grafik siehst du einige ausgewählte Winkel angegeben in Gradmaß:

Bogenmaß

Das Bogenmaß [SI-Einheit] weist einen Vollwinkel von 2π Radiant auf. Die Angabe eines Winkels in Bogenmaß erfolgt mit der Einheit Radiant [rad]. Das Bogenmaß ist nichts anderes als der Quotient aus Kreisbogen $b$ und dem zugehörigen Radius $r$ :

Bogenmaß – Formel

$\varphi \; [rad] = \dfrac{b}{r}$

Bogenmaß, Winkelmaß, Beispiel, Radiant, Berechnung, Radius, Kreis — Berechnung von Bogenmaß

Es ist selten die Bogenlänge gegeben. Dafür kann aber aus der Angabe des Winkels in Radiant $\varphi [rad]$ und der Angabe des Radius’ $r$ das Bogenmaß $b$ berechnet werden:

Bogenmaß – Formel

$b = \varphi \; [rad] \cdot r$

mit

$\varphi$ Winkel [rad]

$r$ Radius [m]

Merk’s dir!

Der Winkel $\varphi$ muss innerhalb der obigen Gleichung in Radiant eingegeben werden [rad]. Dazu musst du den Taschenrechner auf Radiant umstellen.

Gon

Das Gon (früher: Neugrad) besitzt den Vollwinkel von 400 gon, d.h. der Einheitskreis wird in 400 gleich große Teile zerlegt. Es handelt sich hierbei um keine SI-Einheit, aber in den EU-Staaten und der Schweiz ist das Gon eine gesetzliche Einheit.

Grundsätzlich findet das Gon Anwendung im Vermessungswesen und sei hier nur erwähnt. Für die weiteren Berechnungen wird es nicht berücksichtigt.

Umrechnung: Grad in Bogenmaß und umgekehrt

Gleichförmige Kreisbewegung, Umrechnung, Grad, Bogenmaß — Umrechnung von Grad in Bogenmaß und umgekehrt

Eine wichtige und für dich relevante Umrechnung ist die Umrechnung von Grad in Bogenmaß und umgekehrt:

Radiant in Grad

$\varphi^\circ = \dfrac{180^\circ}{\pi} \cdot \varphi \; [rad]$

Grad in Radiant

$\varphi [rad] = \dfrac{\pi}{180^\circ} \cdot \varphi^\circ$

Tabelle: Gradmaß und Bogenmaß

Die folgende Tabelle zeigt dir eine Übersicht über Gradmaß und das zugehörigem Bogenmaß.

Winkel	Gradmaß	Bogenmaß
φ₁	0°	0 rad
φ₂	45°	1/4 π rad
φ₃	90°	1/2 π rad
φ₄	135°	3/4 π rad
φ₅	180°	π rad
φ₆	270°	3/2 π rad
φ₇	360°	2 π rad

Umrechnung: Beispiele

Schauen wir uns im Zusammenhang mit dem Thema gleichförmige Kreisbewegung zur Umrechnung von Grad in Bogenmaß und umgekehrt mal zwei Beispiele an.

Beispiel 1: Umrechnung Gradmaß in Bogenmaß

Aufgabenstellung

Gegeben sei das Gradmaß von $\varphi = 70^\circ$ . Gib den Winkel in Bogenmaß an!

Wir sollen den Winkel von Gradmaß in Bogenmaß umrechnen. Dazu verwendest du die folgende Gleichung:

$\varphi \; [rad] = \varphi^\circ \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ}$

Berechnung:

$\varphi \; [rad] = 70^\circ \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ} = 1,22 [rad]$

Beispiel 2: Umrechnung Bogenmaß in Gradmaß

Aufgabenstellung

Gegeben sei das Bogenmaß von $\varphi = 2,4 [rad]$ . Gib den Winkel in Gradmaß an!

Wir sollen den Winkel von Gradmaß in Bogenmaß umrechnen. Dazu verwendest du die folgende Gleichung:

$\varphi^\circ = \varphi \; [rad] \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi}$

Berechnung:

$\varphi^\circ = 2,4 [rad] \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} = 137,51^\circ$

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