PH3 – Winkelmaße [Gradmaß, Bogenmaß, Gon] – Definition und Umrechnung

Zu unseren Spartarifen
Zu unseren Angeboten
Inhaltsverzeichnis:

In einem Kreis sind Winkelmaße eine grundlegende Methode zur Messung und Beschreibung von Winkeln entlang des Umfangs eines Kreises. Diese Maßeinheiten ermöglichen es, Positionen auf dem Kreis zu bestimmen, Bewegungen zu quantifizieren und geometrische Beziehungen zwischen verschiedenen Punkten zu analysieren.

Winkelmaße in einem Kreis sind in vielen Bereichen der Mathematik, Naturwissenschaften und Ingenieurwissenschaften von Bedeutung. Sie werden häufig verwendet, um Rotationsbewegungen, wie die Bewegung eines Zeigers auf einer Uhr oder die Rotation von Planeten um ihre Achsen, zu beschreiben.

In der Trigonometrie und Geometrie helfen sie bei der Berechnung von Abständen, Flächeninhalten und Volumina von Kreisen und Kreisabschnitten. In der Physik sind Winkelmaße entscheidend, um die Bewegung von Objekten in Kreisbahnen zu verstehen, wie z.B. die Rotation von Rädern oder die Flugbahn eines Projektils.

In dieser Lerneinheit betrachten wir das Winkelmaß: Bogenmaß, Gradmaß und Gon. Wir zeigen dir die Unterschiede auf und wie du Winkelmaße umrechnest.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs PH3 – Einführung in die Kinematik.

 

Winkelmaße

Winkelmaß, Kreis, Beispiel, Winkel, Gradmaß, Bogenmaß
Winkel im Kreis

 

Die Größe eines Winkels \varphi kann auf drei verschiedene Arten angegeben werden. Hierzu gehören das Gradmaß, das Bogenmaß und das Gon (früher: Neugrad).

Wir betrachten für die Definitionen der Winkelmaße zunächst einen Einheitskreis. Dieser zeichnet sich dadurch aus, dass der Radius des Einheitskreises r=1 beträgt.

Die gesamte Umdrehung in einem Kreis wird als Vollwinkel bezeichnet.

Winkelmaße, Bogenmaß, Gradmaß, Gon, Beispiel, Kreis, Umrechnung
Gradmaß, Bogenmaß, Gon

 

Gradmaß

Das Gradmaß [SI-Einheit] hat einen Vollwinkel von 360°, d.h. der Einheitskreis wird in 360 gleich große Teile zerlegt. Die Angabe eines Winkels in Gradmaß erfolgt mit der Einheit Grad (engl. Degrees) [°].

Betrachten wir einen Kuchen, so wird dieser beim Gradmaß in 360 gleich große Kuchenstücke geteilt. In der nachfolgenden Grafik siehst du einige ausgewählte Winkel angegeben in Gradmaß:

Winkelmaß, Gradmaß, Kreis, Winkel, Umrechnung, Bogenmaß, Radiant, Grad
Gradmaß – Winkel im Kreis

 

Bogenmaß

Das Bogenmaß [SI-Einheit] weist einen Vollwinkel von 2π Radiant auf. Die Angabe eines Winkels in Bogenmaß erfolgt mit der Einheit Radiant [rad]. Das Bogenmaß ist nichts anderes als der Quotient aus Kreisbogen b und dem zugehörigen Radius r:

Bogenmaß – Formel

\varphi \; [rad] = \dfrac{b}{r}

Bogenmaß, Winkelmaß, Beispiel, Radiant, Berechnung, Radius, Kreis
Berechnung von Bogenmaß

 

Es ist selten die Bogenlänge gegeben. Dafür kann aber aus der Angabe des Winkels in Radiant \varphi [rad] und der Angabe des Radius’ r das Bogenmaß b berechnet werden:

Bogenmaß – Formel

b = \varphi \; [rad] \cdot r

mit

\varphi  Winkel [rad]

r  Radius [m]

 

Merk’s dir!

Der Winkel \varphi muss innerhalb der obigen Gleichung in Radiant eingegeben werden [rad]. Dazu musst du den Taschenrechner auf Radiant umstellen.

 

Gon

Das Gon (früher: Neugrad) besitzt den Vollwinkel von 400 gon, d.h. der Einheitskreis wird in 400 gleich große Teile zerlegt. Es handelt sich hierbei um keine SI-Einheit, aber in den EU-Staaten und der Schweiz ist das Gon eine gesetzliche Einheit.

Grundsätzlich findet das Gon Anwendung im Vermessungswesen und sei hier nur erwähnt. Für die weiteren Berechnungen wird es nicht berücksichtigt.

 

Umrechnung: Grad in Bogenmaß und umgekehrt

Gleichförmige Kreisbewegung, Umrechnung, Grad, Bogenmaß
Umrechnung von Grad in Bogenmaß und umgekehrt

 

Eine wichtige und für dich relevante Umrechnung ist die Umrechnung von Grad in Bogenmaß und umgekehrt:

Radiant in Grad

\varphi^\circ = \dfrac{180^\circ}{\pi} \cdot \varphi \; [rad]

 

Grad in Radiant

\varphi [rad] = \dfrac{\pi}{180^\circ} \cdot \varphi^\circ

 

Tabelle: Gradmaß und Bogenmaß

Die folgende Tabelle zeigt dir eine Übersicht über Gradmaß und das zugehörigem Bogenmaß.

Winkel Gradmaß Bogenmaß
φ1 0 rad
φ2 45° 1/4 π rad
φ3 90° 1/2 π rad
φ4 135° 3/4 π rad
φ5 180° π rad
φ6 270° 3/2 π rad
φ7 360° 2 π rad

 

Umrechnung: Beispiele

Schauen wir uns im Zusammenhang mit dem Thema gleichförmige Kreisbewegung zur Umrechnung von Grad in Bogenmaß und umgekehrt mal zwei Beispiele an.

 

Beispiel 1: Umrechnung Gradmaß in Bogenmaß

Aufgabenstellung

Gegeben sei das Gradmaß von \varphi = 70^\circ. Gib den Winkel in Bogenmaß an!

 

Wir sollen den Winkel von Gradmaß in Bogenmaß umrechnen. Dazu verwendest du die folgende Gleichung:

\varphi \; [rad] = \varphi^\circ \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ}

 

Berechnung:

\varphi \; [rad] = 70^\circ \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ} = 1,22 [rad]

 

Beispiel 2: Umrechnung Bogenmaß in Gradmaß

Aufgabenstellung

Gegeben sei das Bogenmaß von \varphi = 2,4 [rad]. Gib den Winkel in Gradmaß an!

 

Wir sollen den Winkel von Gradmaß in Bogenmaß umrechnen. Dazu verwendest du die folgende Gleichung:

\varphi^\circ = \varphi \; [rad] \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi}

 

Berechnung:

\varphi^\circ = 2,4 [rad] \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} = 137,51^\circ

Was gibt es noch bei uns?

Optimaler Lernerfolg durch tausende Übungsaufgaben

 

Übungsbereich (Demo) - Lerne mit mehr als 4000 Übungsaufgaben für deine Prüfungen

Quizfrage 1

 

“Wusstest du, dass unter jedem Kursabschnitt eine Vielzahl von verschiedenen interaktiven Übungsaufgaben bereitsteht, mit denen du deinen aktuellen Wissensstand überprüfen kannst?”  

Alle Technikerschulen im Überblick

Zum Verzeichnis der Technikerschulen (Alles Rund um die Schulen)
Zum Verzeichnis der Technikerschulen

 

Kennst du eigentlich schon unser großes Technikerschulen-Verzeichnis für alle Bundesländer mit allen wichtigen Informationen (Studiengänge, Kosten, Anschrift, Routenplaner, Social-Media) ? Nein? – Dann schau einfach mal hinein:   

Was ist Technikermathe?

Unser Dozent Jan erklärt es dir in nur 2 Minuten!

Oder direkt den > kostenlosen Probekurs < durchstöbern? – Hier findest du Auszüge aus Alle Onlinekurse Technikermathe!

Geballtes Wissen in derzeit 26 Kursen

Hat dir dieses Thema gefallen?Ja? – Dann schaue dir auch gleich die anderen Themen zu den Kursen 

WT3 (Werkstoffprüfung) und
TM1 (Technische Mechanik – Statik) an. 

Lerne nun erfolgreich mit unserem Onlinekurs Technische Mechanik 1
TM1 (Technische Mechanik)
Lerne nun erfolgreich mit unserem Onlinekurs Werkstofftechnik 3
WT3 (Werkstoffprüfung)

 

Perfekte Prüfungsvorbereitung für nur 14,90 EUR/Jahr pro Kurs

++ Günstiger geht’s nicht!! ++

 

 

Oder direkt Mitglied werden und Alle unsere Onlinekurse (inkl.  Webinare  + Unterlagen) sichern ab 7,40 EUR/Monat  ++ Besser geht’s nicht!! ++  

 

Social Media? - Sind wir dabei!

Kennst du eigentlich schon unseren YouTube-Channel? – Nein? – Dann schau super gerne vorbei:

Technikermathe auf Youtube 

Mehr Videos zu allen Themen des Ingenieurwesens auf Youtube

  Immer auf dem neuesten Stand sein? – Ja? – Dann besuche uns doch auch auf

Technikermathe auf Instagram 

Sei immer auf dem neuesten Stand und besuche uns auf Instagram

Technikermathe auf Facebook

Sei immer auf dem neuesten Stand und besuche uns auf Facebook

Dein Technikermathe.de-Team

Zu unseren Kursen
Zu unseren Kursen