PH3 – v-t-Diagramm bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung [Erklärung, Beispiele, Video]

In dieser Lerneinheit betrachten wir das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung (=konstante Beschleunigung).

Für ein optimales Verständnis helfen dir ein ausführlicher Videoclip und zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Dieses Thema ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs: PH3-Kinematik

Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm – Definition

Das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm oder auch v-t-Diagramm zeigt die Geschwindigkeit eines Körpers in Abhängigkeit von der Zeit an. Je nachdem welche Bewegung gegeben ist, verläuft die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion konstant (bei gleichförmiger Bewegung) oder linear (bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung).

Die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung (=konstante Beschleunigung) ist linear, d.h. sie nimmt linear mit der Zeit t zu und weist damit eine konstante Steigung auf.

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Das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm (auch: v-t-Diagramm) zeigt an, wie groß die Geschwindigkeit v nach einer bestimmten Zeit t ist. Bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ergibt sich eine lineare Funktion, d.h. die Geschwindigkeit nimmt mit der Zeit t linear zu. Die Zeit t mit der SI-Einheit Sekunden [s] wird auf der x-Achse, die Geschwindigkeit v mit der SI-Einheit Meter pro Sekunde [m/s] auf der y-Achse abgetragen.

In dem obigen v-t-Diagramm sind zwei Geschwindigkeits-Zeit-Funktionen v₁ und v₂ eingezeichnet. Je höher die konstante Beschleunigung eines Körpers (z.B. Fahrzeugs) ist, desto steiler verläuft die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion. Die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion v₂ verläuft steiler als v₁, somit ist die Beschleunigung bei der Funktion v₂ höher.

Aus dem v-t-Diagramm für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung kannst du nicht nur die Geschwindigkeit v, sondern auch die Beschleunigung a und den Weg s berechnen.

Merk’s dir!

Die Steigung der v-t-Funktion zeigt die Beschleunigung $a$ an, die Fläche unterhalb der v-t-Funktion zeigt den zurückgelegten Weg $s$ an.

Video: v-t-Diagramm

Im folgenden Video betrachten wir das v-t-Diagramm und führen einige Berechnungen durch.

Beschleunigung aus der Steigung

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Willst du aus dem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm die Beschleunigung berechnen, dann musst du nur die Steigung bestimmen. Bei einer lineare Funktion (wie oben gegeben), ist die Steigung je Zeiteinheit immer gleich groß. Betrachtest du also die obige Funktion, so siehst du sofort, dass sich die Geschwindigkeit pro Sekunde immer um 2 m/s erhöht.

Du kannst nun die Steigung berechnen, damit du die konstante Beschleunigung erhältst. Die Steigung wird wie folgt berechnet:

Steigung einer linearen Funktion

$m = \dfrac{\text{Schritt y}}{\text{Schritt x}}$

Die obige Gleichung zeigt dir an, wie du die Steigung berechnen kannst. Im v-t-Diagramm entspricht die Steigung der Beschleunigung a:

Beschleunigung aus der Steigung berechnen

$a = \dfrac{\text{Schritt y}}{\text{Schritt x}}$

Zum besseren Verständnis betrachten wir die obige Geschwindigkeits-Zeit-Funktion und berechnen die Beschleunigung, indem wir die Steigung bestimmen:

$a_1 = \dfrac{\text{Schritt y}}{\text{Schritt x}} = \dfrac{2 \frac{m}{s}}{1s} = 2 \frac{m}{s^2}$

Du startest am Beginn der Funktion und gehst eine Zeiteinheit (1s) in x-Richtung. Du musst dann 2 m/s in y-Richtung gehen, damit du die Funktion wieder erreichst. Die Beschleunigung zur Geschwindigkeits-Zeit-Funktion $v_1$ beträgt dann:

$a_1 = 2 \dfrac{m}{s^2}$

Probe:

Du kannst die Beschleunigung natürlich ebenso mit der folgenden Gleichung berechnen:

Berechnung der Beschleunigung

$a = \dfrac{v - v_0}{t}$

Für diese Berechnung benötigst du die Endgeschwindigkeit v (zum Beispiel nach 3s) und die Geschwindigkeit v₀ davor (zum Beispiel nach 2s). Die Zeit t ist die Geschwindigkeit zwischen den beiden gewählten Geschwindigkeiten. Wir erhalten also für t = 1s, weil genau 1 Sekunde zwischen den beiden ausgewählten Geschwindigkeiten liegt.

$v = 6 \dfrac{m}{s}$ Geschwindigkeit nach 3s

$v_0 = 4 \dfrac{m}{s}$ Geschwindigkeit nach 2s

$t = 1s$ Geschwindigkeitsdifferenz

Einsetzen der obigen Werte in die Gleichung ergibt:

$a = \dfrac{6 \frac{m}{s} - 4 \frac{m}{s} }{1s} = 2\frac{m}{s^2}$

Du kannst auch als Endgeschwindigkeit $v = 8 \frac{m}{s}$ (nach 4s) und als Anfangsgeschwindigkeit $v_0 = 2 \frac{m}{s}$ (nach 1s) wählen. Dann ist $t = 3s$ , weil genau 3s zwischen den beiden ausgewählten Geschwindigkeiten liegen.

$a = \dfrac{8 \frac{m}{s} - 2 \frac{m}{s} }{3s} = 2\frac{m}{s^2}$

Die Beschleunigung bleibt gleich, weil eine lineare Geschwindigkeits-Zeit-Funktion gegeben ist.

Weg berechnen – Fläche unterhalb der vt-Funktion

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Willst du aus dem v-t-Diagramm den zurückgelegten Weg $s$ nach einer bestimmten Zeit t berechnen, dann musst du einfach die Fläche unterhalb der Funktion berechnen. In der obigen Grafik wurde der Weg nach 3s berechnet. Dafür wurde die gesamte Fläche unterhalb der Funktion berücksichtigt. Es ergibt sich eine dreieckige Fläche. Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks wird berechnet zu:

Fläche eines Dreiecks

$A_D = \dfrac{h \cdot b}{2}$

Es gilt also für die obige Fläche:

$A = s = \dfrac{6 \frac{m}{s} \cdot 3s}{2} = 9m$

Das Fahrzeug legt in 3s einen Weg von 9m zurück.

Probe:

Zur Überprüfung verwenden wir die folgende Gleichung:

Berechnung des Weges: $s = v_0 \cdot t + \dfrac{a}{2} \cdot t^2$

Wir haben gegeben:

$v_0 = 0$ (zu Beginn)

$t = 3s$

$a = 2 \frac{m}{s^2}$ (aus der Steigung)

Einsetzen der obigen Werte in die Gleichung:

$s = 0 \cdot 3s + \dfrac{2 \frac{m}{s^2}}{2} \cdot (3s)^2 = 9m$

Das Fahrzeug legt also nach 3 Sekunden einen Weg von 9 Metern zurück.

Geschwindigkeit nimmt ab – Verzögerung

Im obigen Fall sind wir von einer positiven konstanten Beschleunigung und damit von einer linearen Erhöhung der Geschwindigkeit ausgegangen. Es kann natürlich ebenfalls eine negative Beschleunigung (=Verzögerung) gegeben sein. Ein Beispiel hierfür wäre ein Fahrzeug, welches sich im Bremsvorgang befindet. Bei einer Verzögerung wird die Geschwindigkeit linear verringert:

In der obigen Grafik siehst du das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm bei einer negativen konstanten Beschleunigung (Verzögerung). Die Anfangsgeschwindigkeit beträgt 13,89 m/s bzw. 50 km/h. Danach wird das Fahrzeug verzögert (gebremst). Die Geschwindigkeit verringert sich immer weiter, bis diese nach 5 Sekunden bei Null ist.

Beschleunigung berechnen

Das Fahrzeug wird also in diesem Beispiel bis zum Stillstand gebremst. Die Beschleunigung muss in diesem Fall negativ sein. Wir können natürlich auch hier die Beschleunigung bestimmen, entweder aus der Steigung der Funktion oder ganz einfach aus der Gleichung der Beschleunigung für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung:

Steigung der Funktion

$m = a = \dfrac{\text{Schritte x-Richtung}}{\text{Schritte y-Richtung}} = \dfrac{-13,89 \frac{m}{s}}{5s} = -2,78 \dfrac{m}{s^2}$

Du startest immer am Beginn der Funktion, in diesem Fall bei 13,89 m/s auf der y-Achse. Nun gehst du 5 Schritte (5s) in x-Richtung, wie viele Schritte musst du dann in y-Richtung gehen, um wieder bei der Funktion anzukommen? Hier musst du dann 13,89 Schritte (m/s) in negative y-Richtung gehen, deswegen resultiert ein negatives Vorzeichen. Die Beschleunigung ist also – wie zu erwarten war – negativ. Das siehst du auch sofort, da die Funktion fällt und damit eine negative Steigung vorliegt.

Alternativ verwendest du ganz einfach die folgende Gleichung:

$a = \dfrac{v - v_0}{t} = \dfrac{0 \frac{m}{s} - 13,89 \frac{m}{s}}{5s} = -2,78 \dfrac{m}{s^2}$

Denk daran, dass $v$ die Endgeschwindigkeit ist (hier: Null) und $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit (hier: 13,89 m/s) und $t$ die Zeit zwischen den beiden Geschwindigkeiten.

Weg berechnen

Den Weg kannst du – wie oben gezeigt – berechnen, indem du die Fläche unterhalb der Funktion betrachtest. Alternativ verwendest du die Gleichung für den Weg bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung.

Fläche unterhalb:

$A_D = \frac{h \cdot b}{2} = \dfrac{13,89 \frac{m}{s} \cdot 5s}{2} = 34,73 m$

Kinematische Formel zur Berechnung des Weges:

$s = v_0 \cdot t + \dfrac{a}{2} \cdot t^2 = 13,89 \frac{m}{s} \cdot 5s + \dfrac{-2,78 \frac{m}{s^2}}{2} \cdot (5s)^2 = 34,7 m$

Beide Ergebnisse sind identisch.

Zusammenfassung

Schauen wir uns nochmal an, was genau die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung für Informationen für dich bereit hält. Aus der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion kannst du…

die Geschwindigkeit zu einer bestimmten Zeit ablesen.
die Beschleunigung aus der Steigung bestimmen.
den zurückgelegten Weg aus der Fläche unterhalb der Funktion bestimmen.

Was kommt als Nächstes?

Im nächsten Kursabschnitt betrachten wir das Weg-Zeit-Diagramm.

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