PH3 – Gleichmäßig beschleunigten Bewegung [Erklärung, Beispiele, Video]

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In dieser Lerneinheit schauen wir uns einige Beispiele zur gleichmäßig beschleunigten Bewegung an.

Für ein optimales Verständnis helfen dir fünf anschauliche Beispiele zur gleichmäßig beschleunigten Bewegung zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Kinematik findest du im Kurs: PH3-Kinematik

 

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung – Grundlagen

Von einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist die Rede, wenn eine konstante Beschleunigung a gegeben ist. Die Geschwindigkeit v ist dann nicht mehr konstant, sondern ändert sich mit der Zeit t

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Beschleunigung bzw. Verzögerung – Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

 

Die Beschleunigung eines Körpers führt zu einer Änderung der Geschwindigkeit. Ist die Beschleunigung positiv, so erhöht sich die Geschwindigkeit, ist die Beschleunigung negativ, so reduziert sich die Geschwindigkeit. Bei einer negativen Beschleunigung spricht man auch von einer Verzögerung.

Beispiel – Stau !

Im obigen Bild ist ein Stau zu sehen. Wir alle kennen die Bewegung in einem Stau. Anfahren (=beschleunigen), aufschließen und dann wieder abbremsen (=Verzögerung). Wir haben es hier also mit einer beschleunigten Bewegung zu tun (beim Anfahren und beim Abbremsen). Ist die Beschleunigung konstant, so spricht man von einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung.

Weitere Beispiele für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung auf einer Geraden sind der freie Fall von Körpern (konstante Fallbeschleunigung g), der senkrechte Wurf nach oben oder nach unten sowie ein mit konstanter Beschleunigung anfahrendes oder abbremsendes Auto, welches sich auf einer geraden Strecke bewegt.

 

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung – Beispiele Alltag

Hier sind einige Beispiele für gleichmäßig beschleunigte Bewegungen im Alltag:

  • Auto beim Anfahren: Wenn du mit einem Auto an einer Ampel stehst und dann das Gaspedal drückst, beschleunigt das Auto gleichmäßig, solange du den Fuß auf dem Gaspedal hältst.

  • Fahrradfahren: Beim Fahrradfahren beschleunigst du gleichmäßig, wenn du kontinuierlich in die Pedale trittst und dabei die Geschwindigkeit erhöhst.

  • Pendelnde Schaukel: Wenn du auf einer Schaukel sitzt und deine Füße benutzt, um dich vorwärts und rückwärts zu schwingen, erfährst du eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung, solange du die Schaukel kontinuierlich antreibst.

  • Beschleunigen eines Modellflugzeugs: Wenn du ein Modellflugzeug startest und es gleichmäßig beschleunigt, um an Höhe zu gewinnen, ist dies ein Beispiel für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

  • Rollender Ball bergab: Wenn ein Ball eine geneigte Ebene hinunterrollt, kann er eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung erfahren, solange der Luftwiderstand vernachlässigbar ist.

  • Skateboard oder Rollschuhfahren: Beim Skateboarden oder Rollschuhfahren kannst du eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung erreichen, wenn du kontinuierlich pushst und dadurch deine Geschwindigkeit erhöhst.

  • Raketenstart: Beim Start einer Rakete erfährt sie eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung, um die Erdanziehung zu überwinden und in den Weltraum zu gelangen.

Diese Beispiele verdeutlichen Situationen im Alltag, in denen eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung auftreten kann. Es gibt jedoch viele weitere Anwendungen und Beispiele für diese Art der Bewegung in verschiedenen Bereichen wie Sport, Verkehr und Freizeitaktivitäten. 

 

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung – Formeln

Es sind folgende Formeln für dich gleichmäßig beschleunigte Bewegung relevant:

Berechnung des Weges

Weg

s = v_0 \cdot t + \dfrac{a}{2} \cdot t^2 

 

Die obige Gleichung bezeichnet man auch als Weg-Zeit-Gesetz. Sie gibt den zurückgelegten Weg s in Abhängigkeit von der Zeit t an. Hierbei wird die Anfangsgeschwindigkeit v_0 sowie die Beschleunigung a des Körpers berücksichtigt. Es wird die Frage beantwortet: Welchen Weg legt ein Körper zurück, welcher eine Anfangsgeschwindigkeit v_0 aufweist und dann für die Zeit t mit a beschleunigt?

 

Berechnung der Geschwindigkeit

Geschwindigkeit

v = a \cdot t + v_0 

 

Die obige Gleichung bezeichnet man auch als Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz. Sie gibt die Geschwindigkeit v nach einer Beschleunigung a in Abhängigkeit von der Zeit t an. Dabei muss die Anfangsgeschwindigkeit v_0 des Körpers berücksichtigt werden. Hier wird die Frage beantwortet: Wie groß ist die Geschwindigkeit eines Körpers, welcher eine Anfangsgeschwindigkeit v_0 aufweist und dann für die Zeit t mit a beschleunigt wird?

 

Berechnung der Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom Weg

Geschwindigkeit über Weg

v = \sqrt{2 \cdot a \cdot s + v_0^2}

 

Ist der Weg s, die Anfangsgeschwindigkeit v_0 und die Beschleunigung a gegeben, so kann die Geschwindigkeit mittels der obigen Gleichung berechnet werden. Hier wird die Frage beantwortet: Wie groß ist die Geschwindigkeit eines Körpers, welcher eine Anfangsgeschwindigkeit v_0 aufweist und dann über den Weg s mit a beschleunigt wird?

Beschleunigung

Berechnung der Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit

Beschleunigung nach Zeit

a = \dfrac{v - v_0}{t}

 

Sind Endgeschwindigkeit v, Anfangsgeschwindigkeit v_0 und Zeit t gegeben, so kann die Beschleunigung a mit der obigen Gleichung berechnet werden. Hier wird die Frage beantwortet: Wie groß ist die Beschleunigung für die Geschwindigkeitsänderung von v_0 auf v in der Zeit t?

 

Berechnung der  Beschleunigung in Abhängigkeit vom Weg

Beschleunigung nach Weg

a = \dfrac{v^2 - v_0^2}{2 \cdot s}

 

Sind Endgeschwindigkeit v, Anfangsgeschwindigkeit v_0 sowie zurückgelegter Weg gegeben, so kann die Beschleunigung mit der obigen Formel berechnet werden. Hier wird die Frage beantwortet: Wie groß ist die Beschleunigung für die Geschwindigkeitsänderung von v_0 auf v während des Weges s.

Zeit

Berechnung der Zeit – Geschwindigkeitsänderung

Geschwindigkeitsänderung

t = \dfrac{v - v_0}{a} 

 

Hier wird die Zeit berechnet, die ein Körper für die Geschwindigkeitsänderung von v_0 auf v bei einer Beschleunigung von a benötigt.

 

Berechnung der Zeit – Beschleunigung

Zeit

t = \sqrt{\dfrac{2 \cdot s}{a}}

 

Hier wird die Zeit berechnet, die ein Körper für die Strecke s bei einer Beschleunigung von a benötigt.

Merk’s dir!

Die Einheit der Beschleunigung a wird in [m/s²] angegeben, die bei einem freien Fall gleich der Erdbeschleunigung (g = 9,81 m/s²) ist.

 

Zusammenfassung der Formeln

Wird ein Körper konstant beschleunigt, dann handelt es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung und die Geschwindigkeit des Körpers ändert sich mit der Zeit. Die obigen Formeln sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst: 

s = v_0 \cdot t + \frac{a}{2} \cdot t^2  Berechnung des Weges
v = a \cdot t + v_0 Berechnung der Geschwindigkeit
v = \sqrt{2 \cdot a \cdot s + v_0^2} Berechnung der Geschwindigkeit über den Weg
a = \frac{v - v_0}{t} Berechnung der Beschleunigung nach der Zeit
a = \frac{v^2 - v_0^2}{2 \cdot s} Berechnung der Beschleunigung nach dem Weg
t = \frac{v - v_0}{a} Berechnung der Zeit über die Geschwindigkeit
t = \sqrt{\frac{2 \cdot s}{a}} Berechnung der Zeit über den Weg

 

Beispiele: Gleichmäßig beschleunigten Bewegung

Wir schauen uns fünf Beispiele zur gleichmäßig beschleunigten Bewegung an. Du benötigst zur Lösung dieser Beispiele die obigen Gleichungen. Versuche zunächst die Aufgaben selbstständig zu lösen, bevor du dir die Lösung anschaust. Je öfter du solche Aufgaben löst, desto sicherer und routinierter wirst du. Dies ist für die Prüfung sehr wichtig, da du für die Bearbeitung der Aufgaben nicht so viel Zeit hast. Selbst wenn du meinst, dass die Aufgaben sehr leicht sind, so solltest du diese auch kurz vor der Prüfung nochmals lösen.

Übersicht der Beispiele zur gleichmäßig beschleunigten Bewegung:

  1. Berechnung der Beschleunigung,
  2. Berechnung der Geschwindigkeit und Strecke,
  3. Berechnung der Zeit,
  4. Berechnung der Zeit &
  5. Berechnung der Beschleunigung 

 

Beispiel 1: Berechnung der Beschleunigung

Aufgabenstellung

Ein Fahrzeug beschleunigt aus dem Stand in 10 Sekunden auf 50 m/s.

Wie groß ist seine Beschleunigung?

 

1. Schritt: Einheiten umrechnen

Alle Angaben sind in SI-Einheiten

 

2.Schritt: Welche Variablen sind gegeben, welche werden gesucht?

Gegeben:

Zeit mit t = 10 s

Endgeschwindigkeit mit v = 50 \frac{m}{s}

Anfangsgeschwindigkeit mit v_0 = 0 (aus dem Stand)

 

Gesucht:

Beschleunigung a

 

Folgende Gleichung wird herangezogen:

 v = a \cdot t + v_0

 

Umstellen nach der Beschleunigung:

a = \frac{v - v_0}{t}

 

Einsetzen der Werte:

a = \frac{50 \frac{m}{s} - 0}{10 s} = 5 \frac{m}{s^2}

 

Beispiel 2: Berechnung der Geschwindigkeit und Strecke

Aufgabenstellung

Ein Fahrzeug weist eine Geschwindigkeit von 13 m/s auf und beschleunigt dann mit 2 m/s² für eine Dauer von 2,5 Sekunden.

Welche Strecke legt er in der Zeit der Beschleunigung zurück?

Auf welche Geschwindigkeit beschleunigt das Fahrzeug?

 

1. Schritt: Einheiten umrechnen

Alle Angaben sind in SI-Einheiten

 

2.Schritt: Welche Variablen sind gegeben, welche werden gesucht?

Gegeben:

Anfangsgeschwindigkeit mit v_0 = 13 \frac{m}{s}

Beschleunigung mit a = 2 \frac{m}{s^2}

Zeit mit t = 2,5s

 

Gesucht:

Weg s

Geschwindigkeit v

 

Folgende Gleichungen werden herangezogen:

s = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2

v = a \cdot t + v_0

 

Wir starten mit der Berechnung des Weges:

s = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2

 

Einsetzen der Werte:

s = 13 \frac{m}{s} \cdot 2,5s + \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{m}{s^2} \cdot (2,5s)^2 = 38,75 m

 

Das Fahrzeug beschleunigt über eine Strecke von 38,75 m.

 

Wir wollen außerdem die Geschwindigkeit berechnen, auf welche das Fahrzeug beschleunigt wird:

v = a \cdot t + v_0

 

Einsetzen der Werte:

v = 2 \frac{m}{s^2} \cdot 2,5s + 13 \frac{m}{s} = 18 \frac{m}{s}

 

Das Fahrzeug wird von 13 m/s auf 18 m/s beschleunigt.

 

Beispiel 3:  Berechnung der Zeit

Aufgabenstellung

Ein Fahrzeug beschleunigt aus dem Stand mit einer Beschleunigung von 4,3 m/s².

Berechne die Zeit t, die das Fahrzeug bis zum Erreichen der Geschwindigkeit 50 m/s benötigt.

 

1. Schritt: Einheiten umrechnen

Alle Angaben sind in SI-Einheiten

 

2.Schritt: Welche Variablen sind gegeben, welche werden gesucht?

 Gegeben
a = 4,3 \frac{m}{s^2}

v_0 = 0

v = 50 \frac{m}{s}

 

Gesucht:

Zeit t

 

Wir können hier folgende Gleichung heranziehen:

t = \frac{v - v_0}{a}

 

Einsetzen der Werte:

t = \frac{50 \frac{m}{s} - 0}{4,3 \frac{m}{s^2}}

t = 11,63 s

 

Das Fahrzeug benötigt 11,63 s um aus dem Stand bei einer Beschleunigung von 4,3 m/s² eine Geschwindigkeit von 50 m/s zu erreichen.

 

Beispiel 4: Berechnung der Zeit

Aufgabenstellung

Ein Fahrzeug beschleunigt aus dem Stand mit 5,2 m/s².

Berechne die Zeit t, die das Fahrzeug zum Zurücklegen der Strecke 160 m benötigt.

 

1. Schritt: Einheiten umrechnen

Alle Angaben sind in SI-Einheiten

 

2.Schritt: Welche Variablen sind gegeben, welche werden gesucht?

Gegeben:

a = 5,2 \frac{m}{s^2}

s = 160 m

 

Gesucht:

Zeit t

 

Wir wollen die Zeit berechnen, die das Fahrzeug für eine Strecke von 160 m benötigt, wenn es eine Beschleunigung von a = 5,2 \frac{m}{s^2} aufweist.

t = \sqrt{\frac{2 \cdot s}{a}}

 

Einsetzen der Werte:

t = \sqrt{\frac{2 \cdot 160m}{5,2 \frac{m}{s}}}

t = 7,8 s

 

Beispiel 5: Berechnung der Beschleunigung

Aufgabenstellung

Ein Auto fährt aus dem Stand los. Nach einer Strecke von 10 m weist das Auto eine Geschwindigkeit von 80 km/h auf.

Wie groß ist die Beschleunigung während dieser Strecke?

 

1. Schritt: Einheiten umrechnen

 Umrechnung von km/h in m/s mit dem Faktor 3,6 (Division):

\frac{80 \frac{km}{h}}{ 3,6} = 22,22 \frac{m}{s}

 

2.Schritt: Welche Variablen sind gegeben, welche werden gesucht?

 Gegeben:

s = 10m

v = 22,22 \frac{m}{s}

v_0 = 0 (Stand)

 

Gesucht:

a

 

Heranzuziehende Gleichung:

a = \frac{v^2 - v_0^2}{2s}

 

Einsetzen der Werte:

a = \frac{(22,22 \frac{m}{s})^2 - 0}{2 \cdot 10m} = 24,69 \frac{m}{s^2}

 

Für die Steigerung der Geschwindigkeit von 0 auf 22,22 m/s über einen Strecke von 10m ist eine Beschleunigung von 24,69 m/s² erforderlich.

Was kommt als Nächstes?

Jetzt hast du einige Beispiele zur gleichmäßig beschleunigten Bewegung kennengelernt. In der nächsten Lerneinheit behandeln wir das Weg-Zeit-Diagramm bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung.

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