PH3 – Beschleunigungs-Zeit-Diagramm | gleichmäßig beschleunigte Bewegung [Erklärung, Formeln, Beispiele]

Wir betrachten in dieser Lerneinheit das Beschleunigungs-Zeit-Diagramm (auch: a-t-Diagramm) und wollen zeigen, wie du die Beschleunigung einzeichnest, was eine negative Beschleunigung ist und wie du die Geschwindigkeit aus dem a-t-Diagramm bestimmst.

In dieser Lerneinheit behandeln wir das Beschleunigungs-Zeit-Diagramm (a-t-Diagramm) bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung.

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Dieses Thema ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs: PH3-Kinematik

Beschleunigungs-Zeit-Diagramm: Grundlagen

Bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist eine konstante Beschleunigung (a = const) gegeben, die dazu führt, dass sich die Geschwindigkeit linear erhöht. Die Wegfunktion ist bei konstanter Beschleunigung parabelförmig.

Wir starten zunächst mit dem Beschleunigungs-Zeit-Diagramm. Auf der y-Achse wird die Beschleunigung $a$ in [m/s²], auf der x-Achse die Zeit $t$ in [s] abgetragen. Da bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung die Beschleunigung $a$ konstant ist, ergibt sich eine waagerechte Gerade:

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Im obigen Diagramm sind zwei Beschleunigungs-Zeit-Funktionen $a_1 = 2 \dfrac{m}{s^2}$ und $a_2 = 4 \dfrac{m}{s^2}$ abgebildet. Die Beschleunigungen sind konstant, d.h. sie ändern sich mit der Zeit nicht. Demnach weisen die beiden Gerade keine Steigung auf. Je höher die Gerade liegt, desto größer ist die konstante Beschleunigung.

Beschleunigung berechnen: a-t-Diagramm

Die Beschleunigung kann aus der Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ und der Endgeschwindigkeit $v$ sowie der Dauer $t$ der beschleunigten Bewegung berechnet werden:

Beschleunigung

$a = \dfrac{v - v_0}{t}$

Geschwindigkeit berechnen: a-t-Diagramm

Es ist aber ebenfalls möglich die Geschwindigkeit aus dem a-t-Diagramm zu berechnen. Dies ist gerade für Aufgabenstellungen sinnvoll, in denen nur das a-t-Diagramm gegeben ist und du die Geschwindigkeit berechnen sollst, den der Körper (z.B. ein Auto) zu einer bestimmten Zeit während der Beschleunigung aufweist. Die Geschwindigkeit berechnest du mittels der folgenden Formeln:

Geschwindigkeit

$v = a \cdot t + v_0$

Weg berechnen: a-t-Diagramm

Dir ist es ebenfalls möglich den Weg aus dem a-t-Diagramm zu berechnen, welchen das Fahrzeug während der Beschleunigung zurücklegt:

Weg

$s = v_0 \cdot t + \dfrac{a}{2} \cdot t^2$

Ist also das a-t-Diagramm gegeben, so kannst du Geschwindigkeit und Weg in Abhängigkeit von der Zeit berechnen.

Beschleunigungs-Zeit-Diagramm: Fläche unterhalb der Funktion

Aus dem a-t-Diagramm kann die Geschwindigkeit auch berechnet werden, indem wir die Fläche unterhalb der Beschleunigungs-Zeit-Funktion betrachten. Zur Veranschaulichung betrachten wir im Weiteren die Beschleunigungs-Zeit-Funktion $a_1$ :

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Die schraffierte Fläche unterhalb der Beschleunigungs-Zeit-Funktion zeigt die Geschwindigkeit an.

Zur Berechnung der aktuellen Geschwindigkeit, wird nun die Fläche unterhalb der Funktion berechnet. Es handelt sich um eine rechteckige Fläche, welche mit Höhe mal Breite berechnet werden kann.

Geschwindigkeit nach 1 Sekunde:

$v_1 = 2 \dfrac{m}{s^2} \cdot 1s = 2 \dfrac{m}{s}$ .

Geschwindigkeit nach 2 Sekunden:

$v_1 = 2 \dfrac{m}{s^2} \cdot 2s = 4 \dfrac{m}{s}$

Je weiter die Zeit verstreicht, desto größer wird die zu berechnende Fläche und desto größer ist auch die Geschwindigkeit.

Merk’s dir!

Zur Ermittlung der Geschwindigkeit nach mehreren Sekunden, musst du die schraffierte Fläche unterhalb der Funktion betrachten. Willst du zum Beispiel die Geschwindigkeit nach 4 Sekunden berechnen, dann musst du die gesamte schraffierte Fläche unterhalb der Funktion von der 0. bis zur 4. Sekunde betrachten.

a-t-Diagramm: Negative Beschleunigung

Ist eine negative konstante Beschleunigung gegeben, so handelt es sich um eine Verzögerung, die dazu führt, dass die Geschwindigkeit sich linear verringert. Im a-t-Diagramm ist die Beschleunigung dann auf der negativen y-Achse gegeben:

a-t-diagramm, beschleunigungs-zeit-diagramm, negative Beschleunigung — Negative Beschleunigung: a-t-Diagramm

Eine negative Beschleunigung bedeutet eine Verzögerung und damit eine Verringerung der Geschwindigkeit.

Beispiel: Beschleunigungs-Zeit-Diagramm

Schau dir im folgenden die Beschleunigungs-Zeit-Diagramme an und lösen die Aufgaben zunächst selbstständig, bevor du dir die Lösungen anschaust.

Beispiel 1 : Geschwindigkeit berechnen

Aufgabenstellung

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Gegeben sei das obige Beschleunigungs-Zeit-Diagramm eines Fahrzeugs mit der konstanten Beschleunigung von 2,3 m/s². Die Beschleunigung dauert insgesamt 5 Sekunden.

Wie groß ist die Geschwindigkeit des Fahrzeugs

a) nach 2 Sekunden

b) am Ende der Beschleunigung

wenn das Fahrzeug eine Anfangsgeschwindigkeit von 50 km/h aufweist?

Wir suchen die Geschwindigkeit des Fahrzeugs nach 2s und am Ende der Beschleunigung (nach 5 Sekunden). Das Fahrzeug fährt vor der Beschleunigung mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h. Danach wird das Fahrzeug mit 2,3 m/s² beschleunigt. Die Geschwindigkeit berechnen wir mittels der folgenden Formel:

$v = a \cdot t + v_0$

$a$ ist die Beschleunigung, $t$ die Zeit und $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit.

Lösung a)

Zunächst wollen wir wissen, welche Geschwindigkeit das Fahrzeug nach 2 Sekunden aufweist. Wir müssen aber im 1. Schritt die Einheiten umrechnen.

1.Schritt: Einheiten umrechnen

50 km /h in m/s:

50 : 3,6 m/s = 13,89 m/s

2. Schritt: Bekannte Werte einsetzen:

$v = 2,3 \dfrac{m}{s^2} \cdot 2s + 13,89 \dfrac{m}{s} = 18,49 \dfrac{m}{s}$

3. Schritt: Einheit wieder in km/h angeben

$18,49 \cdot 3,6 \frac{km}{h} = 66,56 \frac{km}{h}$

Das Fahrzeug wird in 2 Sekunden von 50 km/h auf 66,56 km/h beschleunigt.

Lösung b)

Im Aufgabenteil b wollen wir die Geschwindigkeit am Ende der Beschleunigung bestimmen. Die Beschleunigung dauert insgesamt 5 Sekunden, damit erhalten wir:

$v = 2,3 \dfrac{m}{s^2} \cdot 5s + 13,89 \dfrac{m}{s} = 25,39 \dfrac{m}{s}$

Wir geben die Geschwindigkeit wieder im km/h an:

$25,39 \cdot 3,6 \frac{km}{h} = 91,4 \frac{km}{h}$

Das Fahrzeug weist am Ende der Beschleunigung eine Geschwindigkeit von 91,4 km/h auf.

Beispiel 2 : Weg berechnen

Aufgabenstellung

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Gegeben sei das obige Beschleunigungs-Zeit-Diagramm eines Fahrzeugs mit der konstanter Verzögerung von 1,2 m/s². Die Verzögerung dauert insgesamt 4 Sekunden.

Welche Strecke legt das Fahrzeug

a) nach 2 Sekunden

b) am Ende der Beschleunigung

zurück, wenn das Fahrzeug eine Anfangsgeschwindigkeit von 30 km/h aufweist?

Wir suchen den Weg, welchen das Fahrzeug nach 2 Sekunden und am Ende der Verzögerung (nach 4 Sekunden) zurücklegt. Das Fahrzeug fährt vor der Verzögerung (Bremsvorgang) mit einer Geschwindigkeit von 30 km/h. Danach wird das Fahrzeug mit 1,2 m/s² verzögert. Den zurückgelegten Weg berechnen wir mittels der folgenden Formel:

$s = v_0 \cdot t + \dfrac{a}{2} \cdot t^2$

$a$ ist die Beschleunigung, $t$ die Zeit und $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit.

Lösung a)

Zunächst wollen wir wissen, welchen Weg das Fahrzeug nach 2 Sekunden zurückgelegt hat. Wir müssen aber im 1. Schritt die Einheiten umrechnen.

1.Schritt: Einheiten umrechnen

30 km /h in m/s:

30 : 3,6 m/s = 8,33 m/s

2. Schritt: Bekannte Werte einsetzen:

$s = 8,33 \dfrac{m}{s} \cdot 2s + \dfrac{-1,2 \dfrac{m}{s^2}}{2} \cdot (2 s)^2 = 14,26 m$

Das Fahrzeug legt während des Bremsvorgangs nach 2 Sekunden 14,26 Meter zurück.

Lösung b)

Im Aufgabenteil b wollen wir den zurückgelegten Weg am Ende der Verzögerung bestimmen. Die Verzögerung dauert insgesamt 4 Sekunden, damit erhalten wir:

$s = 8,33 \dfrac{m}{s} \cdot 4s + \dfrac{-1,2 \dfrac{m}{s^2}}{2} \cdot (4 s)^2 = 23,72 m$

Das Fahrzeug hat am Ende der Verzögerung einen Weg von 23,72 m zurückgelegt bzw. der Bremsweg beträgt 23,72 m.

Wir könnten uns nun noch die Frage stellen, welche Geschwindigkeit das Fahrzeug am Ende des Bremsvorgangs aufweist? Dazu benötigen wir die folgende Gleichung:

$v = a \cdot t + v_0$

Einsetzen der bekannten Werte:

$v = -1,2 \dfrac{m}{s^2} \cdot 4s + 8,33 \frac{m}{s^2} = 3,53 \frac{m}{s}$

Umgerechnet in km/h ergibt sich dann:

$3,53 \cdot 3,6 = 12,71 \frac{km}{h}$

Das Fahrzeug weist am Ende das Bremsvorgangs eine Geschwindigkeit von 12,71 km/h auf. Das Fahrzeug wird also von 30 km/h auf 12,71 km/h abgebremst (verzögert).

Was kommt als Nächstes?

Nachdem du jetzt das Beschleunigungs-Zeit-Diagramm kennengelernt hast, wollen wir uns in der nächsten Lerneinheit die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion im v-t-Diagramm für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung anschauen.

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