(Ph3) Gleichförmige Kreisbewegung [Grundlagen, Beispiele, Aufgaben]

In dieser Lerneinheit betrachten wir die gleichförmige Kreisbewegung, welche Gleichungen du hier benötigst und wie du diese anwendest. Die gleichförmige Kreisbewegung ist ein wichtiges Thema in der Physik.

Für ein optimales Verständnis helfen dir mehrere sehr ausführliche Beispiele zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Kinematik findest du im Kurs: PH3-Kinematik

Gleichförmige Kreisbewegung – Grundlagen

Merk’s dir!

“Eine gleichförmige Kreisbewegung ist eine Bewegung, bei welcher die Bahnkurve auf einem Kreis verläuft und der Betrag der Bahngeschwindigkeit konstant ist.”

Eine gleichförmige Kreisbewegung ist dann gegeben, wenn sich ein Körper mit einer konstanten Geschwindigkeit auf einer kreisförmigen Bahn bewegt. Bei der gleichförmigen handelt es sich um eine beschleunigte Bewegung, weil sich die Richtung der Geschwindigkeit ständig ändert.

Kreisbewegungen

Kreisbewegungen spielen eine wichtige Rolle in unserem alltäglichen Leben. Die Drehung der Räder von Autos, die Drehung der Trommel in der Waschmaschine, viele Geräte im Haushalt (Mixer), aber auch innerhalb von Maschinen und Motoren treten Kreisbewegungen auf.

Gleichförmige Kreisbewegung – Beispiele im Alltag

Hier sind einige Beispiele:

Beispiele!

Karussell: Ein Karussell auf einem Jahrmarkt dreht sich gleichmäßig im Kreis. Die Passagiere bewegen sich in einer gleichförmigen Kreisbewegung, da sie sich mit konstanter Geschwindigkeit um den Mittelpunkt des Karussells bewegen.
Ventilator: Die Rotorblätter eines Ventilators drehen sich in einer gleichförmigen Kreisbewegung, um Luft zu zirkulieren.
Waschmaschine: Beim Schleudern einer Waschmaschine rotieren die Kleidungsstücke in einer gleichförmigen Kreisbewegung, um das Wasser herauszuschleudern.
Elektrische Zahnbürste: Die Bürstenköpfe einer elektrischen Zahnbürste rotieren gleichförmig, um die Zähne zu reinigen.
Rundumleuchten: Bei Fahrzeugen wie Polizeiautos oder Baufahrzeugen drehen sich die Rundumleuchten in einer gleichförmigen Kreisbewegung, um auf sich aufmerksam zu machen.
Windmühle: Die Flügel einer Windmühle drehen sich gleichmäßig im Kreis, um Windenergie in mechanische Energie umzuwandeln.
Schallplattenspieler: Auf einem Schallplattenspieler bewegt sich der Tonarm in einer gleichförmigen Kreisbewegung über die Schallplatte, um den Klang zu erzeugen.

Das sind nur einige Beispiele für gleichförmige Kreisbewegungen im Alltag. Es gibt jedoch noch viele weitere Situationen, in denen dieses Konzept Anwendung findet.

Wir betrachten im folgenden alle relevanten Kennzahlen für die gleichförmige Kreisbewegung. Du lernst dabei die folgenden Kennzahlen kennen:

Winkelmaße
Umfangsgeschwindigkeit
Umlaufzeit
Frequenz
Winkelgeschwindigkeit sowie
Bahngeschwindigkeit

Gleichförmige Kreisbewegung – Winkelmaß

Die Größe eines Winkels $\varphi$ kann auf drei verschiedene Arten angegeben werden. Hierzu gehören das Gradmaß, das Bogenmaß und das Gon (früher: Neugrad).

Wir betrachten für die Definitionen der Winkelmaße zunächst einen Einheitskreis. Dieser zeichnet sich dadurch aus, dass der Radius des Einheitskreises r=1 beträgt.

Die gesamte Umdrehung in einem Kreis wird als Vollwinkel bezeichnet.

Grad

Das Gradmaß [SI-Einheit] hat einen Vollwinkel von 360°, d.h. der Einheitskreis wird in 360 gleich große Teile zerlegt. Die Angabe eines Winkels in Gradmaß erfolgt mit der Einheit Grad (engl. Degrees) [°].

Betrachten wir einen Kuchen, so wird dieser beim Gradmaß in 360 gleich große Kuchenstücke geteilt. In der nachfolgenden Grafik siehst du einige ausgewählte Winkel angegeben in Gradmaß:

Gleichförmige Kreisbewegung: Winkel in Grad

Bogenmaß

Das Bogenmaß [SI-Einheit] weist einen Vollwinkel von $2 \pi$ rad auf. Die Angabe eines Winkels in Bogenmaß erfolgt mit der Einheit Radiant [rad]. Das Bogenmaß ist nichts anderes als der Quotient aus Kreisbogen $b$ und dem zugehörigen Radius $r$ :

Bogenmaß – Formel

$\boxed{\varphi \; [rad] = \dfrac{b}{r}}$

Es ist selten die Bogenlänge gegeben. Dafür kann aber aus der Angabe des Winkels in Radiant $\varphi [rad]$ und der Angabe des Radius’ $r$ das Bogenmaß $b$ berechnet werden:

Bogenmaß – Formel

$\boxed{b = \varphi \; [rad] \cdot r}$

Merk’s dir!

Der Winkel $\varphi$ muss innerhalb der obigen Gleichung in Radiant eingegeben werden [rad]. Dazu musst du den Taschenrechner auf Radiant umstellen.

Gon

Das Gon (früher: Neugrad) besitzt den Vollwinkel von 400 gon, d.h. der Einheitskreis wird in 400 gleich große Teile zerlegt. Es handelt sich hierbei um keine SI-Einheit, aber in den EU-Staaten und der Schweiz ist das Gon eine gesetzliche Einheit.

Grundsätzlich findet das Gon Anwendung im Vermessungswesen und sei hier nur erwähnt. Für die weiteren Berechnungen wird es nicht berücksichtigt.

Umrechnung: Grad in Bogenmaß und umgekehrt

Eine wichtige und für dich relevante Umrechnung ist die Umrechnung von Grad in Bogenmaß und umgekehrt:

$\varphi^\circ = \dfrac{180^\circ}{\pi} \cdot \varphi \; [rad]$ Radiant in Grad

$\varphi [rad] = \dfrac{\pi}{180^\circ} \cdot \varphi^\circ$ Grad in Radiant

Die folgende Tabelle zeigt dir eine Übersicht über Gradmaß und zugehörigem Bogenmaß.

Winkel	Gradmaß	Bogenmaß
φ₁	0°	0 rad
φ₂	45°	1/4 π rad
φ₃	90°	1/2 π rad
φ₄	135°	3/4 π rad
φ₅	180°	π rad
φ₆	270°	3/2 π rad
φ₇	360°	2 π rad

Gleichförmige Kreisbewegung – Beispiele

Schauen wir uns im Zusammenhang mit dem Thema gleichförmige Kreisbewegung zur Umrechnung von Grad in Bogenmaß und umgekehrt mal zwei Beispiele an.

Beispiel 1: Umrechnung

Aufgabenstellung

Gegeben sei das Gradmaß von $\varphi = 70^\circ$ . Gib den Winkel in Bogenmaß an!

Lösung

Wir sollen den Winkel von Gradmaß in Bogenmaß umrechnen. Dazu verwendest du die folgende Gleichung:

$\varphi \; [rad] = \varphi^\circ \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ}$ Grad in Radiant

Berechnung:

$\varphi \; [rad] = 70^\circ \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ} = 1,22 [rad]$

Beispiel 2: Umrechnung

Aufgabenstellung

Gegeben sei das Bogenmaß von $\varphi = 2,4 [rad]$ . Gib den Winkel in Gradmaß an!

Lösung

Wir sollen den Winkel von Gradmaß in Bogenmaß umrechnen. Dazu verwendest du die folgende Gleichung:

$\varphi^\circ = \varphi \; [rad] \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi}$ Radiant in Grad

Berechnung:

$\varphi^\circ = 2,4 [rad] \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} = 137,51^\circ$

Gleichförmige Kreisbewegung – Umfangsgeschwindigkeit

Die Umfangsgeschwindigkeit $v$ gibt Auskunft über die Geschwindigkeit, mit der sich ein Punkt gleichförmig auf einer Kreisbahn bewegt.

Umfangsgeschwindigkeit – Formel

$\boxed{v = U \cdot n}$

Die Umfangsgeschwindigkeit $v$ setzt sich zusammen aus dem Umfang $U$ des Kreises und der Drehzahl $n$ . Die Umfangsgeschwindigkeit hat die Einheit [m/s] und gibt an, wie viele Meter pro Sekunde ein Körper auf einer Kreisbahn zurücklegt.

Die Drehzahl $n$ wird bestimmt zu:

Drehzahl – Formel

$\boxed{n = \dfrac{u}{t}}$

Die Einheit der Drehzahl ist [1/s]. Die Drehzahl $n$ gibt an, wie oft sich ein Körper in einer bestimmten Zeit um sich selbst dreht.

Beispiel: Drehzahl!

Ein Körper dreht sich 3 mal um sich selbst in 5s. Wie hoch ist die Drehzahl?

$n = \dfrac{u}{t} = \dfrac{3}{5s} = 0,6 \dfrac{1}{s}$

Umfang

Der Umfang $U$ eines Kreises kann über den Durchmesser $d$ und die Kreiszahl $\pi$ berechnet werden:

Umfang – Kreis – Formel

$\boxed{U = d \cdot \pi}$

Die Kreiszahl $\pi$ ist eine mathematische Konstante, welche das Verhältnis vom Umfang zum Durchmesser eines Kreises beschreibt. Hierbei handelt es sich um ein konstantes Verhältnis, welches sich mit der Größe des Kreises ändert:

$\pi = \dfrac{U}{d} = 3,14159…$

Je größer der Kreis, desto größer der Umfang und desto größer auch der Durchmesser. Umfang und Durchmesser erhöhen sich dabei um denselben Faktor, weshalb die Kreiszahl immer gleich groß ist. Auf dem Taschenrechner hat die Kreiszahl π ihre eigene Taste.

Setzen wir nun den Umfang $U = d \dcot \pi$ in die Umfangsgeschwindigkeit $v$ ein, so können wir diese auch berechnen zu:

Umfangsgeschwindigkeit – Formel

$\boxed{v = d \cdot \pi \cdot n}$

Gleichförmige Kreisbewegung: Umfangsgeschwindigkeit — Gleichförmige Kreisbewegung : Umfangsgeschwindigkeit

Mit der obigen Gleichung zur Umfangsgeschwindigkeit $v$ , kann auch die Drehzahl $n$ berechnet werden, wenn wir diese nach $n$ auflösen:

Drehzahl berechnen – Formel

$\boxed{n = \dfrac{v}{ d \cdot \pi}}$

Umfangsgeschwindigkeit – Beispiele

Schauen wir uns mal einige Beispiele zur Umfangsgeschwindigkeit an.

Beispiel 1: Umfangsgeschwindigkeit berechnen

Aufgabenstellung

Die Riemenscheibe eines Bandschleifers hat den Durchmesser von 150mm und dreht sich pro Minute 1.620 mal.

Wie groß ist die Schleifbandgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde?

Lösung

Gegeben haben wir den Durchmesser $d = 150 mm$ und die Drehzahl $n = 1.620 \dfrac{1}{min}$ .

Die Umfangsgeschwindigkeit $v$ ist hier gesucht und kann mit der folgenden Gleichung berechnet werden:

$v = d \cdot \pi \cdot n$

Wir müssen zunächst noch die Einheiten umrechnen. Dazu verwenden wir die SI-Einheiten Sekunde s und Meter m:

$d = 150 mm = 0,15 m$

$n = 1.620 \dfrac{1}{min} = 1.620 \dfrac{1}{60s} = 27 \dfrac{1}{s}$

Einsetzen der Werte:

$v = d \cdot \pi \cdot n = 0,15m \cdot \pi \cdot 27 \dfrac{1}{s} = 12,72 m/s$

Die Schleifbandgeschwindigkeit beträgt 12,72 Meter pro Sekunde.

Beispiel 2: Umfangsgeschwindigkeit

Aufgabenstellung

Eine Schleifscheibe zum Schleifen von Messern besitzt einen Radius von 50 mm. Die Scheibe ist für eine Umfangsgeschwindigkeit von 18 m/s zugelassen.

Wie schnell darf sich die Scheibe drehen?

Lösung

Es ist der Radius $r = 50 mm$ gegeben. Der Durchmesser ist das Zweifache des Radius’:

$d = 2r = 100mm = 0,1m$

Außerdem ist die Umfangsgeschwindigkeit mit $v = 18 m/s$ gegeben.

Berechnet werden soll die Drehzahl $n$ .

Wir betrachten dazu die folgende Gleichung:

$v = d \cdot \pi \cdot n$

Gesucht ist die Drehzahl $n$ , wir lösen also die obigen Gleichung nach $n$ auf:

$n = \dfrac{v}{d \cdot \pi}$

Einsetzen der Werte:

$n = \dfrac{18 m/s}{0,1m \cdot \pi} = 57,3 \dfrac{1}{s}$

Die Scheibe darf sich 57,3 mal pro Sekunde drehen.

Gleichförmige Kreisbewegung – Umlaufzeit

Die Umlaufzeit $T$ ist die Zeit, die ein Punkt für eine volle Kreisumdrehung benötigt. Die Umlaufzeit ist umgekehrt proportional der Drehzahl $n$ . Sie wird in Sekunden angegeben:

Umlaufzeit – Formel

$\boxed{T = \dfrac{1}{n}}$

Die Einheit der Umlaufzeit wird in Sekunde [s] angegeben.

Gleichförmige Kreisbewegung – Frequenz

Die Frequenz $f$ ist der Quotient aus der Anzahl der vollen Umläufe $u$ und dem zugehörigen Zeitabschnitt $t$ . Betrachtet man nur einen Umlauf $u = 1$ , dann ist der Zeitabschnitt $t$ gleich der Umlaufzeit $T$ .

Frequenz – Formel

$\boxed{f = \dfrac{u}{t}}$

Die Frequenz ist der Kehrwert der Umlaufzeit $T$ :

$f = \dfrac{1}{T}$

Die Einheit der Frequenz ist das Hertz [ $\dfrac{1}{s} = Hz$ ].

Gleichförmige Kreisbewegung – Winkelgeschwindigkeit

Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ gibt an, wie schnell sich der Drehwinkel in einer bestimmten Zeit ändert. Hier wird also die Geschwindigkeit nicht in Abhängigkeit von einer Strecke, sondern in Abhängigkeit vom Drehwinkel $\varphi$ angegeben.

Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ ist bei einer gleichförmigen Kreisbewegung der Quotient aus dem zurückgelegten Drehwinkel $\varphi$ [in Rad] und der dafür benötigten Zeit $t$ :

Winkelgeschwindigkeit – Formel

$\boxed{\omega = \dfrac{\varphi}{t}}$

Die Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist Radiant pro Sekunde [rad/s].

Es ist nicht immer einfach den Winkel $\varphi$ genau anzugeben. Eine andere Möglichkeit ist es, die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ über die volle Kreisumdrehung zu bestimmen. Eine volle Kreisumdrehung in Bogenmaß beträgt $\varphi = 2 \pi$ . Die Dauer für eine volle Kreisumdrehung ist die Umlaufzeit $t = T$ . Wir erhalten also für die Winkelgeschwindigkeit:

Winkelgeschwindigkeit – Formel 2

$\boxed{\omega = \dfrac{2 \pi}{T}}$

Wir können die Winkelgeschwindigkeit auch in Abhängigkeit von der Frequenz f darstellen:

Winkelgeschwindigkeit – Formel 3

$\boxed{\omega = 2 \pi \cdot f}$

Denn es gilt: $f = \dfrac{1}{T}$

Gleichförmige Kreisbewegung – Bahngeschwindigkeit

Die Bahngeschwindigkeit bei gleichförmiger Kreisbewegung ist nichts anderes als die Geschwindigkeit eines Punktes auf einer Kreisbahn, anstelle einer Strecke. Wir betrachten einen Körper, welcher sich gleichförmig auf einer Kreisbahn bewegt. Der Weg $s$ , der vom Körper auf dem Kreis zurückgelegt wird, ist gleich der Bogenlänge $b$ .

$\boxed{b = \varphi \; [rad] \cdot r}$ Bogenlänge

Wir gehen wieder von einer vollen Kreisbewegung aus und geben diese in Bogenmaß an, demnach gilt für den Winkel:

$\varphi = 2 \pi \; [rad]$

Wir setzen den obigen Winkel als nächstes in die Gleichung für die Bogenlänge ein und erhalten:

$b = 2 \pi \; [rad] \cdot r$

Der Weg $s$ in Abhängigkeit von der Zeit wird allgemein wie folgt berechnet:

$s = v \cdot t$

Wir betrachten nun aber eine volle Kreisumdrehung, weshalb für $t$ die Umlaufzeit $t = T$ eingesetzt werden muss:

$s = v \cdot T$

Da Weg $s$ und Bogenlänge $b$ auf einer Kreisbahn gleich sind, können wir die beiden Gleichungen gleichsetzen:

$2 \pi \; [rad] \cdot r = v \cdot T$

Auflösen nach der Geschwindigkeit $v$ :

$v = \dfrac{2 \pi \; [rad] \cdot r}{T}$

Und da:

$\omega = \dfrac{2 \pi}{T}$

Ergibt sich:

$v = \omega \cdot r$

Die Einheit der Bahngeschwindigkeit ist [m/s]. Die Bahngeschwindigkeit und die Umlaufgeschwindigkeit sind identisch. Zur Berechnung kannst du also auch die obigen Gleichungen für die Umlaufgeschwindigkeit verwenden (je nach gegebener Größe).

Je größer der Abstand eines Punktes von der Drehachse ist, desto größer ist seine Bahngeschwindigkeit $v$ , konstante Winkelgeschwindigkeit vorausgesetzt.

Gleichförmige Kreisbewegung: Alle Gleichungen auf einen Blick

$\varphi^\circ = \dfrac{180^\circ}{\pi} \cdot \varphi \; [rad]$	Radiant in Grad
$\varphi \; [rad] = \dfrac{\pi}{180^\circ} \cdot \varphi^\circ$	Grad in Radiant
$n = \dfrac{u}{t}$	Drehzahl n
$n = \dfrac{v}{ d \cdot \pi}$	Drehzahl n
$T = \dfrac{1}{n}$	Umlaufzeit T
$f = \dfrac{1}{T}$	Frequenz f
$\omega = \dfrac{2 \pi}{T}$	Winkelgeschwindigkeit ω
$\omega = 2 \pi \cdot f$	Winkelgeschwindigkeit ω
1 $v = \dfrac{2 \pi [rad] \cdot r}{T}$	Bahngeschwindigkeit/Umlaufgeschwindigkeit v
$v = \omega \cdot r$	Bahngeschwindigkeit/Umlaufgeschwindigkeit v
$v = U \cdot n$	Bahngeschwindigkeit/Umlaufgeschwindigkeit v
$v = d \cdot \pi \cdot n$	Bahngeschwindigkeit/Umlaufgeschwindigkeit v

Gleichförmige Kreisbewegung – Beispiel

Wir betrachten als nächstes ein Beispiel für die gleichförmige Kreisbewegung.

Beispiel: Gleichförmige Kreisbewegung

Aufgabenstellung

Gegeben sei ein Auto, welches mit einer Geschwindigkeit von 100 km/h über eine Landstraße fährt. Die Räder des Autos haben einen Durchmesser von 45 cm.

Berechne die Winkelgeschwindigkeit eines Rades sowie die Frequenz und die Drehzahl pro Minute!

Lösung

In der Aufgabenstellung hast du die Geschwindigkeit von 100 km/h gegeben. Diese müssen wir noch in die SI-Einheit m/s umrechnen:

$100 km/h : 3,6 = 27,78 m/s$

Es ist außerdem der Durchmesser der Reifen mit $d = 45 cm$ gegeben. Auch hier rechnen wir in die SI-Einheit [m] um:

$45 cm : 100 = 0,45 m$

Winkelgeschwindigkeit

Wir sollen die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ bestimmen. Hierfür benötigen wir die folgende Gleichung:

$v = \omega \cdot r$

Es kann nur diese Gleichung verwendet werden, denn es sind lediglich der Durchmesser (und damit Radius $r$ ) und die Geschwindigkeit $v$ gegeben. Wir müssen die Gleichung aber noch nach der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ auflösen:

$\omega = \dfrac{v}{r}$

Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers:

$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{0,45m}{2} = 0,225 m$

Als nächstes setzen wir die gegebenen Werte in die Gleichung der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ ein:

$\omega = \dfrac{27,78 m/s}{0,225 m} = 123,47 \dfrac{1}{s}$

In einer Sekunde wird ein Winkel von 123,47 rad überstrichen. In Gradmaß ausgedrückt bedeutet das:

$\varphi^\circ = 123,4 \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} = 7074^\circ$

Es wird also pro Sekunde ein Winkel von 7074° überstrichen.

Das bedeutet für eine volle Kreisumdrehung mit 360°:

$\dfrac{7074^\circ}{360^\circ} = 19,65$

Die Drehung erfolgt pro Sekunde 19,65 mal. Dies entspricht er Drehzahl $n$ .

Drehzahl

Als nächstes können wir für die Berechnung der Drehzahl $n$ die folgende Gleichung verwenden:

$n = \dfrac{v}{ d \cdot \pi}$

Danach setzen wir die Werte ein:

$n = \dfrac{27,78 m/s}{0,45 m \cdot \pi} = 19,65 \dfrac{1}{s}$

Pro Sekunde dreht sich der Reifen 19,65 um sich selbst.

In Minuten umgerechnet ergibt sich demnach:

$19,65 \dfrac{1}{s} = 19,65 \dfrac{1}{min} \cdot 60 = 1.179 \dfrac{1}{min}$ .

Pro Minute dreht sich der Reifen also 1.179 mal um sich selbst.

Frequenz

Als letztes fehlt uns noch die Frequenz. Diese berechnen wir aus der folgenden Gleichung:

$\omega = 2 \pi \cdot f$

Wir haben die Winkelgeschwindigkeit gegeben, somit können wir aus der obigen Gleichung die Frequenz bestimmen:

$f = \dfrac{\omega}{2 \pi}$

Danach setzen wir die bekannten Werte ein:

$f = \dfrac{123,47 \dfrac{1}{s} }{(2 \pi)} = 19,65 Hz$

Die Frequenz bei einem Kreis ist gleich der Drehzahl!

Jetzt hast du einen ausreichenden Überblick zu dem Thema Gleichförmige Bewegung.

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