(Ph3-17) Senkrechter Wurf nach unten

In dieser Lerneinheit behandeln wir das Thema: Senkrechter Wurf nach unten. Diese Thema taucht immer wieder in der Physik auf und ist für eine Prüfung relevant.

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei unterschiedliche Beispiele zu dem Thema.

Senkrechter Wurf nach unten – Grundlagen

Senkrechter Wurf nach unten - Brunnen — Senkrechter Wurf nach unten – Brunnen

Du hast sicherlich schon mal einen Stein oder eine Münze in einen Brunnen geworfen. Dieser Vorgang ist ein senkrechter Wurf nach unten. Wenn du diesen Kurstext durchgearbeitet hast, dann kannst du

die Dauer berechnen, die der Stein benötigt, um am Brunnenboden anzukommen,
die Geschwindigkeit, mit welcher der Stein aufkommt und
den Weg, welchen der Stein zurücklegt, also die Tiefe des Brunnens.

Merk's dir!

Bei einem senkrechten Wurf nach unten gelten die Gleichungen wie beim freien Fall, nur dass zusätzlich eine Abwurfgeschwindigkeit $v_0$ berücksichtigt werden muss

Die folgenden Gleichungen sind relevant, wenn ein senkrechter Wurf nach unten vorliegt:

$v = v_0 + g \cdot t$	Geschwindigkeit
$s = v_0 \cdot t + \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$	zurückgelegter Weg
$h = H - s$	Höhe
$v = \sqrt{v_0^2 + 2 \cdot g \cdot s}$	Geschwindigkeit
$t_F = \dfrac{v - v_0}{g}$	Fallzeit
$H = s_{max} = v_0 \cdot t_F + \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t_F^2$	Gesamthöhe / maximal zurückgelegter Weg

Diagramme: Senkrechter Wurf nach unten

Schauen wir uns mal an wie die Diagramme ausschauen, wenn ein senkrechter Wurf nach unten gegeben ist:

Senkrechter Wurf nach unten: Beschleunigungs-Zeit-Diagramm — a-t-Diagramm

Im Beschleunigungs-Zeit-Diagramm (a-t-Diagramm) ergibt sich eine konstante Fallbeschleunigung von 9,81 m/s².

Senkrechter Wurf nach unten: Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm — v-t-Diagramm

Im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm ergibt sich eine lineare Geschwindigkeitsfunktion. Die Geschwindigkeit nimmt also linear mit der Zeit zu. Die Steigung ist konstant, d.h. pro Zeiteinheit erfährt der fallende Körper immer die gleiche Geschwindigkeitssteigerung. Der Unterschied zum freien Fall ist, dass die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ noch berücksichtigt werden muss. Die Funktion startet also nicht im Koordinatenursprung.

Senkrechter Wurf nach unten: Höhen-Zeit-Diagramm — senkrechter Wurf nach unten – h-t-Diagramm

Wir betrachten beim senkrechten Wurf nach unten die Höhe $h$ auf der y-Achse. Der Körper wird also aus einer Gesamthöhe $H$ abgeworfen. Die Höhe $h$ ist dabei die Höhe, in welcher sich der Körper zu einer bestimmten Zeit befindet.

In den obigen Diagrammen wird eine Abwurfgeschwindigkeit von $v_0 = 10 m/s$ angenommen und die Dauer des Falls von 5 Sekunden. Die Höhe aus welcher der Körper fällt beträgt demnach:

$\boxed{s_{max} = H = v_0 \cdot t_F+ \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t_F^2}$

Einsetzen der Werte:

$H = 10 \dfrac{m}{s} \cdot 5s + \dfrac{1}{2} \cdot 9,81 \dfrac{m}{s^2} \cdot (5s)^2 = 172,625m$

Beispiele zum senkrechten Wurf nach unten

Als nächstes betrachten wir zwei Beispiele zum Thema: Senkrechter Wurf nach unten. Versuche die Aufgaben zunächst selbstständig zu lösen, bevor du dir die Lösungen anschaust.

Beispiel 1 : Senkrechter Wurf nach unten – Aufprallgeschwindigkeit und Tiefe berechnen

Aufgabenstellung

Ein Stein wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von $v_0 = 7 m/s$ senkrecht nach unten in einen Schacht geworfen. Nach $t = 2s$ wird ein Aufprall festgestellt. Schall und Luftwiderstand sollen vernachlässigt werden.

Berechne die Aufprallgeschwindigkeit! Wie tief ist der Schacht?

Lösung

Gegeben ist die Fallbeschleunigung von $g = 9,81 \dfrac{m}{s^2}$ , die Fallzeit $t_F = 2s$ und die Abwurfgeschwindigkeit $v _0 = 7 \dfrac{m}{s}$ .

Berechnet werden sollen die Aufprallgeschwindigkeit $v_{max}$ und die Tiefe des Schachts $H$ . Die Tiefe können wir über den insgesamt zurückgelegten Weg $s_{max}$ berechnen. Dazu verwenden wir die folgenden Gleichungen:

$\boxed{v = v_0 + g \cdot t}$ Geschwindigkeit

$\boxed{s_{max} = v_0 \cdot t_F+ \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t_F^2}$ insgesamt zurückgelegter Weg

Wir starten mit der Aufprallgeschwindigkeit (=maximale Geschwindigkeit). Diese können wir aus der 1. Gleichung berechnen, indem wir die Fallzeit $t_F = 2s$ für $t$ einsetzen:

$v_{max} = 7 \dfrac{m}{s} + 9,81 \dfrac{m}{s^2} \cdot 2s = 26,62 \dfrac{m}{s}$

Die Tiefe des Schachtes können wir über die gesamte zurückgelegte Wegstrecke bestimmen. Welchen Weg legt der Stein insgesamt zurück? Um das herauszufinden, setzen wir die Fallzeit $t_F = 2s$ in die zweite Gleichung ein:

$s_{max} = 7 \dfrac{m}{s} \cdot 2s + \dfrac{1}{2} \cdot 9,81 \dfrac{m}{s^2} \cdot (2s)^2 = 33,62 m$

Der Stein legt in der Fallzeit von 2 Sekunden eine Strecke von 33,62 m zurück. Demnach weist der Schacht eine Tiefe von 33,62 m auf.

Merk's dir!

Wir vernachlässigen bei der Berechnung den Schall. Prallt der Stein auf dem Brunnenboden auf, hören wir den Aufprall zeitversetzt, da der Schall auch einen Weg zurück legen muss. Die Schallgeschwindigkeit in trockener Luft von 20 °C beträgt 343,2 m/s (1236 km/h).

Beispiel 2: Senkrechter Wurf nach unten – Aufprallgeschwindigkeit berechnen

Aufgabenstellung

Dein bester Kumpel steht bei dir unten im Garten und ruft dich auf den Balkon. Er hat seinen Akkubohrer bei dir liegen gelassen. Da er keine Lust hat wieder bis zum 3. Stock zu dir hochzulaufen, bittet er dich, den Akkubohrer herunterzuwerfen.

Wie groß wird die Geschwindigkeit sein, mit welcher dein Freund den Akkubohrerkoffer in einer Höhe von 2m auffängt, wenn du den Bohrer mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 5 m/s aus einer Höhe von 10,5 m abwirfst?

Lösung

Gegeben:

Anfangsgeschwindigkeit: $v_0 = 5 m/s$

Abwurfhöhe: $H = 10,5 m$

Auffanghöhe: $h = 2m$

Zurückgelegter Weg: $s = 10,5m - 2m = 8,5 m$

Gesucht:

$v$ Aufprallgeschwindigkeit

Wir benötigen die Gleichung für die Geschwindigkeit:

$v = \sqrt{v_0^2 + 2 \cdot g \cdot s}$

Einsetzen der gegebenen Werte:

$v = \sqrt{(5 \dfrac{m}{s})^2 + 2 \cdot 9,81 \dfrac{m}{s^2} \cdot 8,5m} = 13,85 \dfrac{m}{s}$

Der Akkubohrerkoffer erreicht deinen Freund mit einer Geschwindigkeit von 13,85 Metern pro Sekunde. Dies entspricht $13,85 \cdot 3,6 = 49,86 km/h$ .

Autsch! Vielleicht beim nächsten Mal doch lieber nach unten tragen?

wie gehts weiter?

Nachdem wir dich jetzt mit dem Thema senkrechter Wurf nach unten vertraut gemacht haben und du jetzt alle relevanten Berechnungen zu diesem Thema kennst, wollen wir dir in der folgenden Lerneinheit die zusammengesetzte Bewegung erklären.

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