(Ph3-10) Beschleunigungs-Zeit-Diagramm bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung

Inhaltsverzeichnis

In dieser Lerneinheit behandeln wir das Beschleunigungs-Zeit-Diagramm bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Das Beschleunigungs-Zeit-Diagramm kommt in vielen Anwendungen zum Tragen. 

 

 


Für ein optimales Verständnis hilft dir insgesamt 2 ausführliche Übungsbeispiele zu dem Thema.


 

 


Beschleunigungs-Zeit-Diagramm: Grundlagen


Bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist eine konstante Beschleunigung (a = const) gegeben, die dazu führt, dass sich die Geschwindigkeit linear erhöht. Die Wegfunktion ist bei konstanter Beschleunigung parabelförmig.

Wir starten zunächst mit dem Beschleunigungs-Zeit-Diagramm. Auf der y-Achse wird die Beschleunigung a in [m/s²], auf der x-Achse die Zeit t in [s] abgetragen. Da bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung die Beschleunigung a konstant ist, ergibt sich eine waagerechte Gerade:

 

Beschleunigungs-Zeit-Diagramm
Beschleunigungs-Zeit-Diagramm

 

 

Im obigen Diagramm sind zwei Beschleunigungs-Zeit-Funktionen a_1 = 2 \dfrac{m}{s^2} und a_2 = 4 \dfrac{m}{s^2} abgebildet. Die Beschleunigungen sind konstant, d.h. sie ändern sich mit der Zeit nicht.  Demnach weisen die beiden Gerade keine Steigung auf. Je höher die Gerade liegt, desto größer ist die konstante Beschleunigung.

Die Beschleunigung kann aus der Anfangsgeschwindigkeit v_0 und der Endgeschwindigkeit v sowie der Dauer t der beschleunigten Bewegung berechnet werden:

 

 \boxed{a = \dfrac{v - v_0}{t}}          Beschleunigung

 

Es ist aber ebenfalls möglich die Geschwindigkeit aus dem a-t-Diagramm zu berechnen. Dies ist gerade für Aufgabenstellungen sinnvoll, in denen nur das a-t-Diagramm gegeben ist und du die Geschwindigkeit berechnen sollst, den der Körper (z.B. ein Auto) zu einer bestimmten Zeit während der Beschleunigung aufweist. Die Geschwindigkeit berechnest du mittels der folgenden Formeln:

 

 \boxed{v = a \cdot t + v_0}          Geschwindigkeit

 

Dir ist es ebenfalls möglich den Weg aus dem a-t-Diagramm zu berechnen, welchen das Fahrzeug während der Beschleunigung zurücklegt:

 

 \boxed{s = v_0 \cdot t + \dfrac{a}{2} \cdot t^2}          Weg

 

Ist also das a-t-Diagramm gegeben, so kannst du Geschwindigkeit und Weg in Abhängigkeit von der Zeit berechnen.

 


Beschleunigungs-Zeit-Diagramm: Fläche unterhalb der Funktion


Aus dem a-t-Diagramm kann die Geschwindigkeit auch berechnet werden, indem wir die Fläche unterhalb der Beschleunigungs-Zeit-Funktion betrachten. Zur Veranschaulichung betrachten wir im Weiteren die Beschleunigungs-Zeit-Funktion a_1:

 

Beschleunigungs-Zeit-Diagramm: Geschwindigkeit berechnen
Geschwindigkeit im a-t-Diagramm: Fläche unterhalb der Funktion

 

Die schraffierte Fläche unterhalb der Beschleunigungs-Zeit-Funktion zeigt die Geschwindigkeit an.

Zur Berechnung der aktuellen Geschwindigkeit, wird nun die Fläche unterhalb der Funktion berechnet. Es handelt sich um eine rechteckige Fläche, welche mit Höhe mal Breite berechnet werden kann.

 

Geschwindigkeit nach 1 Sekunde:

 

v_1 = 2 \dfrac{m}{s^2} \cdot 1s = 2 \dfrac{m}{s}.

 

Geschwindigkeit nach 2 Sekunden:

 

v_1 = 2 \dfrac{m}{s^2} \cdot 2s = 4 \dfrac{m}{s}

 

usw.

 

Je weiter die Zeit verstreicht, desto größer wird die zu berechnende Fläche und desto größer ist auch die Geschwindigkeit.

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Zur Ermittlung der Geschwindigkeit nach mehreren Sekunden, musst du die schraffierte Fläche unterhalb der Funktion betrachten. Willst du zum Beispiel die Geschwindigkeit nach 4 Sekunden berechnen, dann musst du die gesamte schraffierte Fläche unterhalb der Funktion von der 0. bis zur 4. Sekunde betrachten.

 


Negative Beschleunigung


Ist eine negative konstante Beschleunigung gegeben, so handelt es sich um eine Verzögerung, die dazu führt, dass die Geschwindigkeit sich linear verringert. Im a-t-Diagramm ist die Bechleunigung dann auf der negativen y-Achse gegeben:

 

Beschleunigungs-Zeit-Diagramm
Beschleunigungs-Zeit-Diagramm

 

 

Eine negative Beschleunigung bedeutet eine Verzögerung und damit eine Verringerung der Geschwindigkeit.

 


Beispiel: Beschleunigungs-Zeit-Diagramm


Schau dir im folgenden die Beschleunigungs-Zeit-Digramme an und lösen die Aufgaben zunächst selbstständig, bevor du dir die Lösungen anschaust.

 


Beispiel 1 : Geschwindigkeit berechnen


Aufgabenstellung
Beschleunigungs-Zeit-Diagramm
Beschleunigungs-Zeit-Diagramm

 

Gegeben sei das obige Beschleunigungs-Zeit-Diagramm eines Fahrzeugs mit der konstanten Beschleunigung von 2,3 m/s². Die Beschleunigung dauert insgesamt 5 Sekunden.

Wie groß ist die Geschwindigkeit des Fahrzeugs

a) nach 2 Sekunden

b) am Ende der Beschleunigung

wenn das Fahrzeug eine Anfangsgeschwindigkeit von 50 km/h aufweist?

 

Lösung

Wir suchen die Geschwindigkeit des Fahrzeugs nach 2s und am Ende der Beschleunigung (nach 5 Sekunden). Das Fahrzeug fährt vor der Beschleunigung mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h. Danach wird das Fahrzeug mit 2,3 m/s² beschleunigt. Die Geschwindigkeit berechnen wir mittels der folgenden Formel:

 

v = a \cdot t + v_0

 

a ist die Beschleunigung, t die Zeit und v_0 die Anfangsgeschwindigkeit.

 

Lösung a)

Zunächst wollen wir wissen, welche Geschwindigkeit das Fahrzeug nach 2 Sekunden aufweist. Wir müssen aber im 1. Schritt die Einheiten umrechnen.

 

1.Schritt: Einheiten umrechnen

 

50 km /h in m/s:

50 : 3,6 m/s = 13,89 m/s

 

2. Schritt: Bekannte Werte einsetzen:

 

v = 2,3 \dfrac{m}{s^2} \cdot 2s + 13,89 \dfrac{m}{s} = 18,49 \dfrac{m}{s}

 

3. Schritt: Einheit wieder in km/h angeben

 

18,49 m/s in km/h:

18,49 • 3,6 km/h = 66,56 km/h

 

Das Fahrzeug wird in 2 Sekunden von 50 km/h auf 66,56 km/h beschleunigt.

 

Lösung b)

Im Aufgabenteil b wollen wir die Geschwindigkeit am Ende der Beschleunigung bestimmen. Die Beschleunigung dauert insgesamt 5 Sekunden, damit erhalten wir:

 

v = 2,3 \dfrac{m}{s^2} \cdot 5s + 13,89 \dfrac{m}{s} = 25,39 \dfrac{m}{s}

 

Wir geben die Geschwindigkeit wieder im km/h an:

 

25,39 m/s in km/h:

25,39 • 3,6 km/h = 91,4 km/h

 

Das Fahrzeug weist am Ende der Beschleunigung eine Geschwindigkeit von 91,4 km/h auf.

 


Beispiel 2 : Weg berechnen


Aufgabenstellung
Beschleunigungs-Zeit-Diagramm
Beschleunigungs-Zeit-Diagramm

 

Gegeben sei das obige Beschleunigungs-Zeit-Diagramm eines Fahrzeugs mit der konstanter Verzögerung von 1,2 m/s². Die Verzögerung dauert insgesamt 4 Sekunden.

Welche Strecke legt das Fahrzeug

a) nach 2 Sekunden

b) am Ende der Beschleunigung

zurück, wenn das Fahrzeug eine Anfangsgeschwindigkeit von 30 km/h aufweist?

 

Lösung

Wir suchen den Weg, welchen das Fahrzeug nach 2 Sekunden und am Ende der Verzögerung (nach 4 Sekunden) zurücklegt. Das Fahrzeug fährt vor der Verzögerung (Bremsvorgang) mit einer Geschwindigkeit von 30 km/h. Danach wird das Fahrzeug mit 1,2 m/s² verzögert. Den zurückgelegten Weg berechnen wir mittels der folgenden Formel:

 

s = v_0 \cdot t + \dfrac{a}{2} \cdot t^2

 

a ist die Beschleunigung, t die Zeit und v_0 die Anfangsgeschwindigkeit.

 

Lösung a)

Zunächst wollen wir wissen, welchen Weg das Fahrzeug nach 2 Sekunden zurückgelegt hat. Wir müssen aber im 1. Schritt die Einheiten umrechnen.

 

1.Schritt: Einheiten umrechnen

 

30 km /h in m/s:

30 : 3,6 m/s = 8,33 m/s

 

2. Schritt: Bekannte Werte einsetzen:

 

s = 8,33 \dfrac{m}{s} \cdot 2s + \dfrac{-1,2 \dfrac{m}{s^2}}{2} \cdot (2 s)^2 = 14,26 m

 

Das Fahrzeug legt während des Bremsvorgangs nach 2 Sekunden 14,26 Meter zurück.

 

Lösung b)

Im Aufgabenteil b wollen wir den zurückgelegten Weg am Ende der Verzögerung bestimmen. Die Verzögerung dauert insgesamt 4 Sekunden, damit erhalten wir:

 

s = 8,33 \dfrac{m}{s} \cdot 4s + \dfrac{-1,2 \dfrac{m}{s^2}}{2} \cdot (4 s)^2 = 23,72 m

 

Das Fahrzeug hat am Ende der Verzögerung einen Weg von 23,72 m zurückgelegt bzw. der Bremsweg beträgt 23,72 m.

 

Wir könnten uns nun noch die Frage stellen, welche Geschwindigkeit das Fahrzeug am Ende des Bremsvorgangs aufweist? Dazu benötigen wir die folgende Gleichung:

 

v = a \cdot t + v_0

 

Einsetzen der bekannten Werte:

 

v = -1,2 \dfrac{m}{s^2} \cdot 4s + 8,33 \frac{m}{s^2} = 3,53 \frac{m}{s}

 

Umgerechnet in km/h ergibt sich dann:

 

3,53  • 3,6 = 12,71 km/h

 

Das Fahrzeug weist am Ende das Bremsvorgangs eine Geschwindigkeit von 12,71 km/h auf. Das Fahrzeug wird also von 30 km/h auf 12,71 km/h abgebremst (verzögert).

 

 

wie gehts weiter
Wie geht's weiter?

Nachdem du jetzt das Beschleunigungs-Zeit-Diagramm kennengelernt hast, wollen wir uns in der nächsten Lerneinheit die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion im v-t-Diagramm für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung anschauen.

 

Trainingsbereich

Übrigens….. Als “Mitglied unserer Technikermathe-Community” findest du unter jedem Kurstext zusätzlich einen Trainingsbereich mit vielen interaktiven Übungsaufgaben zur Wissensvertiefung, sowie eine umfangreiche Formelsammlung und Probeklausur am Ende eines jeden Kurses.

 

Was ist Technikermathe.de?

Unser Dozent Jan erklärt es dir in nur 2 Minuten!

Oder direkt den >> kostenlosen Probekurs << durchstöbern? – Hier findest du Auszüge aus jedem unserer Kurse!

Mehr für dich!

Hat dir dieses Thema Beschleunigungs-Zeit-Diagramm gefallen?Ja? – Dann schaue dir auch gleich die anderen Themen zu den Kursen
ET6 (Wechselstromtechnik 1) und
TM1 (Technische Mechanik – Statik) an. 

Onlinekurs - Technische MechanikOnlinekurs - Wechselstromtechnik 1

Perfekte Prüfungsvorbereitung für nur 19,90 EUR/Jahr pro Onlinekurs 
 ++ Günstiger geht’s nicht!! ++

 Oder direkt >> Mitglied  << werden und >> Zugriff auf alle 22 Kurse << (inkl. >> Webinare << + Unterlagen) sichern ab 8,90 EUR/Monat 
++ Besser geht’s nicht!! ++

 

Kennst du eigentlich schon unseren YouTube-Channel? – Nein? – Dann schau super gerne vorbei:

Technikermathe auf Youtube 

Immer auf dem neuesten Stand sein? – Ja? – Dann besuche uns doch auch auf

Technikermathe auf Instagram



Dein Technikermathe.de-Team

Uns gibts auch auf YouTube!

Undzwar mit aktuell über 400 Lernvideos und allen Aufzeichnungen von unseren Webinaren!

Lass uns ein Abo da!

Wenn dir unsere Videos gefallen! Damit hilfst du uns echt mega und es kostet dich keinen Cent!
Zum YouTube Kanal

Schon gewusst?

Aktuell bieten wir über 2500 Lerntexte in über 20 Kursen zu den verschiedensten Themen an! Als Technikermathe.de Mitglied hast du vollen Zugriff auf alle Lerninhalte!
0
    0
    Dein Warenkorb
    Dein Einkaufswagen ist leer.Zurück zum Shop