PH2 – Übersicht Formeln: Zentrales Kräftesystem (Zwei Kräfte)

Von einem zentralen Kräftesystem ist die Rede, wenn sich alle auf einen Körper wirkenden Kräfte bzw. deren Wirkungslinie in einem einzigen Punkt schneiden.

Wir befassen uns erneut mit dem Thema Zentrales Kräftesystem. Hier findest du nochmal alle Formeln, die du für die Berechnung im zentralen Kräftesystem mit zwei Kräften benötigst.

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei unterschiedliche Beispiele zu dem Thema.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs PH2-Einführung in die Statik.

Video: Zentrales vs. allgemeines Kräftesystem

Im folgenden Video zeige ich dir den Unterschied zwischen einem zentralen und einem allgemeinen Kräftesystem.

Ein Ziel dieser Lektion ist es, dass du zwei Kräfte, die sich in einem Punkt schneiden, zu einer einzigen Kraft zusammenfassen kannst, der sogenannten Resultierenden F_R. Diese Resultierende ersetzt dabei die beiden Kräfte. Du musst hier unterscheiden, ob die beiden Kräfte dieselbe Wirkungslinie aufweisen oder eine unterschiedliche Wirkungslinie besitzen.

Zentrales Kräftesystem – Zwei Kräfte mit derselben Wirkungslinie

Zentrales Kräftesystem, Resultierende, Addition, Subtraktion, gleiche Wirkungslinie, Wirkungslinie, Formeln — Subtraktion und Addition zweier Kräfte mit gleicher Wirkungslinie

Zwei Kräfte, die auf einer Wirkungslinie liegen, können zu einer Kraft zusammengefasst werden, indem diese miteinander addiert werden (wenn beide in dieselbe Richtung zeigen) oder miteinander subtrahiert werden (wenn beide in entgegengesetzte Richtung zeigen). Die Resultierende zeigt dann in Richtung der größeren Kraft.

Zentrales Kräftesystem – Zwei Kräfte mit unterschiedlichen Wirkungslinien

Wir unterscheiden hierbei zwei Kräfte, die einen eingeschlossenen Winkel α größer oder kleiner als 90° aufweisen und Kräfte mit einem eingeschlossenen Winkel von genau 90°.

Winkel größer oder kleiner 90°

Zentrales Kräftesystem, Resultierende, Kosinussatz, Sinussatz, Formeln — Zentrales Kräftesystem – Resultierende mittels Kosinussatz, Sinussatz

Der Betrag der Resultierenden berechnet sich bei zwei Kräften mit unterschiedlichen Wirkungslinien (aber gemeinsamen Schnittpunkt) mittels Kosinussatz:

$F_R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 - 2 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \cos(\beta)}$

Der Winkel $\beta$ wird aus dem gegebenen Winkel $\alpha$ wie folgt berechnet:

$360^{\circ} - 2 \cdot \alpha = 2 \cdot \beta$ oder

$180{\circ} - \alpha = \beta$

Die Richtung der Resultierenden wird mit dem Winkel $\gamma$ ausgedrückt. Der Winkel $gamma$ von der berechneten Resultierenden $F_R$ zur Kraft $F_2$ berechnet sich mittels Sinussatz zu:

$\gamma = sin^{-1}(\frac{\sin(\beta)}{F_R} \cdot F_1)$

Rechter Winkel (genau 90°)

Zentrales Kräftesystem, Resultierende, Satz des Pythagoras, rechter Winkel, rechtwinklige Kräfte, Formeln — Zentrales Kräftesystem – Resultierende, Satz des Pythagoras

Liegen die zwei Kräfte in einem rechten Winkel (=90°-Winkel) zueinander, so kann zur Bestimmung der Resultierenden vereinfacht der Satz des Pythagoras verwendet werden:

$F_R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$

Der Winkel $\gamma$ von der berechneten Resultierenden $F_R$ zur Kraft $F_2$ berechnet sich dann mittels Tangens zu:

$\gamma = \tan^{-1} (\frac{F_1}{F_2})$

Zentrales Kräftesystem – Zerlegung einer Kraft

Zentrales Kräftesystem, Formeln, Kräftezerlegung, Zerlegung einer Kraft — Zentrales Kräftesystem – Zerlegung einer Kraft

Ein weiteres Ziel dieser Lektion ist die Zerlegung einer Kraft in zwei Komponenten. Dazu musst du für alle Kräfte, die weder in x-Richtung noch in y-Richtung zeigen, die Kräftezerlegung durchführen.

1. Schritt: Die gegebene Kraft wird mit dem Anfangspunkt in den Koordinatenursprung gelegt. Ist der Winkel von der Kraft zur x-Achse nicht gegeben, so berechnet ihr den Winkel $alpha$ von der gegebenen Kraft F zur x-Achse.

2. Schritt: Komponenten berechnen:

$F_x = F \cdot \cos(\alpha)$

$F_y = F \cdot \sin(\alpha)$

3. Schritt: Gegebene Kraft am Körper durch die berechneten Komponenten ersetzen.

Was kommt als Nächstes?

Schreibe dir alle Gleichungen auf und berechne die Prüfungsaufgaben auf der folgenden Seite. Die Lösungen inklusive ausführlichen Lösungswegen findest du auf der darauffolgenden Seite.

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