PH2 – Schiefe Ebene mit zusätzlicher Kraft [Erklärung, Beispiele]

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Kräfte an der schiefen Ebene sind die Hangabtriebskraft, die Normalkraft und die Reibungskraft. Diese Kräfte treten infolge der Gewichtskraft der Kiste sowie der Reibung zwischen Kiste und schiefer Ebene auf.

Es kann nun auch eine zusätzliche äußere Kraft an die Kiste angebracht werden, die entweder die Beschleunigung der Kiste erhöht (Kraft in Richtung der Hangabtriebskraft) oder aber der Bewegung entgegenwirkt (Kraft entgegengesetzt zur Hangabtriebskraft).

In dieser Lerneinheit behandeln wir das Thema Schiefe Ebene mit zusätzlicher Kraft.

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei ausführliche Videoclips und zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs PH2-Einführung in die Statik.

 

Schräge Sttraße

Wir behandeln in diesem Text wieder einen Körper auf der schiefen Ebene. Dieses mal greift aber eine zusätzlich Kraft an. Eine solche Kraft könnte die Kiste zum Beispiel die Ebene hinab oder die Ebene hinauf ziehen.

Betrachten wir hierzu ein Beispiel.

Beispiel!

 

 

Schiefe Ebene mit Kraft
Schiefe Ebene mit zusätzlicher Kraft

 

In dem obigen Beispiel greift eine zusätzliche Kraft F = 45 N an die Kiste an. Der Haftungskoeffizient betrage μ0 = 0,5. Der Winkel zwischen der Waagerechten und der schiefen Ebene beträgt α= 18°. Die Masse der Kiste betrage m = 50 kg.

Rutscht die Kiste ohne Kraft F?

 

Schiefe Ebene ohne zusätzliche Kraft

 

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Schiefe Ebene ohne zusätzliche Kraft: Hangabtriebskraft, Normalkraft, Reibungskraft

 

Infolge der Gewichtskraft der Kiste tritt die Hangabtriebskraft F_H sowie die Normalkraft F_N auf. Die Reibungskraft F_R entsteht infolge der Reibung zwischen der Kiste und der schiefen Ebene und wirkt immer entgegengesetzt zur möglichen Bewegung.

Ob die Kiste rutscht oder nicht können wir ohne zusätzlichen Kraftangriff über den Haftungswinkel \alpha_0 bestimmen. Das ist der Winkel, bei welchem die Kiste gerade noch auf der schiefen Ebene haftet. Ist der Haftungswinkel gegeben, so ist die Hangabtriebskraft F_H gleich der Reibungskraft F_R.

Wir berechnen den Haftungswinkel \alpha_0 aus der folgenden Gleichung:

\tan(\alpha_0) = \mu_0

\alpha_0 = \tan^{-1} (\mu_0)

\alpha_0=\tan^{-1} (0,5) = 26,57^\circ

 

Ohne die zusätzliche Kraft F haftet die Kiste bis zu einem Neigungswinkel von 26,57° auf der schiefen Ebene. Ist der Neigungswinkel größer als 26,57°, so beginnt die Kiste zu rutschen.  In diesem Beispiel haftet die Kiste, weil der gegebene Winkel von 18° kleiner als der Haftungswinkel \alpha_0 ist.

 

Schiefe Ebene mit zusätzlicher Kraft

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Schiefe Ebene mit zusätzlicher Kraft F

 

Die Kraft F zieht die Kiste nach unten. Demnach ist hier, neben der Hangabtriebskraft F_H, eine zusätzliche Kraft gegeben, welche die Kiste die schiefe Ebene nach unten befördern möchte. Wir wollen nun herausfinden, ob sich die Kiste auch unter Berücksichtigung von der Kraft F im Gleichgewicht befindet, also nicht rutscht.

Wir können die Berechnung hier nicht über den Haftungswinkel \alpha_0 durchführen, sondern müssen uns die Kräfte parallel zur schiefen Ebene anschauen. Dazu bilden wir die Summe der Kräfte, die parallel zur schiefen Ebene liegen. Wir wählen die Kräfte nach links unten (in Richtung der Bewegung) positiv und die Kräfte nach rechts oben negativ:

I. F_H + F - F_R = 0

 

Alle positiven Kräfte (F_H und F) führen dazu, dass sich die Kiste nach unten bewegt. Alle negativen Kräfte (F_R) führen dazu, dass die Kiste dem rutschen entgegenwirkt. Da keine Bewegung stattfinden soll, muss die Summe der Kräfte gleich Null ergeben.

Wir berechnen nun die Hangabtriebskraft FH und die Reibungskraft FR.

F_H = m \cdot g \cdot \sin(\alpha) = 50 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot \sin(18^\circ) = 151,57 N

F_R = \mu_0 \cdot F_N

 

Wir benötigen zunächst die Kraft FN:

F_N = m \cdot g \cdot \cos(\alpha) = 50 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot \cos(18^\circ) =466,49 N

F_R = 0,5 \cdot 466,49 N = 233,25 N

 

Einsetzen in die Gleichung I:

I. F_H + F - F_R = 0

I. 151,57 N + 45 N - 233,25 N = -63,68 N

 

Die Summe aller Kräfte ergibt eine negative Kraft. Wir haben festgelegt, dass die negativen Kräfte nach rechts oben zeigen. Das bedeutet also, dass die Reibungskraft größer ist, als die Hangabtriebskraft F_H und die Kraft F zusammen. Demnach haftet die Kiste auf der schiefen Ebene und rutscht trotz zusätzlicher Kraft F nicht die schiefe Ebene herunter.

Greift eine zusätzliche Kraft in Richtung der Hangabtriebskraft an, so führt dies zu einer größeren resultierenden Kraft. Damit die Kiste jetzt nicht rutscht, muss die Reibungskraft F_R größer sein, als die Summe aus der zusätzlichen Kraft F und der Hangabtriebskraft F_H:

F_R > F_H + F          Kiste haftet

F_R < F_H + F          Kiste rutscht

Wir wollen nun zwei Kräfte betrachten, die dazu führen sollen einen Körper auf der schiefen Ebene nach oben bzw. nach unten zu bewegen.

Wir haben also gezeigt, dass eine zusätzliche Kraft eine Auswirkung auf die Kiste haben kann, aber nicht haben muss. Wir wollen uns im Folgenden anschauen, wie sich die Bewegung ergibt, wenn eine Abwärtskraft und eine Aufwärtskraft zusätzlich gegeben sind.

Schiefe Ebene mit Aufwärtskraft

Betrachten wir als erstes die Aufwärtskraft F_{auf}, die nötig ist, um die Kiste nach rechts oben zu bewegen.

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Schiefe Ebene mit Aufwärtskraft

 

Wir wollen die Größe der Kraft F_{auf} berechnen, die notwendig ist damit sich die Kiste nach oben bewegt. Die Bewegung wird jetzt also nach rechts oben angenommen. Da die Reibungskraft F_R immer entgegengesetzt zur Bewegung wirkt, müssen wir diese nun nach links unten einzeichnen.

Wir berechnen zunächst wieder den Grenzfall, also bis wann gerade noch Haftung besteht und die Kiste sich nicht bewegt. Dazu bilden wir wieder die Summe der Kräfte für alle zur schiefen Ebene parallelen Kräfte. In diesem Fall gehen wir aber davon aus, dass die Kiste sich nach oben bewegt. Deswegen wählen wir die Kräfte die nach rechts oben zeigen positiv und die Kräfte die nach links unten zeigen negativ (Kräfte in Richtung der möglichen Bewegung werden also positiv berücksichtigt):

I. -F_H - F_R + F_{auf} = 0

 

Auflösen nach der gesuchten Aufwärtskraft:

F_{auf} = F_H + F_R

 

Da sich an der Aufgabenstellung nichts geändert hat, können wir die Hangabtriebskraft F_H und die Reibungskraft F_R von oben übernehmen:

F_{auf} = 151,57 N + 233,25 N

F_{auf} = 384,82 N

 

Greift eine Kraft bis 384,82 N an, so bewegt sich die Kiste nicht. Eine Kraft größer als 384,82 N hingegen führt dazu, dass sich die Kiste nach rechts oben bewegt.

 

Schiefe Ebene mit Abwärtskraft

Betrachten wir als nächstes die Abwärtskraft F_{ab}, die nötig ist, um die Kiste nach links unten zu bewegen. Das haben wir bereits im ersten Beispiel berechnet. Dieses mal haben wir die Abwärtskraft aber nicht vorgegeben, sondern sollen die Größe der Abwärtskraft berechnen, die notwendig ist, damit sich die Kiste nach unten bewegt. Dies ist dann der Fall, wenn Hangabtriebskraft F_H und Abwärtskraft F_{ab} die Reibungskraft F_R überwinden.

Abwärtskraft, schiefe Ebene, Reibungskraft, Normalkraft
Schiefe Ebene mit Abwärtskraft

 

Die Bewegung nehmen wir jetzt nach links unten an. Die Reibungskraft F_R wirkt immer entgegengesetzt zur Bewegung, in diesem Fall also nach rechts oben.

Wir berechnen zunächst wieder den Grenzfall, also bis wann noch gerade Haftung besteht und die Kiste sich nicht nach links unten bewegt. Dazu bilden wir wieder die Summe der Kräfte, die parallel zur schiefen Ebene liegen. Da die Bewegung nun nach links unten angenommen wird, berücksichtigen wir alle Kräfte die nach links unten zeigen positiv:

I. F_H + F_{ab} - F_R = 0

 

Auflösen nach der gesuchten Abwärtskraft ergibt dann:

F_{ab} = F_R - F_H

 

Einsetzen von F_H = 151,57 N und F_R = 233,25 N:

F_{ab} = 233,25 N - 151,57 N

F_{auf} = 81,68 N

 

Greift eine Kraft bis 81,68 N an, so bewegt sich die Kiste nicht. Eine Kraft größer als 81,68 N hingegen führt dazu, dass sich die Kiste in Bewegung setzt (nach links unten).

 

Sollst du die Größe der Auftriebskraft bzw. Abtriebskraft berechnen, so kannst du die folgenden Gleichungen verwenden:

F_{auf} = F_H - F_R

F_{ab} = F_H + F_R

 

Was kommt als Nächstes?

Nachdem wir jetzt die Schiefe Ebene mit zusätzlicher Kraft berechnet haben, betrachten wir im nächsten Kurstext eine weitere für dich relevante Kraft, die Federkraft.

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