PH2 – Aufgaben zum zentralen Kräftesystem [5 Aufgaben mit Musterlösung]

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Inhaltsverzeichnis:

Wir betrachten in dieser Lerneinheit 5 Aufgaben mit ausführlicher Lösung zum zentralen Kräftesystem mit zwei Kräften.

In einem zentralen Kräftesystem schneiden sich alle auf einen Körper wirkenden Kräfte bzw. deren Wirkungslinien in einem einzigen Punkt.

In dieser Lerneinheit behandeln wir Aufgaben zum zentralen Kräftesystem.

Für ein optimales Verständnis helfen dir fünf anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs PH2-Einführung in die Statik.

 

Wir haben uns in den vorangegangenen Lerneinheiten mit zwei Kräfte im zentralen Kräftesystem beschäftigt. In einem zentralen Kräftesystem schneiden sich die betrachteten Kräfte bzw. deren Wirkungslinien alle in einem einzigen Punkt:

Aufgaben zum zentralen Kräftesystem
Merk’s dir!

Diese Lerneinheit soll dir helfen, bestimmte Aufgabentypen zu üben, damit du innerhalb der Klausur nicht lange überlegen musst.

 

Aufgaben zum zentralen Kräftesystem (2 Kräfte)

Für die nachfolgenden Aufgaben ist es sinnvoll, wenn du diese zunächst selbstständig löst. Solltest du nicht weiterkommen oder willst du deine Ergebnisse überprüfen, kannst du dir die dazugehörige Lösung anschauen. Die folgenden Aufgaben erwarten dich:

  • Beispiel 1: Betrag der Resultierenden – Kosinussatz
  • Beispiel 2: Richtung der Resultierenden – Sinussatz / Kosinussatz
  • Beispiel 3: Betrag der Resultierenden – Satz des Pythagoras
  • Beispiel 4: Richtung der Resultierenden – Tangens
  • Beispiel 5: Kräftezerlegung

 

Beispiel 1: Betrag der Resultierenden – Kosinussatz

Aufgabenstellung

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Beispiel: Betrag der Resultierenden

 

Gegeben sei die obige Kiste an welche die beiden Kräfte F1 = 60 N und F2 = 20 N mit einem eingeschlossenen Winkel von 125° angreifen.

Berechne den Betrag der Resultierenden!

 

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Parallelogrammkonstruktion: Anwendung des Kosinussatzes

 

Hierbei handelt es sich um zwei Kräfte mit unterschiedlichen Wirkungslinien und einem Winkel ungleich 90°. Zur Berechnung des Betrages wird der Kosinussatz herangezogen:

F_R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 - 2 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \cos(\beta)}

 

Mit dem Winkel \beta:

360^{\circ} - 2 \alpha = 2 \beta

oder

180^{\circ} - \alpha = \beta

 

Einsetzen des Winkels \alpha = 125^{\circ}:

180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}

 

Danach können wir den Kosinussatz anwenden:

F_R = \sqrt{(60 N)^2 + (20 N)^2 - 2 \cdot 60 N \cdot 20 N \cdot \cos(55^\circ)} = 51,22 N

 

Beispiel 2: Richtung der Resultierenden – Kosinussatz / Sinussatz

Aufgabenstellung

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Beispiel 2: Richtung der Resultierenden

Gegeben sei die obige Kiste an welche die beiden Kräfte F1 = 30 N und F2 = 80 N mit einem eingeschlossenen Winkel von 125° angreifen.

Bestimme den Betrag und die Richtung der Resultierenden von der Kraft F_2 ausgehend!

 

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Parallelogrammkonstruktion aus zwei Kräften: Sinussatz

 

Zunächst gehen wir wie in Beispiel 1 vor und berechnen mittels Kosinussatz den Betrag der Resultierenden FR. Dafür benötigen wir den Winkel \beta:

\beta = 180^{\circ} - \alpha

\beta = 180^{\circ} - 125^\circ = 55^{\circ}

 

Wir wenden als nächstes den Kosinussatz an:

F_R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 - 2 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \cos(\beta)}

F_R = \sqrt{(30 N)^2 + (80 N)^2 - 2 \cdot 30 N \cdot 80 N \cdot \cos(55^{\circ})} = 67,43 N

 

Zur Berechnung des Winkels \gamma von der Resultierenden zur Kraft F_2 wenden wir den Sinussatz wie folgt an:

\frac{F_1}{\sin(\gamma)} = \frac{F_R}{\sin(\beta)}

 

Aufgelöst nach \gamma:

\gamma = \sin^{-1} (\frac{\sin(\beta)}{F_R} \cdot F_1)

 

Einsetzen der Werte:

\gamma = \sin^{-1} (\frac{\sin(55^{\circ})}{67,43N} \cdot 30 N) = 21,37^{\circ}

 

Beispiel 3 : Betrag der Resultierenden – Satz des Pythagoras

Aufgabenstellung

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Beispiel: Zwei rechtwinklige Kräfte

 

Gegeben seien die beiden Kräfte F1= 34 N und F2 = 86 N.

Bestimme den Betrag der Resultierenden!

 

Die Kräfte liegen in einem rechten Winkel (=90°-Winkel) zueinander. Hier kann der Satz des Pythagoras angewendet werden:

F_R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}

F_R = \sqrt{(34 N)^2 + (86 N)^2} = 92,48 N

 

Beispiel 4 : Richtung der Resultierenden – Tangens

Aufgabenstellung

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Beispiel: Richtung der Resultierenden aus zwei rechtwinkligen Kräften

 

Gegeben seien die beiden Kräfte F1= 34 N und F2 = 86 N.

Bestimme die Richtung der Resultierenden ausgehend von der Kraft F2!

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Winkel Gamma

 

Die Kräfte liegen in einem rechten Winkel (=90°-Winkel) zueinander. Zur Berechnung des Winkels von der Resultierenden F_R zur Horizontalen (hier: Kraft F_2) kannst du den Tangens verwenden:

\tan(\gamma) = \frac{F_1}{F_2}

 

Aufgelöst nach \gamma:

\gamma = \tan^{-1} (\frac{F_1}{F_2})

 

Einsetzen der Werte:

\gamma = \tan^{-1} (\frac{34 N}{86 N})  = 21,57^{\circ}

 

Beispiel 5 : Kräftezerlegung

Aufgabenstellung

Kräftezerlegung, zentrales Kräftesystem, Beispiel, Balken, schräge Kraft, Aufgabe, Lösung
Beispiel: Balken mit schräger Kraft

 

Gegeben sei der obige Balken. An den Balken greift eine Kraft F = 150 N mit dem Winkel α = 40° zur Horizontalen an.

Führe eine Kräftezerlegung durch!

 

Wir wollen die obige Kraft in eine x- und eine y-Komponente zerlegen. Dafür benötigen wir den Winkel von der gegebenen Kraft zur Horizontalen. Dieser ist mit \alpha = 40^\circ bereits gegeben. Wir können nun die folgenden Gleichungen anwenden:

F_x = F \cdot \cos(\alpha)

F_y = F \cdot \sin(\alpha)

 

Einsetzen der gegebenen Werte:

F_x = 150 N \cdot \cos(40^{\circ}) = 114,91 N

F_y = 150 N \cdot \sin(40^{\circ}) = 96,42 N

 

Wir können in einem nächsten Schritt die Kraft durch die beiden Komponenten ersetzen:

 

Kräftezerlegung, Komponenten, Beispiel, Balken, schräge Kraft
Kraftkomponenten

 

Was kommt als Nächstes?

Nachdem du nun die Berechnungen im zentralen Kräftesystem mit zwei Kräften kennst, wollen wir uns in den folgenden Kurstexten die Berücksichtigung von mehr als zwei Kräften im zentralen Kräftesystem anschauen. Auch hier können die Kräfte zu einer einzigen Resultierenden zusammengefasst werden. Wie das funktioniert, zeigen wir dir gleich!

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