PH2 – Aufgaben zum zentralen Kräftesystem [5 Aufgaben mit Musterlösung]

Wir betrachten in dieser Lerneinheit 5 Aufgaben mit ausführlicher Lösung zum zentralen Kräftesystem mit zwei Kräften.

In einem zentralen Kräftesystem schneiden sich alle auf einen Körper wirkenden Kräfte bzw. deren Wirkungslinien in einem einzigen Punkt.

In dieser Lerneinheit behandeln wir Aufgaben zum zentralen Kräftesystem.

Für ein optimales Verständnis helfen dir fünf anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs PH2-Einführung in die Statik.

Wir haben uns in den vorangegangenen Lerneinheiten mit zwei Kräfte im zentralen Kräftesystem beschäftigt. In einem zentralen Kräftesystem schneiden sich die betrachteten Kräfte bzw. deren Wirkungslinien alle in einem einzigen Punkt:

Merk’s dir!

Diese Lerneinheit soll dir helfen, bestimmte Aufgabentypen zu üben, damit du innerhalb der Klausur nicht lange überlegen musst.

Aufgaben zum zentralen Kräftesystem (2 Kräfte)

Für die nachfolgenden Aufgaben ist es sinnvoll, wenn du diese zunächst selbstständig löst. Solltest du nicht weiterkommen oder willst du deine Ergebnisse überprüfen, kannst du dir die dazugehörige Lösung anschauen. Die folgenden Aufgaben erwarten dich:

Beispiel 1: Betrag der Resultierenden – Kosinussatz
Beispiel 2: Richtung der Resultierenden – Sinussatz / Kosinussatz
Beispiel 3: Betrag der Resultierenden – Satz des Pythagoras
Beispiel 4: Richtung der Resultierenden – Tangens
Beispiel 5: Kräftezerlegung

Beispiel 1: Betrag der Resultierenden – Kosinussatz

Aufgabenstellung

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Gegeben sei die obige Kiste an welche die beiden Kräfte F₁ = 60 N und F₂ = 20 N mit einem eingeschlossenen Winkel von 125° angreifen.

Berechne den Betrag der Resultierenden!

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Hierbei handelt es sich um zwei Kräfte mit unterschiedlichen Wirkungslinien und einem Winkel ungleich 90°. Zur Berechnung des Betrages wird der Kosinussatz herangezogen:

$F_R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 - 2 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \cos(\beta)}$

Mit dem Winkel $\beta$ :

$360^{\circ} - 2 \alpha = 2 \beta$

oder

$180^{\circ} - \alpha = \beta$

Einsetzen des Winkels $\alpha = 125^{\circ}$ :

$180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}$

Danach können wir den Kosinussatz anwenden:

$F_R = \sqrt{(60 N)^2 + (20 N)^2 - 2 \cdot 60 N \cdot 20 N \cdot \cos(55^\circ)} = 51,22 N$

Beispiel 2: Richtung der Resultierenden – Kosinussatz / Sinussatz

Aufgabenstellung

Beispiel 2: Richtung der Resultierenden, Aufgaben zum zentralen Kräftesystem, Sinussatz, Parallelogramm, Aufgabe, Lösung, zentrales Kräftesystem — Beispiel 2: Richtung der Resultierenden

Gegeben sei die obige Kiste an welche die beiden Kräfte F₁ = 30 N und F₂ = 80 N mit einem eingeschlossenen Winkel von 125° angreifen.

Bestimme den Betrag und die Richtung der Resultierenden von der Kraft $F_2$ ausgehend!

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Zunächst gehen wir wie in Beispiel 1 vor und berechnen mittels Kosinussatz den Betrag der Resultierenden F_R. Dafür benötigen wir den Winkel $\beta$ :

$\beta = 180^{\circ} - \alpha$

$\beta = 180^{\circ} - 125^\circ = 55^{\circ}$

Wir wenden als nächstes den Kosinussatz an:

$F_R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 - 2 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \cos(\beta)}$

$F_R = \sqrt{(30 N)^2 + (80 N)^2 - 2 \cdot 30 N \cdot 80 N \cdot \cos(55^{\circ})} = 67,43 N$

Zur Berechnung des Winkels $\gamma$ von der Resultierenden zur Kraft $F_2$ wenden wir den Sinussatz wie folgt an:

$\frac{F_1}{\sin(\gamma)} = \frac{F_R}{\sin(\beta)}$

Aufgelöst nach $\gamma$ :

$\gamma = \sin^{-1} (\frac{\sin(\beta)}{F_R} \cdot F_1)$

Einsetzen der Werte:

$\gamma = \sin^{-1} (\frac{\sin(55^{\circ})}{67,43N} \cdot 30 N) = 21,37^{\circ}$

Beispiel 3 : Betrag der Resultierenden – Satz des Pythagoras

Aufgabenstellung

Resultierende, Satz des Pythagoras, rechtwinklige Kräfte, Aufgabe, Lösung, Beispiel, zentrales Kräftesystem — Beispiel: Zwei rechtwinklige Kräfte

Gegeben seien die beiden Kräfte F₁= 34 N und F₂ = 86 N.

Bestimme den Betrag der Resultierenden!

Die Kräfte liegen in einem rechten Winkel (=90°-Winkel) zueinander. Hier kann der Satz des Pythagoras angewendet werden:

$F_R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$

$F_R = \sqrt{(34 N)^2 + (86 N)^2} = 92,48 N$

Beispiel 4 : Richtung der Resultierenden – Tangens

Aufgabenstellung

Resultierende, Satz des Pythagoras, Richtung, Tangens, Zwei Kräfte, Aufgaben, Lösungen, Beispiel, zentrales Kräftesystem — Beispiel: Richtung der Resultierenden aus zwei rechtwinkligen Kräften

Gegeben seien die beiden Kräfte F₁= 34 N und F₂ = 86 N.

Bestimme die Richtung der Resultierenden ausgehend von der Kraft F₂!

Richtung der Resultierenden, Gamma, Winkel, zwei Kräfte, rechtwinklige Kräfte, Beispiel, Aufgabe, Lösung — Winkel Gamma

Die Kräfte liegen in einem rechten Winkel (=90°-Winkel) zueinander. Zur Berechnung des Winkels von der Resultierenden $F_R$ zur Horizontalen (hier: Kraft $F_2$ ) kannst du den Tangens verwenden:

$\tan(\gamma) = \frac{F_1}{F_2}$

Aufgelöst nach $\gamma$ :

$\gamma = \tan^{-1} (\frac{F_1}{F_2})$

Einsetzen der Werte:

$\gamma = \tan^{-1} (\frac{34 N}{86 N}) = 21,57^{\circ}$

Beispiel 5 : Kräftezerlegung

Aufgabenstellung

Kräftezerlegung, zentrales Kräftesystem, Beispiel, Balken, schräge Kraft, Aufgabe, Lösung — Beispiel: Balken mit schräger Kraft

Gegeben sei der obige Balken. An den Balken greift eine Kraft F = 150 N mit dem Winkel α = 40° zur Horizontalen an.

Führe eine Kräftezerlegung durch!

Wir wollen die obige Kraft in eine x- und eine y-Komponente zerlegen. Dafür benötigen wir den Winkel von der gegebenen Kraft zur Horizontalen. Dieser ist mit $\alpha = 40^\circ$ bereits gegeben. Wir können nun die folgenden Gleichungen anwenden:

$F_x = F \cdot \cos(\alpha)$

$F_y = F \cdot \sin(\alpha)$

Einsetzen der gegebenen Werte:

$F_x = 150 N \cdot \cos(40^{\circ}) = 114,91 N$

$F_y = 150 N \cdot \sin(40^{\circ}) = 96,42 N$

Wir können in einem nächsten Schritt die Kraft durch die beiden Komponenten ersetzen:

Kräftezerlegung, Komponenten, Beispiel, Balken, schräge Kraft — Kraftkomponenten

Was kommt als Nächstes?

Nachdem du nun die Berechnungen im zentralen Kräftesystem mit zwei Kräften kennst, wollen wir uns in den folgenden Kurstexten die Berücksichtigung von mehr als zwei Kräften im zentralen Kräftesystem anschauen. Auch hier können die Kräfte zu einer einzigen Resultierenden zusammengefasst werden. Wie das funktioniert, zeigen wir dir gleich!

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