PH2 – Aufgaben: Resultierende aus mehreren Kräften [5 Aufgaben inklusive Lösungen]

Wir zeigen dir in dieser Lerneinheit Aufgaben zur Resultierenden. Wir schauen uns an, wie du den Betrag und die Richtung der Resultierenden aus mehreren Kräften berechnest. Dabei betrachten wir ein zentrales Kräftesystem.

Für ein optimales Verständnis helfen dir 5 Aufgaben inklusiver ausführlicher Lösung.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs PH2-Einführung in die Statik.

Aufgaben Resultierende aus mehreren Kräften

Wir schauen uns im nachfolgenden einige Aufgaben zur Berechnung der Resultierenden aus mehreren Kräften an.

In den ersten beiden Aufgaben lernst du erstmal die Teilresultierenden zu berechnen, um dann in den folgenden beiden Aufgaben aus den Teilresultierenden den Betrag und die Richtung der Resultierenden zu bestimmen. In der letzten Aufgabe führst du dann die komplette Berechnung durch, so wie es auch in der Prüfung gefordert wurde.

Aufgabe 1: Teilresultierende

Aufgabenstellung

Resultierende aus mehreren Kräften, Aufgaben, Beispiel, Lösung, Berechnung, Teilresultierende — Aufgabe Teilresultierende aus mehreren Kräften bestimmen

Gegeben seien die obigen drei Kräfte:

$F_1 = 100 N$

$F_2 = 80 N$

$F_3 = 35 N$

Bestimme die Teilresultierenden R_x und R_y!

1.Schritt: Winkel zur positiven x-Achse bestimmen

$\alpha_1 = 0^\circ$

$\alpha_2 = 30^\circ$

$\alpha_3 = 130^\circ$

2. Schritt: Kräfte in ihre Komponenten zerlegen

In x-Richtung mittels Kosinus:

$F_{x1} = 100 N \cdot \cos(0^\circ) = 100 N$

$F_{x2} = 80 N \cdot \cos(30^\circ) = 69,28 N$

$F_{x3} = 35 N \cdot \cos(130^\circ) = -22,50 N$

In y-Richtung mittels Sinus:

$F_{y1} = 100 N \cdot \sin(0^\circ) = 0 N$

$F_{y2} = 80 N \cdot \sin(30^\circ) = 40 N$

$F_{y3} = 35 N \cdot \sin(130^\circ) = 26,81 N$

3. Schritt: Teilresultierende bestimmen

Die Teilresultierenden bestimmst du, indem du die obigen Komponenten summierst. Für die Teilresultierende in x-Richtung summierst du die Komponenten in x-Richtung, für die Teilresultierende in y-Richtung summierst du die Komponenten in y-Richtung. Achte dabei auf die Vorzeichen!

$R_x = F_{x1} + F_{x2} + F_{x3} = 100N + 69,28 N - 22,50 N = \mathbf{146,78 N}$

$R_y = F_{y1} + F_{y2} + F_{y3} = 0 N + 40 N + 26,81 N = \mathbf{66,81 N}$

Aufgabe 2: Teilresultierende

Aufgabenstellung

Resultierende, mehrere Kräfte, Beispiel, Aufgaben, Berechnung, Lösung — Aufgabe Teilresultierende aus drei Kräften berechnen

Gegeben seien die obigen drei Kräfte

$F_1 = 80 N$ ,

$F_2 = 150 N$ ,

$F_3 = 100 N$ .

Bestimme die Teilresultierenden R_x und R_y!

1.Schritt: Die Winkel zur positiven x-Achse

$\alpha_1 = 90^\circ$

$\alpha_2 = 250^\circ$

$\alpha_3 = 320^\circ$

2. Schritt: Komponenten mittels Kosinus und Sinus berechnen

R_x mit Kosinus und Winkel zur positiven x-Achse:

$F_{x1} = F_1 \cdot \cos(90^\circ) = 80 N \cdot \cos(90^\circ) = 0 N$

$F_{x2} = F_2 \cdot \cos(250^\circ) = 150 N \cdot \cos(250^\circ) = -51,30 N$

$F_{x3} = F_3 \cdot \cos(320^\circ) = 100 N \cdot \cos(320^\circ) = 76,60 N$

R_y mit Sinus und Winkel zur positiven x-Achse:

$F_{y1} = F_1 \cdot \sin(90^circ) = 80 N \cdot \sin(90^\circ) = 80 N$

$F_{y2} = F_2 \cdot \sin(250^\circ) = 150 N \cdot \sin(250^circ) = -140,95 N$

$F_{y3} = F_3 \cdot \sin(320^\circ) = 100 N \cdot \sin(320^\circ) = -64,28 N$

3. Schritt: Berechnung der Teilresultierenden

Summation der Komponenten in x-Richtung (Vorzeichen beachten):

$R_x = 0 N - 51,30 N + 76,60 N = 25,30 N$

Summation der Komponenten in y-Richtung (Vorzeichen beachten):

$R_y = 80 N - 140,95 N - 64,28 N = -125,23 N$

Teilresultierende, Resultierende aus mehreren Kräften, Beispiel, Berechnung, Lösung — Teilresultierende in x-Richtung und y-Richtung

Aufgabe 3: Resultierende (Betrag)

Aufgabenstellung

Teilresultierende, Beispiel, Berechnung — Beispiel: Teilresultierende

Zu welcher der beiden Grafiken gehört die Resultierende mit einem Betrag von 50 N?

Die Resultierenden kann aus den Teilresultierenden mittels Satz des Pythagoras berechnet werden:

$F_R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(40 N)^2 + (30 N)^2} = 50 N$

$F_R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(30 N)^2 + (20 N)^2} = 36,06 N$

Die Resultierende gehört zu der Grafik 1).

Aufgabe 4: Resultierende (Betrag + Richtung)

Aufgabenstellung

Teilresultierende, Beispiel, Berechnung, Resultierende — Beispiel: Resultierende aus Teilresultierenden berechnen

Berechne aus den beiden gegebenen Teilresultierenden den Betrag F_R und die Richtung mit dem Winkel α_FR der Resultierenden zur positiven x-Achse!

Resultierende aus Teilresultierenden, Teilresultierende, Resultierende, Beispiel, Aufgaben, Berechnung, Winkel, Betrag — Berechnung der Resultierenden

Den Betrag der Resultierenden berechnen wir aus den Teilresultierenden mittels Satz des Pythagoras:

$F_R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(40 N)^2 + (30 N)^2} = 50 N$

Für die Richtung der Resultierenden berechnen wir immer zunächst den Winkel von der Resultierenden zur Teilresultierenden R_x mittels Tangens:

$\tan(\gamma) = \frac{R_y}{R_x}$

Auflösen nach dem Winkel $\gamma$ mittels Arkustangens ( $\tan^{-1}$ ):

$\gamma = \tan^{-1} (\frac{R_y}{R_x})$

$\gamma = \tan^{-1} (\frac{30 N}{40 N})$

$\gamma = 36,87^\circ$

Der Winkel von der Resultierenden $F_R$ zur Teilresultierenden $R_x$ ist gleich dem Winkel zur positiven x-Achse:

$\alpha_{F_R} = \gamma = 36,87^\circ$

Grund dafür ist, dass die Resultierende im 1. Quadranten des Koordinatensystems liegt. Der Winkel zu R_xist damit der Winkel zur positiven x-Achse.

Aufgabe 5: Resultierende (Betrag + Richtung)

Aufgabenstellung

Resultierende aus mehreren Kräften, Aufgaben, Beispiel, Berechnung, Lösung, mehrere Kräfte, Resultierende — Beispiel: Resultierende aus mehreren Kräften berechnen

Gegeben seien die obigen drei Kräfte:

$F_1 = 100 N$

$F_2 = 80 N$

$F_3 = 35 N$

Bestimme den Betrag und die Richtung der Resultierende F_R!

In dieser Aufgabe sollst du den Betrag und die Richtung der Resultierenden aus den gegeben drei Kräfte berechnen. Dazu kannst du dich an den folgenden Schritten orientieren:

1. Schritt: Winkel von der positiven x-Achse zu den Kräften bestimmen

2. Schritt: Kräfte in x-Komponente mittels Kosinus und y-Komponente mittels Sinus zerlegen

3. Schritt: Teilresultierende $R_x$ und $R_y$ berechnen (Summation der Komponenten, Vorzeichen beachten)

4. Schritt: Betrag der Resultierende aus den Teilresultierenden mittels Satz des Pythagoras bestimmen

5. Schritt: Richtung der Resultierenden (=Winkel) aus den Teilresultierenden mittels Tangens bestimmen.

1. Schritt: Winkel von der positiven x-Achse zu den Kräften

$\alpha_1 = 0^\circ$

$\alpha_2 = 30^\circ$

$\alpha_3 = 130^\circ$

2. Schritt: Kräfte in ihre Komponenten zerlegen

In x-Richtung mittels Kosinus:

$F_{x1} = 100 N \cdot \cos(0^\circ) = 100 N$

$F_{x2} = 80 N \cdot \cos(30^\circ) = 69,28 N$

$F_{x3} = 35 N \cdot \cos(130^\circ) = -22,50 N$

In y-Richtung mittels Sinus:

$F_{y1} = 100 N \cdot \sin(0^\circ) = 0 N$

$F_{y2} = 80 N \cdot \sin(30^\circ) = 40 N$

$F_{y3} = 35 N \cdot \sin(130^\circ) = 26,81 N$

3. Schritt: Teilresultierende bestimmen (Summen bilden)

$R_x = F_{x1} + F_{x2} + F_{x3} = 100N + 69,28 N - 22,50 N = 146,78 N$

$R_y = F_{y1} + F_{y2} + F_{y3} = 0 N + 40 N + 26,81 N = 66,81 N$

Da beide Teilresultierenden positiv sind, zeigen diese in positive Achsenrichtung. Die Resultierende liegt also im 1. Quadranten.

4. Schritt: Betrag der Resultierende bestimmen (Satz des Pythagoras)

$F_R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(146,78N)^2 + (66,81 N)^2} = 161,27 N$

5.Schritt: Richtung der Resultierenden bestimmen (Tangens)

$\tan(\gamma) = \frac{R_y}{R_x}$

Auflösen nach $\gamma$ :

$\gamma = tan^{-1}(\frac{R_y}{R_x})$ Winkel von $R_x$ zu $F_R$

Einsetzen:

$\gamma = \tan^{-1}(\frac{66,81 N}{146,78 N}) = 24,47^\circ$

Da die Resultierende $F_R$ im 1. Quadranten liegt, ist dies auch gleichzeitig der Winkel zur positiven x-Achse.

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